Class 6

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Exercise 3.3

प्रश्न 1.
विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं; 3 से विभाज्य हैं; 4 से विभाज्य हैं; 5 से विभाज्य हैं; 6 से विभाज्य हैं; 8 से विभाज्य हैं; से विभाज्य हैं। 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं (हाँ या नहीं कहिए) :
हल:

प्रश्न 2.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं और कौन-सी 8 से विभाज्य हैं :
(a) 572
(b) 726352
(c) 5500
(d) 6000
(e) 12159
(f) 14560
(g) 21084
(h) 31795072
(i) 1700
(j) 2150.
हल :
4 से विभाज्यता : हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या के दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में, 72, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(b) 726352 में, 52, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(c) 5500 में, 00, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(d) 6000 में, 00, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(e) 12159 में, 59, 4 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(f) 14560 में, 60, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(g) 21084 में, 84, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(h) 31795072 में, 72, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(i) 1700 में, 00, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(j) 2150 में, 50, 4 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य नहीं है। उत्तर

8 से विभाज्यता:
हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या के इकाई, दहाई और सैकड़े के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 8 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में, 572, 8 से विभाज्य है।
(b) 726352 में, 352, 8 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(c) 5500 में, 500, 8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(d) 6000 में, 000, 8 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(e) 12159 में, 159.8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(f) 14560 में, 560, 8 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(g) 21084 में, 084.8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(h) 31795072 में, 072, 8 से विभाज्य हैं। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(i) 1700 में, 700, 8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(j) 2150 में, 150, 8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर

प्रश्न 3.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं :
(a) 297144
(b) 1258
(c) 4335
(d) 61233
(e) 901352
(f) 438750
(g) 1790184
(h) 12583
(i) 639210
(j) 17852
हल :
हम जानते हैं कि यदि कोई संख्या 2 और 3 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 6 से भी विभाज्य होगी।
(a) दी गई संख्या = 297144
इसका इकाई का अंक 4 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 2 + 9 + 7 + 1 + 4 + 4 = 27.
जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 297144, 6 से विभाज्य है। उत्तर

(b) दी गई संख्या = 1258
इसका इकाई का अंक 8 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 1 + 2 + 5 + 8 = 16, जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴ 1258, 6 से विभाज्य नहीं है। उत्तर

(c) दी गई संख्या = 4335
इसका इकाई का अंक 5 है।
∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴ 4335, 6 से भी विभाग्य नहीं है। उत्तर

(d) दी गई संख्या = 61233
इसका इकाई का अंक 3 है।
∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴ 61233, 6 से भी विभाज्य नहीं है। उत्तर

(e) दी गई संख्या = 901352
इसका इकाई का अंक 2 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 9 + 0 + 1 + 3 + 5 + 2 = 20, जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴ 901352.6 से विभाज्य नहीं है। उत्तर

(f) दी गई संख्या = 438750
इसका इकाई का अंक 0 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 4 + 3 + 8 + 7 + 5 + 0 = 27, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 438750, 6 से विभाज्य है। उत्तर

(g) दी गई संख्या = 1790184
इसका इकाई का अंक 4 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 1 + 7 + 9 + 0 + 1 + 8 + 4 = 30, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 1790184, 6 से विभाज्य है। उत्तर

(h) दी गई संख्या = 12583
इसका इकाई का अंक 3 है।
∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴ 12583, 6 से भी विभाज्य नहीं है। उत्तर

(i) दी गई संख्या = 639210
इसका इकाई का अंक 0 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 6 + 3 + 9 + 2 + 1 + 0 = 21, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 639210, 6 से विभाज्य है। उत्तर

(j) दी गई संख्या = 17852
इसका इकाई अंक 2 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 1 + 7 + 8 + 5 + 2 = 23, जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴ 17852, 6 से विभाज्य नहीं है। उत्तर

प्रश्न 4.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं:
(a) 5445
(b) 10824
(c) 7138965
(d) 70169308
(e) 10000001
(f) 901153
हल :
हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग (दायें से) का अंतर 0 है या 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है।
(a) दी गई संख्या = 5445
विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 4 = 9
सम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 5 = 9
अंकों के योग का अन्तर = 9 – 9 = 0
∴ 5445, 11 से विभाग्य है।

(b) दी गई संख्या = 10824
विषम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 8 + 1 = 13
सम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 0 = 2
अंकों के योग का अन्तर = 13 – 2 = 11
∴ 10824, 11 से विभाज्य है। उत्तर

(c) दी गई संख्या 37138965
विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 9 + 3 + 7 = 24
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 8 + 1 = 15
अंकों के योग का अन्तर = 24 – 15 = 9
जो कि 11 का गुणज नहीं है।
∴ 7138965, 11 से विभाज्य नहीं है। उत्तर

(d) दी गई संख्या = 70169308
विषम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 3 + 6 + 0 = 17
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 9 + 1 + 7 = 17
अंकों के योग का अन्तर = 17 – 17 = 0
∴ 70169308, 11 से विभाज्य है। उत्तर

(e) दी गई संख्या = 10000001
विषम स्थानों के अंकों का योग = 1 + 0 + 0 + 0 = 1
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
अंकों के योग का अन्तर = 1 – 1 = 0
∴ 10000001, 11 से विभाज्य है। उत्तर

(f) दी गई संख्या = 901153
विषम स्थानों के अंकों का योग = 3 + 1 + 0 = 4
सम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 1 + 9 = 15
अको का याग का अन्तर = 15 – 4 = 11,
जो कि 11 का गुणज है।
∴ 901153, 11 से विभाज्य है। उत्तर

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य हो;
(a) …………6724
(b) 4765………2
हल :
हम जानते हैं कि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य होगी।
(a) ………..6724
……….6724 में अंकों का योग = 6 + 7 + 2 + 4 = 19 है। यदि हम 19 में 2 जोड़ दें तो 21 प्राप्त होगा, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे छोटा अंक 2 है। उत्तर
पुन: यदि हम 19 में 8 जोड़ दें तो 27 प्राप्त होगा, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे बड़ा अंक 8 है। उत्तर

(b) 4765………… 2
4765………2 में अंकों का योग = 4 + 7 + 6 + 5 + 2 = 24, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे छोटा अंक 0 है। उत्तर
पुनः यदि हम 24 में 9 जोड़ दें तो 33 प्राप्त होगा, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे बड़ा अंक 9 है।। उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिखिए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो
(a) 92…….389
(b) 8……..9484.
हल :
हम जानते हैं कि किसी संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग (दाएँ से) का अन्तर 0 या 11 से विभाज्य है, तो संख्या 11 से विभाज्य होगी।
(a) 92…….389 में विषम अंकों का योग
= 9 + 3 + 2 = 14
तथा सम अंकों का योग = 8 + अभीष्ट अंक + 9
= अभीष्ट अंक + 17
अंकों के योग का अन्तर = अभीष्ट अंक + 17 – 14
= अभीष्ट अंक + 3
अब, (अभीष्ट अंक + 3) को 11 बनाने के लिए अभीष्ट अक के स्थान पर 8 अंक होना चाहिए। (∵ 3 + 8 = 11)
∴ अभीष्ट अंक = 8 है। उत्तर

(b) 8…….9484
8……9484 के लिए विषम स्थानों के अंकों का योग
= 4 + 4 + अभीष्ट अंक
= 8 + अभीष्ट अंक
तथा सम स्थानों के अंकों का योग ।
= 8 + 9 + 8 = 25
अंकों के योग का अन्तर = 25 – (8 + अभीष्ट अंक)
= 17 – अभीष्ट अंक
(17 – अभीष्ट अंक) को 11 बनाने के लिए अभीष्ट संख्या के स्थान पर 6 अंक होना चाहिए। (∵ 17 – 6 = 11)
∴ अभीष्ट अंक 6 है। उत्तर

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 10 क्षेत्रमिति Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 क्षेत्रमिति Exercise 10.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

हल :
इन आकृतियों को ग्राफ पेपर अर्थात् सेमी वर्ग पर रखने पर क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं :
(a)

आकृति में पूरे वर्ग = 9
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 9 × 1 वर्ग सेमी
= 9 वर्ग सेमी उत्तर

(b)

आकृति में पूरे वर्ग = 5
∴ आकृति द्वारा घेर गया क्षेत्रफल
= 5 × 1 वर्ग सेमी
= 5 वर्ग सेमी उत्तर

(c)

आकृति में पूरे वर्ग = 2
और आधे वर्ग = 4
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (2 × 1 + 4 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= (2 + 2) वर्ग सेमी
= 4 वर्ग सेमी उत्तर

(d)

आकृति में पूरे वर्ग = 8
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 8 × 1 वर्ग सेमी
= 8 वर्ग सेमी उत्तर

(e)

आकृति में पूरे वर्ग = 10
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 10 × 1 वर्ग सेमी
= 10 वर्ग सेमी उत्तर

(f)

आकृति में पूरे वर्ग = 2
और आधे वर्ग = 4
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (2 × 1 + 4 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= (2 + 2) वर्ग सेमी
= 4 वर्ग सेमी उत्तर

(g)

आकृति में पूरे वर्ग = 4
और आधे वर्ग = 4
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (4 × 1 + 4 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= (4 + 2) वर्ग सेमी
= 6 वर्ग सेमी उत्तर

(h)

आकृति में पूरे वर्ग = 5
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 5 × 1 वर्ग सेमी
= 5 वर्ग सेमी उत्तर

(i)

आकृति में पूरे वर्ग = 9
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 9 × 1 वर्ग सेमी
= 9 वर्ग सेमी उत्तर

(j)

आकृति में पूरे वर्ग = 2
और आधे वर्ग = 4
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (2 × 1 + 4 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= (2 + 2) वर्ग सेमी
= 4 वर्ग सेमी उत्तर

(k)

आकृति में पूरे वर्ग = 4
और आधे वर्ग = 2
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (4 × 1 + 2 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= (4 + 1) वर्ग सेमी
= 5 वर्ग सेमी उत्तर

(l)

आकृति में पूरे वर्ग = 3
आधे से ज्यादा वर्ग = 10
आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल तो
= (3 × 1 + 10 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= (3 + 5) वर्ग सेमी
= 8 वर्ग सेमी उत्तर

(m)

आकृति में पूरे वर्ग = 7
आधे से ज्यादा वर्ग = 7
आधे से कम वर्ग = 2
आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (7 × 1 + 7 × 1 + 2 × 0) वर्ग सेमी
= (7 + 7 + 0) वर्ग सेमी
= 14 वर्ग सेमी उत्तर

(n)

आकृति में पूरे वर्ग = 11
आधे से ज्यादा वर्ग = 7
आधे से कम वर्ग = 6
∴ आकृति द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= (11 × 1 + 7 × 1 + 6 × 0) वर्ग सेमी
= (11 + 7 + 0) वर्ग सेमी
= 18 वर्ग सेमी उत्तर

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Exercise 3.2

प्रश्न 1.
बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों :
(a) विषम संख्याएँ हों,
(b) सम संख्याएँ हों।
हल :
(a) दो विषम संख्याओं का योग सम संख्या होता है।
उदाहरण: 1 + 3 = 4, 5 + 7 = 12
(b) दो सम संख्याओं का योग जप संख्या होता है।
उदाहरण : 2 + 4 = 6, 6 + 8 = 14

प्रश्न 2.
बताइए कि अग्रलिखित में कौन-सा कथन सत्य है और कौन-सा असत्य ?
(a) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
(c) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता
(d) यदि किसी सम संख्या को 2 से भाग दिया जाए, तो भागफल सदैव विषम होता है।
(e) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
(f) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखण्ड नहीं होते।
(g) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता
(h) केवल 2 ही एक सम अभाज्य संख्या है।
(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। (5) दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता
हल :
(a) असत्य,
(b) सत्य,
(c) सत्य,
(d) असत्य,
(e) असत्य,
(f) असत्य,
(g) असत्य,
(h) सत्य,
(i) असत्य,
(j) सत्य।

प्रश्न 3.
संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएं हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और 3 हैं। 100 तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।
हल :
इराटोस्थोन्स की छलनी विधि द्वारा 1 से 100 तक अभाज्य संख्याएँ हैं:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 तथा 97.
इनमें से समान इकाई वाली अभाज्य संख्याओं के जोड़े :
(13, 31); (17, 71); (37, 73); (79, 97). उत्तर

प्रश्न 4.
20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।
हल :
20 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ हैं :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19. उत्तर
20 से छोटी सभी भाज्य संख्याएँ हैं :
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 तथा 18. उत्तर

प्रश्न 5.
1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।
हल :
1 से 10 तक के बीच की अभाज्य संख्याएँ 2,5 और 7 हैं।
∴ 1 से 10 के बीच की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 7 है। उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:
(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18.
हल :
दी गई प्रत्येक संख्या को दो विषम अभाज्यों संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त करने पर,
(a) 44 = 13 + 31
(b) 36 = 5 + 31
(c) 24 = 11 + 13
(d) 18 = 7 + 11

प्रश्न 7.
अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिखिए जिनका अंतर 2 हो।
हल :
अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म जिनका अन्तर 2 है, हैं : 3, 5, 5, 5, 7, 11, 13 उत्तर
नोट : दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अन्तर 2 होता है, “अभाज्य युग्म” कहलाती हैं।

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं ?
(a) 23
(b) 51
(c) 37
(d) 26
हल :
(a) संख्या 23 में अभाज्य संख्याओं 2, 3, 5, 7 और 11 (23 की आधी संख्याओं तक) से पूरा-पूरा भाग नहीं जाता है।
∴ यह एक अभाज्य संख्या है। उत्तर
(b) संख्या 51 में अभाज्य संख्या 3 से भाग जाता है।
∴ यह संख्या अभाज्य नहीं है। उत्तर
(c) संख्या 37 में अभाज्य संख्याओं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (37 की आधी संख्याओं तक) से पूरा-पूरा भाग नहीं जाता है।
∴ यह एक अभाज्य संख्या है। उत्तर
(d) संख्या 26 में अभाज्य संख्या 2 और 13 का पूरा-पूरा भाग जाता है।
∴ यह एक अभाज्य संख्या नहीं है। उत्तर

प्रश्न 9.
100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं हो।
हल :
100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ 90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96 हैं, जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है। उत्तर

प्रश्न 10.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:
(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61
हल :
दी गई प्रत्येक संख्या को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त करने पर,
(a) 21 = 3 + 5 + 13
(b) 31 = 3 + 5 + 23
(c) 53 = 3 + 19 + 31
(d) 61 = 3 + 11 + 47

प्रश्न 11.
20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य (divisible) हो।
हल :
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं।
इन संख्याओं के युग्मों के सम्भव योग निम्न हैं :
2 + 3 = 5
7 + 17 = 24
5 + 7 = 12
2 + 5 = 7
7 + 19 = 26
5 + 11 = 16
2 + 7 = 9
3 + 5 = 8
5 + 13 = 18
2 + 11 = 13
3 + 7 = 10
5 + 17 = 22
2 + 13 = 15
3 + 11 = 14
5 + 19 = 24
2 + 17 = 19
3 + 13 = 16
17 + 11 = 28
2 + 19 = 21
3 + 17 = 20
17 + 19 = 36
7 + 11 = 18
3 + 19 = 22
19 + 11 = 30
7 + 13 = 20
13 + 11 = 24
स्पष्ट है कि वे पाँच युग्म जिनका योग 5 से विभाज्य है, इस प्रकार है:
2, 3; 2, 13, 7, 13; 3, 7; 3, 17 और 11, 19 हैं।

प्रश्न 12.
निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए :
(a) वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखण्ड हों, एक …………… कहलाती है।
(b) वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखण्ड हों, एक ……….. कहलाती है।
(c) 1 न तो ……………. है और न ही …………..
(d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ……………..
(e) सबसे छोटी भाज्य संख्या …………….. है।
(f) सबसे छोटी सम संख्या है।
हल :
(a) अभाज्य संख्या,
(b) भाज्य संख्या,
(c) अभाज्य संख्या, भाज्य संख्या,
(d) 2.
(e) 4.
(f) 2.

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Exercise 14.5

प्रश्न 1.
7.3 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड \(\overline{A B}\) खींचिए और उसकी सममित अक्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
रचना के पद :

(1) रेखाखंड AB = 7.3 सेमी खींची।
(2) A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक दूरी लेकर AB के दोनों ओर एक-एक चाप लगाया।
(3) अब B को केन्द्र मानकर उसी दूरी को लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाया जो पहले वाले चापों को C तथा D पर काटते हैं।
(4) CD को मिलाया। CD, रेखाखंड AB को M पर काटता है। बिन्दु M रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
इस प्रकार प्राप्त रेखाखंड CD सममित अक्ष है।

प्रश्न 2.
9.5 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचिए और उसका लंब समद्विभाजक खींचिए।
हल :
रचना के पद :

(I) एक रेखाखण्ड AB = 9.5 सेमी खींचा।
(2) A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक दूरी की त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाया।
(3) B को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या का AB के दोनों ओर चाप लगाया जो पहले चापों को C व D पर काटते हैं।
(4) CD को मिलाया। रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक है।

प्रश्न 3.
एक रेखाखंड \(\overline{X Y}\) का लम्ब समद्विभाजक खींचिए जिसकी लंबाई 10.3 सेमी है।
(a) इस लंब समद्विभाजक पर कोई बिन्दु P लीजिए। जाँच कीजिए कि PX = PY है।
(b) यदि M रेखाखंड \(\overline{X Y}\) का मध्य बिन्दु है, तो MX और XY के विषय में आप क्या कह सकते हैं ?
हल :
रचना के पद :

(1) रेखाखण्ड XY = 10.3 सेमी खींचा।
(2) X को केन्द्र मानकर XY के आधे से अधिक दूरी की त्रिज्या लेकर XY के दोनों ओर चाप लगाया।
(3) इसी प्रकार Y को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या वाली दूरी से चाप लगाया जो पहले चापों को A व B पर काटता है।
(4) AB को मिलाया, जो XY को M पर काटता है। अत: AB XY का लम्ब समद्विभाजक है।
(a) AB पर कोई बिन्दु P लिया। मापने पर, PX = PY.
(b) M, रेखाखण्ड XY का मध्य बिन्दु है।
अत: MX = \(\frac{1}{2}\)XY
= \(\frac{1}{2}\) × 10.3 = 5.15 सेमी।

प्रश्न 4.
लम्बाई 12.8 सेमी वाला एक रेखाखण्ड खींचिए। रूलर और परकार की सहायता से इसके चार बराबर भाग कीजिए। मापन द्वारा अपनी रचना की जाँच कीजिए।
हल :
रचना के पद :

(1) रेखाखंड AB = 12.8 सेमी खींचा।
(2) A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक दूरी लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाया।
(3) अब B को केन्द्र मानकर पहले वाली चाप से AB के दोनों ओर चाप लगाया, जो पहले वाले चापों को C तथा D पर काटते हैं।
(4) CD को मिलाया, जो AB को M पर काटती है।
(5) इस विधि से AM और AB के मध्य बिन्दु क्रमशः M₁ और M₂ प्राप्त होते हैं।
∴ AM₁ = M₁M = MM₂ = M₂B। इनको मापने पर प्रत्येक 3.2 सेमी प्राप्त होती है।

प्रश्न 5.
6.1 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड \(\overline{P Q}\) खींचिए और फिर \(\overline{P Q}\) को व्यास मानकर एक वृत्त खींचिए।
हल :
रचना के पद :

(1) रूलर की सहायता से PQ रेखाखण्ड 6.1 सेमी खींचा।
(2) रेखाखण्ड PQ का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को M बिन्दु पर काटता है।
(3) M के केन्ड मान कर MP त्रिज्या का परकार में चाप लेकर वृत्त खींचते हैं। इस प्रकार प्राप्त वृत्त वांछित वृत्त है।

प्रश्न 6.
केन्द्र और त्रिज्या 3.4 सेमी लेकर एक वृत्त खींचिए। इसकी कोई जीवा \(\overline{A B}\) खींचिए। इस जीवा \(\overline{A B}\) का लंब समद्विभाजक खींचिए। जाँच कीजिए कि क्या यह वृत्त के केन्द्र C से होकर जाता है।
हल :
रचना के पद :

(1) कागज पर कोई बिन्दु C अंकित किया।
(2) C को केन्द्र मानकर 3.4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(3) वृत्त के अन्दर एक जीवा AB खींची।
(4) जीवा AB का लम्ब समद्विभाजक PQ खींचा।
स्पष्ट है कि लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र C से होकर जाता है।

प्रश्न 7.
प्रश्न 6 को उस स्थिति के लिए दोबारा कीजिए जब \(\overline{A B}\) एक व्यास है।
हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर कोई बिन्दु C अंकित किया।
(2) C का केन्ड मानकर 3.4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(3) वृत्त के अन्दर एक व्यास AB खींचा।
(4) व्यास AB का समद्विभाजक PQ खींचा।
स्पष्ट है कि लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्ड C से होकर जाता है। मापने पर बिन्दु C, व्यास AB का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 8.
4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसकी कोई दो जीवाएँ खींचिए। इन दोनों जीवाओं के लंब समद्विभाजक खींचिए। ये कहाँ मिलते हैं ?
हल :
रचना के पद:

(1) कागज पर कोई बिन्दु O अंकित किया।
(2) O को केन्द्रः A मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(3) वृत्त के अन्दर AB व CD दो जीवाएँ खींची।
(4) जीवा AB और CD के क्रमशः लम्ब समद्विभाजक PQ और RS खींचे।
स्पष्ट है कि ये लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र बिन्दु O पर मिलते हैं।

प्रश्न 9.
शीर्ष O वाला कोई कोण खींचिए। इसकी एक भुजा पर एक बिन्दु A और दूसरी भुजा पर एक अन्य बिन्दु B इस प्रकार लीजिए कि 0A = OB है। \(\overline{O A}\) और \(\overline{O B}\) के लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए ये P पर प्रतिच्छेद करते हैं। क्या PA = PB है ?
हल :
रचना के पद :

(1) कोई कोण XOY खींचते हैं।
(2) एक बिन्दु A, OX पर तथा एक बिन्दु B, OY पर इस प्रकार लेते हैं कि
OA = OB.
(3) OA तथा OB के लम्ब समद्विभाजक क्रमशः CD और EF परस्पर P बिन्दु पर काटते हैं।
मापने पर ज्ञात होता है कि PA = PB.

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना Exercise 5.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन लम्ब रेखाओं के उदाहरण हैं?
(a) मेज के ऊपरी सिरे की आसन्न भुजाएँ
(b) रेल पथ की पटरियाँ
(c) अक्षर L बनाने वाले रेखाखण्ड
(d) अक्षर V बनाने वाले रेखाखण्ड।
हल :
(a) हाँ, लम्ब,
(b) नहीं,
(c) हाँ, लम्ब,
(d) नहीं।

प्रश्न 2.
मान लीजिए रेखाखण्ड PQ रेखाखण्ड XY पर लम्ब है। मान लीजिए ये परस्पर बिन्द A पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠PAY की माप क्या है ?

हल :
∠PAY की माप = 90°, [क्योंकि PO ⊥ XY]

प्रश्न 3.
आपके ज्यामिति बक्स में दो सेट स्क्वेयर हैं। इनके कोनों पर बने कोणों के माप क्या हैं ? क्या इनमें कोई ऐसी माप है जो दोनों में उभयनिष्ठ है ?
हल :
एक 30°, 60°, 90° सेट स्क्वे यर और दूसरा 45°, 45°, 90° सेट स्क्वे यर है।
स्पष्टतः उभयनिष्ठ कोण = 90°.

प्रश्न 4.
इस आकृति को ध्यान से देखिए। रेखा l, रेखा m पर लम्ब है।

(क) क्या CE = EG है ?
(ख) क्या रेखा PE रेखाखण्ड CG को समद्विभाजित करती है ?
(ग) कोई दो रेखाखण्डों के नाम लिखिए जिनके लिए PE लम्ब समद्विभाजक है।
(घ) क्या निम्नलिखित सत्य हैं ?
(i) AC > FG
(ii) CD = GH
(iii) BC < EH
हल :
(क) ∵ CE = CD + DE
= 1 + 1 = 2 इकाई
और EG = EF + FG
= 1 + 1 = 2 इकाई
∴ CE = EG.

(ख) ∵ CE = EG
अतः E, CG का मध्य-बिन्दु है।
∴ PE, CG का समद्विभाजक है।

(ग) ∵ DE = EF [क्योंकि प्रत्येक 1 इकाई है]
अत: PE, DF का लम्ब समद्विभाजक है।
पुनः CE = EG = 2 इकाई
अत: PE, CG का लम्ब समद्विभाजक है।

(घ) (i) ∵ AC = AB + BC
= 1 + 1 = 2 इकाई
और FG = 1 इकाई
∴ AC > FG सत्य है।

(ii) ∵ CD = 1 इकाई
GH = 1 इकाई
CD = GH, सत्य है।

(iii) ∵ BC = 1 इकाई
और EH = EF + FG + GH
= 1 + 1 + 1 = 3 इकाई
BC < ED, सत्य है।

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 5 प्रारंभिक आकारों को समझना Exercise 5.4

प्रश्न 1.
निम्न की क्या माप हैं :
(i) एक समकोण ?
(ii) एक ऋजुकोण ?
हल :
(i) 1 समकोण = 90°.
(ii) 1 ऋजुकोण = 2 समकोण
= 2 × 90° = 180°.

प्रश्न 2.
बताइए सत्य (T) या असत्य (F):
(a) एक न्यूनकोण का माप < 90° है।
(b) एक अधिक कोण का माप < 90° है।
(c) एक प्रतिवीं कोण का माप > 180° है।
(d) एक सम्पूर्ण घूर्णन का माप = 360° है।
(e) यदि m∠A = 53° और m∠B = 35° है, तो m∠A > m∠B है।
हल :
(a) सत्य,
(b) असत्य,
(c) सत्य,
(d) सत्य,
(e) सत्य।

प्रश्न 3.
निम्न का माप लिखिए:
(a) कुछ न्यून कोण
(b) कुछ अधिक कोण (प्रत्येक के दो उदाहरण दीजिए।).
हल :
(a) न्यून कोण 90° से कम होते हैं, अत: दो न्यून कोण 70° और 30° हो सकते हैं।
(b) अधिक कोण की माप 90° से अधिक तथा 180° से कम होती है, अत: दो अधिक कोण 140° और 125° हो सकते हैं।

प्रश्न 4.
निम्न कोणों को चाँदे से मापिए और उनके माप लिखिए :

हल :
दिये गये कोणों को चाँद से मापने पर कोणों के माप निम्न है:
(a) 45°,
(b) 125°,
(c) 90°,
(d) 40°, 125°, 95°.

प्रश्न 5.
किस कोण का माप बड़ा है?
पहले आकलन (estimate) कीजिए और फिर मापिए।
कोण का माप =

कोण B का माप =

हल :
आकलन से पता चलता है कि
∠B > ∠A
दिये गये कोणों को मापने पर,
कोण A की माप = 40°
कोण B की माप = 65°
∴ ∠B > ∠A.

प्रश्न 6.
निम्न दो कोणों में से किस कोण का माप बड़ा है? पहले आकलन कीजिए और फिर मापन द्वारा पष्टि कीजिए।

हल :
दिये गये कोणों का आकलन करने से पता चलता है कि
∠B > ∠A
कोणों को मापने पर,
कोण A = 45°
कोण B = 60°
∴ ∠B > ∠A

प्रश्न 7.
न्यून कोण, अधिक कोण, समकोण या ऋजुकोण से रिक्त स्थानों को भरिए:
(a) वह कोण, जिसका माप एक समकोण के माप से कम है, ………… होता है।
(b) वह कोण, जिसका माप एक समकोण के माप से अधिक हो, …………. होता है।
(c) वह कोण जिसके माप दो समकोणों के योग के बराबर है ………….. होता है।
(d) यदि दो कोणों के मापों का योग समकोण के माप के बराबर है, तो प्रत्येक कोण ………… होता है।
(e) यदि दो कोणों के मापों का योग एक ऋजुकोण के माप के बराबर है और इनमें से एक कोण न्यून कोण है, तो दूसरा कोण …………. होना चाहिए।
हल :
(a) न्यून कोण,
(b) अधिक कोण,
(c) ऋजु कोण,
(d) न्यून कोण,
(e) अधिक कोण।

प्रश्न 8.
नीचे दी आकृति में दिए प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कीजिए (पहले देखकर आकलन कीजिए और फिर चाँदे से मापिए):

हल :
दी गई आकृति में प्रत्येक कोण का बिना मापे आकलन करने पर.
(a) 45
(b) 68°
(c) 128°
(d) 135°
चाँद से मापने पर कोणों की माप है:
(a) 40°
(b) 65°
(c) 130°
(d) 135°

प्रश्न 9.
नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में घड़ी की सुइयों के बीच के कोण का माप ज्ञात कीजिए:

हल :
दी गई प्रत्येक आकृति में घड़ी की सुइयों के बीच कोणों का माप:
प्रात: 9:00 बजे = 90°
दोपहर 1:00 बजे = 30°
सायं 6:00 बजे = 180°

प्रश्न 10.
खोज कीजिए:
दी हुई आकृति में चाँदा 30° दशा रहा है। इसी आकृति को एक आवर्धन शीशे (magnifying glass) द्वारा देखिए। क्या यह कोण बड़ा हो जाता है? क्या कोण का माप बड़ा हो जाता है?

हल :
दी गई आकृति को आवर्धन शीशे से देखने पर कोण बड़ा नहीं होता है और कोण की माप भी नहीं बढ़ती है।

प्रश्न 11.
मापिए और प्रत्येक कोण को वर्गीकृत कीजिए:

हल :

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 2 पूर्ण संख्याएँ InText Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 पूर्ण संख्याएँ InText Questions

पृष्ठ सं. 29 से (प्रयास कीजिए)

प्रश्न 1.
19, 1997, 12000, 49, 100000, 2440701, 100199 और 208090 के पूर्ववती और परवती लिखिए।
हल:

• 19 का पूर्ववर्ती = 19 – 1 = 18
• 1997 का पूर्ववर्ती = 1997 – 1 = 1996
• 12000 का पूर्ववर्ती = 12000 – 1 = 11999
• 49 का पूर्ववर्ती = 49 – 1 = 48
• 100000 का पूर्ववती = 100000 – 1 = 99999
• 2440701 का पूर्ववर्ती = 2440701 – 1 = 2440700
• 100199 का पूर्ववर्ती = 100199 – 1 = 100198
• और 208090 का पूर्ववर्ती = 208090 – 1 = 208089.
• अब, 19 का परवर्ती = 19 + 1 = 20
• 1997 का परवर्ती = 1997 + 1 = 1998
• 12000 का परवर्ती = 12000 + 1 = 12001
• 49 का परवर्ती = 49 + 1 = 50
• 100000 का परवर्ती = 100000 + 1 = 100001
• 2440701 का परवर्ती = 2440701 + 1 = 2440702
• 100199 का परवर्ती = 100199 + 1 = 100200
• और 208090 का परवर्ती = 208090 + 1 = 208091.

प्रश्न 2.
क्या कोई ऐसी प्राकृत संख्या है जिसका कोई पूर्ववर्ती नहीं है ?
हल :
हाँ, प्राकृत संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं होता है।

प्रश्न 3.
क्या कोई ऐसी प्राकृत संख्या है जिसका कोई परवती नहीं है ? क्या कोई अन्तिम प्राकृत संख्या है ?
हल :
नहीं, ऐसी कोई प्राकृत संख्या नहीं है जिसका कोई परवर्ती नहीं है। अर्थात् प्रत्येक प्राकृत संख्या का परवर्ती होता है। कोई अन्तिम प्राकृत संख्या नहीं है अर्थात् सबसे बड़ी प्राकृत संख्या अज्ञात है।

पृष्ठ सं. 30 से

प्रश्न 1.
क्या सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ भी
हल :
हाँ, सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ भी हैं।

प्रश्न 2.
क्या सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ भी हैं?
हल :
नहीं, क्योंकि 10 एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
सबसे छोटी पूर्ण संख्या कौन-सी है?
हल :
सबसे छोटी पूर्ण संख्या शून्य (0) है।

प्रश्न 4.
सबसे बड़ी पूर्ण संख्या कौन-सी है?
हल :
सबसे बड़ी पूर्ण संख्या ज्ञात करना सम्भव नहीं

पृष्ठ सं. 31 से

प्रश्न 1.
संख्या रेखा का प्रयोग करके, 4 + 5; 2 + 6; 3 + 5 और 1 + 6 को ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दो पूर्ण संख्याओं (4 + 5) के योग को संख्या रेखा द्वारा निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं :

तीर के सिरे पर विन्दु 4 से प्रारम्भ करते हैं। चूँकि हमें इस संख्या में 5 जोड़ना है. इसलिए हम दाई ओर 5 कदम अर्थात् 4 से 5, 5 से 6, 6 से 7, 7 से 8 और 8 से 9 चलते हैं; पाँचवें कदम के अन्तिम तौर के सिरे पर बिन्दु 9 है।
इस प्रकार 4 + 5 = 9 है।

(ii) दो पूर्ण संख्याओं (2 + 6) के योग को संख्या रेखा द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात करते हैं :

तीर के सिरे पर बिन्दु 2 से प्रारम्भ करते हैं। चूँकि हमें इस संख्या में 6 जोड़ना है। इसलिए हम दाईं ओर 6 कदम अर्थात् 2 से 3,3 से 4,4 से 5,5 से 6, 6 से 7 और 7 से 8 चलते हैं। छठवें कदम के अन्तिम तीर के सिरे पर बिन्दु 8 है।
इस प्रकार 2 + 6 = 8 है।

(iii) दो पूर्ण संख्याओं (3 + 5) का योग संख्या रेखा द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात करते हैं :

तीर से सिरे पर बिन्दु 3 से प्रारम्भ करते हैं। चूँकि हमें इस संख्या में 5 जोड़ना है। इसलिए हम दाईं ओर पाँच कदम अर्थात् 3 से 4, 4 से 5, 5 से 6, 6 से 7 और 7 से 8 चलते हैं। पाँचवें कदम के अन्तिम तौर के सिरे पर बिन्दु 8 है।
इस प्रकार 3 + 5 = 8 है।

(iv) दो पूर्ण संख्याओं (1 + 6) के योग को संख्या रेखा द्वारा अग्न प्रकार से ज्ञात करते हैं :

तोर के सिरे पर बिन्दु । से प्रारम्भ करते हैं। चूँकि हमें इस संख्या में 6 जोड़ना है। इसलिए हम दाईं ओर 6 कदम अर्थात् 1 से 2, 2 से 3, 3 से 4, 4 से 5, 5 से 6 और 6 से 7 चलते हैं। छठवें कदम के अन्तिम सिरे पर बिन्दु 7 है।
इस प्रकार 1 + 6 = 7 है।

पृष्ठ सं. 32 से

प्रश्न 1.
संख्या रेखा का प्रयोग करके, 8 – 3; 6 – 2 और 9 – 6 ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दो पूर्ण संख्याओं (8 – 3) का व्यवकलन (घटाना) संख्या रेखा द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात करते हैं :

तीर के सिरे पर बिन्दु 8 से प्रारम्भ करते हैं। चूकि इस संख्या में से 3 घटाना है। इसलिए हम बाई ओर तीन कदम चलने पर बिन्दु 5 पर पहुँचते हैं।
इस प्रकार 8 – 3 = 5 प्राप्त होता है।

(ii) दो पूर्ण संख्याओं (6 – 2) का व्यवकलन (घटाना) संख्या रेखा द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात करते हैं :

तीर के सिरे पर बिन्दु 6 से प्रारम्भ करते हैं। चूँकि इस संख्या में से 2 घटाना है। इसलिए हम बाईं ओर दो कदम अर्थात् 6 से 5 और 5 से 4 चलते हैं, तो हमें बिन्दु 4 प्राप्त होता है।
इस प्रकार 6 – 2 = 4 प्राप्त होता है।

(iii) दो पूर्ण संख्याओं (9 – 6) का व्यवकलन (घटाना) संख्या रेखा द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात करते हैं :

तीर के सिरे पर बिन्दु 9 से प्रारम्भ करते हैं। चूंकि इस संख्या में से 6 घटाना है। इसलिए हम बाई ओर 6 कदम चलने पर बिन्दु 3 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार 9 – 6 = 3 प्राप्त होता है।

पृष्ठ सं. 32 से

प्रश्न 1.
संख्या रेखा का प्रयोग करके 2 × 6, 3 × 3 और 4 × 2 को ज्ञात कीजिए।
हल :
संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओं के गुणन को निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं:
(i) 2 × 6

संख्या रेखा पर 0 से प्रारम्भ करते हैं और दाईं ओर एक बार में 2 मात्रकों के बराबर छ: कदम चलते हैं, तो हम बिन्दु 12 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार 2 × 6 = 12 प्राप्त होता है।

(ii) 3 × 3

संख्या रेखा पर 0 से प्रारम्भ करते हैं और दाईं ओर एक बार में 3 मात्रकों के बराबर तीन कदम चलने पर हम बिन्दु 9 पर पहुंचते हैं। इस प्रकार 3 × 3 = 9 प्राप्त होता है।

(iii) 4 × 2

संख्या रेखा पर 0 से प्रारम्भ करते हैं और दाईं ओर एक बार में 4 मात्रकों के बराबर दो कदम चलने पर बिन्दु 8 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार 4 × 2 = 8 प्राप्त होता है।

पृष्ठ सं. 37 से (जाँच कीजिए)

प्रश्न (i)
पूर्ण संख्याओं के लिए, व्यवकलन (घटाना) क्रमविनिमेय नहीं है। इसकी जांच संख्याओं के तीन विभिन्न युग्म लेकर कीजिए।
हल :
(i) यदि a तथा b दो पूर्ण संख्याएँ हैं, तो व्यवकलन (a – b), (b – a) के बराबर नहीं होता।
हम जानते हैं कि 9 – 3 = 6 परन्तु 3 – 9 सम्भव नहीं है। 26 – 8 = 18 लेकिन 8 – 26 सम्भव नहीं है।
130 – 125 = 5 लेकिन 125 – 130 सम्भव नहीं है। इसलिए दो पूर्ण संख्याओं के लिए यदि a > b तब (a – b)
पूर्ण संख्या है लेकिन (b – a) सम्भव नहीं है। यदि b > a तब (b – a) पूर्ण संख्या है लेकिन (a – b) सम्भव नहीं है।
∴ पूर्ण संख्याओं के लिए घटाना क्रमविनिमेय नहीं है।

(ii) क्या (6 ÷ 3) वही है जो (3 ÷ 6) है?
हल:
6 ÷ 3 = 2 तथा 3 ÷ 6 = \(\frac {1}{2}\)
∴ 6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6
अत: (6 ÷ 3) वह नहीं है जो (3 ÷ 6) है।
कुछ और उदाहरण लेते हैं।
(a) 21 ÷ 7 = 3 तथा 7 ÷ 21 = \(\frac {1}{3}\)
∴ 21 ÷ 7 ≠ 7 ÷ 21

(b) 35 ÷ 5 = 7 तथा 5 ÷ 35 = \(\frac {1}{7}\)
∴ 35 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 35.

(c) 42 ÷ 6 = 7 तथा 6 ÷ 42 = \(\frac {1}{7}\)
∴ 42 ÷ 6 ≠ 6 ÷ 42.

पृष्ठ सं. 38 से (सोचिए और ज्ञात कीजिए)

प्रश्न 1.
कौन-सा गुणन सरल है और क्यों?
(a) (6 × 5) × 3 या 6 × (5 × 3)
(b) (9 × 4) × 25 या 9 × (4 × 25)
हल :
(a) (6 × 5) × 3 या 6 × (5 × 3)
(i) (6 × 5) × 3 = 30 × 3 = 90
(ii) 6 × (5 × 3) = 6 × 15 = 90
स्पष्टतः (6 × 5) × 3 गुणन सरल है। उत्तर

(b) (9 × 4) × 25 या 9 × (4 × 25)
(i) (9 × 4) × 25 = 36 × 25 = 900
(ii) 9 × (4 × 25) = 9 × 100 = 900
स्पष्टत: 9 × (4 × 25) गुणन सरल है। उत्तर

पृष्ठ सं. 39 से

प्रश्न 1.
7 + 18 + 13 और 16 + 12 + 4 को ज्ञात कीजिए।
हल :
सहचारिता (साहचर्य) और क्रमविनिमेय गुणों के आधार पर योग:
(i) 7 + 18 + 13 = (7 + 13) + 18
= 20 + 18 = 38
अथवा
= (7 + 18) + 13
= 25 + 13 = 38.

(ii) 16 + 12 + 4 = (16 + 4) + 12
= 20 + 12 = 32
अथवा
= (16 + 12) + 4
= 28 + 4 = 32. उत्तर

पृष्ठ सं. 39 से

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए:
(i) 25 × 8358 × 4
(ii) 625 × 3759 × 8
हल :
(i) 25 × 8358 × 4 = (25 × 4) × 8358
(साहचर्य गुणधर्म से)
= 100 × 8358
= 835800. उत्तर

(ii) 625 × 3759 × 8 = (625 × 8) × 3759
(साहचर्य गुणधर्म से)
= 5000 × 3759
= 18795000. उत्तर

पृष्ठ सं. 39 से (सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए)

प्रश्न 1.
क्या (16 ÷ 4) ÷ 2 = 16 ÷ (4 ÷ 2) है ? क्या विभाजन के लिए साहचर्य गुण लागू होता है ?
अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए। क्या (28 ÷ 14) ÷ 2 और 28 ÷ (14 ÷ 2) बराबर हैं ?
हल :
यहाँ (16 ÷ 4) ÷ 2 = (16 × \(\frac {1}{4}\)) ÷ 2
= 4 ÷ 2 = 4 × \(\frac {1}{2}\) = 2
तथा 16 ÷ (4 ÷ 2) = 16 ÷ (4 × \(\frac {1}{2}\))
= 16 ÷ 2 = 16 × \(\frac {1}{2}\) = 8
∴ (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2)
विभाजन के लिए साहचर्य गुण लागू नहीं होता है।
पुनः (28 ÷ 14) ÷ 2 = (28 × \(\frac {1}{4}\)) ÷ 2 = 2 ÷ 2
= 2 × \(\frac {1}{2}\) = 1
तथा 28 ÷ (14 ÷ 2) = 28 ÷ (14 × \(\frac {1}{2}\))
= 28 ÷ 7
= 28 × \(\frac {1}{7}\) = 4
∴ (28 ÷ 14) ÷ 2 ≠ 28 ÷ (14 ÷ 2)

पृष्ठ सं. 40 से

प्रश्न 1.
वितरण (या बंटन) गुण का प्रयोग करके 4 × (5 + 8); 6 × (7 + 9) और 7 × (11 + 9) को ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) 4 × (5 + 8) = 4 × 5 + 4 × 8
= 20 + 32 = 52. उत्तर
(ii) 6 × (7 + 9) = 6 × 7 + 6 × 9
= 42 + 54 = 96. उत्तर
(iii) 7 × (11 + 9) = 7 × 11 + 7 × 9
= 77 + 63 = 140. उत्तर

पृष्ठ सं. 41 से

प्रश्न 1.
वितरण गुण का प्रयोग करते हुए, 15 × 68, 17 × 23 और 69 × 78 + 22 × 69 के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) 15 × 68 = 15 × (70 – 2)
(व्यवकलन पर गुणन का वितरण गुणधर्म से)
= 15 × 70 – 15 × 2
= 1050 – 30 = 1020. उत्तर

(ii) 17 × 23 = 17 × (20 + 3)
(योग पर गुणन का वितरण गुणधर्म से)
= 17 × 20 + 17 × 3
= 340 + 51 = 391. उत्तर

(iii) 69 × 78 + 22 × 69
= 69 × (78 + 22)
(योग पर गुणन का वितरण गुणधर्म से)
= 69 × 100 = 6900. उत्तर

पृष्ठ सं. 44 से

प्रश्न 1.
कौन-सी संख्याएँ केवल रेखा के रूप में दाई जा सकती हैं ?
हल :
2, 5, 7, 11, 13, … संख्याएँ केवल रेखा के रूप में दर्शाई जा सकती हैं। उत्तर

प्रश्न 2.
कौन-सी संख्याएँ वर्गों के रूप में दशाई जा सकती हैं?
हल :
9, 16, 25….. संख्याएँ वर्गों के रूप में दर्शाई जा सकती हैं। उत्तर

प्रश्न 3.
कौन-सी संख्याएँ आयतों के रूप में दाई जा सकती हैं ?
हल :
4, 6, 8, 9, 10, 12, ……. संख्याएँ आयतों के रूप में दर्शाई जा सकती हैं। उत्तर

प्रश्न 4.
प्रथम सात त्रिभुजाकार संख्याओं को लिखिए (अर्थात् वे संख्याएँ जिन्हें त्रिभुजों के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है) 3, 6, ….
हल :
प्रथम सात त्रिभुजाकार संख्याएँ निम्नलिखित हैं :
3, 6, 10, 15, 21, 27 और 35. उत्तर

प्रश्न 5.
कुछ संख्याओं को दो आयतों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरणार्थ,

इसी प्रकार के कम-से-कम पाँच उदाहरण दीजिए।
हल :
12 के अतिरिक्त 5 संख्याएँ जिनको कि दो आयतों द्वारा दिखाया जा सकता है :
16 → 2 × 8, 4 × 4
18 → 3 × 6, 2 × 9
20 → 2 × 10, 4 × 5
24 → 3 × 8, 4 × 6
28 → 2 × 14, 4 × 7 उत्तर

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Exercise 13.2

प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृतियों में प्रत्येक की सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :
दी गई प्रत्येक आकृति बिन्दुकित रेखा के प्रति सममित है। ये बिन्दुकित रेखाएँ सममित रेखाएँ हैं :

प्रश्न 2.
नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में त्रिभुज को एक वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक में सममित रेखा (रेखाओं) को, यदि है, तो उन्हें खींचिए और त्रिभुज के प्रकार को पहचानिए। (आप उनमें से कुछ आकृतियों का अनुरेख (trace) करना पसंद कर सकते हैं। पहले पेपर को मोड़ने वाली विधि द्वारा प्रयास करें)

हल :
(a), (b) और (d) समद्विबाहु त्रिभुज हैं। (c) समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है। इनकी सममित रेखाएँ, बिन्दुकित रेखाओं द्वारा दर्शाई गई हैं।

प्रश्न 3.
निम्न तालिका को पूरा कीजिए।

हल :
तालिका को पूरी करने पर :

प्रश्न 4.
क्या आप एक ऐसा त्रिभुज बना सकते हो, जिसमें :
(a) केवल एक ही सममित रेखा हो ?
(b) केवल दो ही सममित रेखाएँ हों ?
(c) केवल तीन ही सममित रेखाएँ हों ?
(d) कोई सममित रेखा न हो ?
प्रत्येक में आकृति की रूपरेखा (खाका) बनाइए।
हल :
(a) हाँ, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी आकृति इस प्रकार है :

(b) नहीं।
(c) हाँ, यह एक समबाहु त्रिभुज है।
इसकी आकृति इस प्रकार है :

(d) हाँ, यह विषमबाहु त्रिभुज है।
इसकी आकृति इस प्रकार है :

प्रश्न 5.
एक वर्गांकित पेपर पर निम्न की रूपरेखा बनाइए:
(a) एक त्रिभुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परंतु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों ही सममित की रेखाएँ हों।
(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परंतु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(d) एक षट्भुज जिसमें केवल दो ही सममित रेखाएँ
(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हों।
हल :
एक वर्गांकित पेपर लेते हैं। उस पर दिए गए प्रश्नों के अनुसार आकृति बनाकर, सममित रेखाएँ निम्न प्रकार प्राप्त होती हैं

प्रश्न 6.
प्रत्येक आकृति का अनुरेखण (ट्रेस) कीजिए और सममित रेखाओं को खींचिए।

हल :
दी गई आकृतियों की सममित रेखाएँ, बिन्दुकित रेखाओं द्वारा दर्शाई गई हैं :

प्रश्न 7.
अंग्रेजी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों पर विचार कीजिए। इनमें से उन अक्षरों की सूची बनाइए जिनमें:
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हों (जैसा कि A)
(b) क्षैतिज सममित रेखाएँ (जैसा कि B)
(c) सममित रेखाएँ न हों (जैसा कि Q)

हल :
अंग्रेजी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों से:

(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाओं वाले (जैसा कि A)
A, H, I, M, O, T, U, V, W, X और Y.
(b) क्षैतिज सममित रेखाओं वाले (जैसा कि B)
B, C, D, E, H, I, K, O और X
(c) बिना सममित रेखाओं वाले (जैसा कि Q)
G, J, L, N, P, Q, R, S और Z.

प्रश्न 8.
यहाँ पर कुछ मुड़ी हुई शीट की आकृतियाँ दी गई हैं, जिनकी तह पर आकृतियाँ बनाई गई हैं। प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा खींचिए जो डिजाइन के काटने के बाद दिखाई देगी।

हल :
प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा जो डिजाइन के काटने के बाद दिखाई देगी, इस प्रकार है :

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 13 सममिति Exercise 13.1

प्रश्न 1.
अपने घर अथवा विद्यालय की ऐसी चार वस्तुओं की सूची बनाइए जो सममित हों।
हल :
घर की चार वस्तुएँ जो सममित हैं, निम्न हैं-

• शीशा
• पलंग
• ट्यूबलाइट
• बल्ब।

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में कौन-सी दर्पण रेखा, अर्थात् सममित रेखा है, l1 या l2 ?
हल :
दी गई आकृति में दर्पण रेखा अर्थात् सममित रेखा है।

प्रश्न 3.
नीचे दी गई आकृतियों की पहचान कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या ये आकृतियाँ सममित हैं या नहीं। उनकी सममित की रेखा भी खींचिए।

हल :
आकृति (c) के अतिरिक्त सभी आकृतियाँ (a), (b), (d), (e) और (f) सममित हैं तथा उनकी सममित रेखाएँ निम्न प्रकार हैं :

प्रश्न 4.
नीचे दी गई आकृतियों को वर्गांकित पेपर पर बनाइए। आपने वांकित पेपर का प्रयोग अपनी पिछली कक्षाओं में अंकगणित नोट-बुक में किया होगा। इन आकृतियों को इस तरह पूरा कीजिए कि बिन्दुकित रेखा ही सममित रेखा हो।

हल :
बिन्दुकित रेखा को सममित रेखा मानते हुए आकृति को पूरा करने पर,

प्रश्न 5.
नीचे दी गई आकृति में, l सममित रेखा है। इस आकृति को पूरा कीजिए जिससे यह सममित हो जाए।

हल :
पूरी आकृति इस प्रकार है :

प्रश्न 6.
आकृति में, lसममित रेखा है। त्रिभुज का प्रतिबिंब खींचिए और इस आकृति को पूरा कीजिए जिससे यह सममित हो जाए।

हल :
त्रिभुज का प्रतिबिम्ब इस प्रकार दर्शाया गया है कि पूरी आकृति सममित हो जाए।

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती InText Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती InText Questions

प्रयास कीजिए (पृष्ठ सं. 307 से)

प्रश्न 1.
रूलर और परकार की रचना के चरण 2 में, यदि हम त्रिज्या \(\overline{A B}\) के आधे से कम लें, तो क्या होगा?
हल :
चरण 2 में यदि हम त्रिज्या \(\overline{A B}\) के आधे से कम लें, तो A और B को केन्द्र मानकर खींचे गए चाप आपस में नहीं काटेंगे।
अतः रचना संभव नहीं होगी।

पृष्ठसं. 312 से

प्रश्न 1.
15° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
15° के कोण की रचना के लिए निम्न बिन्दुओं का अनुसरण करते हैं :

• पहले 60° का कोण बनाते हैं।
• इस कोण का समद्विभाजक करके 30° का कोण बनाते हैं।
• अंत में 30° के कोण को समद्विभाजित करते हैं, तब 15° का कोण प्राप्त होगा।

रचना के पद :

• पहले 60° का कोण AOB बनाते हैं (पूर्वानुसार)।
• अब ∠AOB का समद्विभाजक कर ∠AOC = 30° का प्राप्त करते हैं।
• माना चाप PQ को OC किरण S बिन्दु पर काटती है।
• बिन्दु P को केन्द्र मानकर, PS के आधे से अधिक दूरी लेकर, ∠OAC के अन्दर चाप लगाए जो दोनों चाप U बिन्दु पर काटते हैं।
• OU को मिलाते हुए आगे D तक बढ़ाया।
• अतः ∠AOD = 15°

पृष्ठ सं. 311 से

प्रश्न 1.
उपरोक्त चरण 2 में, यदि हम त्रिज्या BC के आधे से कम लें, तो क्या कोण होगा?
हल :
चरण 2 में यदि हम त्रिज्या BC के आधे से कम लें तो B और C को केन्द्र मानकर खींचे गए चाप आपस में नहीं करेंगे। इस स्थिति में कोण बनना सम्भव नहीं होगा। अर्थात् रचना सम्भव नहीं होगी।

पृष्ठ सं. 313 से

प्रश्न 1.
150° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखा खींची और इस पर कोई बिन्दु O अंकित किया।
(2) O को केन्द्र मानकर, कोई भी त्रिज्या लेकर एक अर्द्धवृत्त PS खींचा।
(3) P को केन्द्र मानकर तथा पूर्व के समान त्रिज्या का चाप लेकर चाप लगाया जो अर्द्धवृत्त को Q पर काटता है।

(4) अब Q को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या का चाप लगाया जो अर्द्धवृत्त को R पर काटता है।
(5) R और S को केन्द्र मानकर और SR दूरी के आधे से अधिक दूरी का चाप लेकर चाप लगाए जो कि बिन्दु T पर काटते हैं।
(6) OT को मिलाते हुए आगे B तक बढ़ाया। इस प्रकार ∠AOB ही वह कोण है जिसका माप 150° है।

पृष्ठ सं. 313 से

प्रश्न 1.
45° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे ?
हल :
रचना के पद :

• एक किरण OA खींची।
• बिन्दु O को। केन्द्र मानकर उपयुक्त त्रिज्या का चाप लगाते हैं, जो OA को P पर काटता है।
• बिन्दु P से उसी / त्रिज्या के चाप लगाते हैं जो पहले चाप पर तथा Q से पुनः एक और चाप लगाते हैं, जो R पर काटता है।
• अब बिन्दु Q तथा R से समान त्रिज्या के चाप लगाये जो परस्पर बिन्दु B पर काटते हैं।
• OB को मिलाते हुए C तक बढ़ाया। इस प्रकार ∠OAC = 90° प्राप्त होता है।
• ∠AOC का समद्विभाजक OE खींचा। इस प्रकार ∠AOD = 45° प्राप्त हुआ।

Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 2 पूर्ण संख्याएँ Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 पूर्ण संख्याएँ Exercise 2.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किससे शून्य निरूपित नहीं होगा?
(a) 1 + 0
(b) 0 × 0
(c) \(\frac {0}{2}\)
(d) \(\frac{10-10}{2}\)
हल :
1 + 0 = 1 ≠ 0
जब शून्य (0) को किसी संख्या में जोड़ते हैं, तो वही संख्या प्राप्त होती है।
∴ सही विकल्प (a) है। उत्तर

प्रश्न 2.
यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो क्या हम कह सकते हैं कि इनमें से एक या दोनों ही शून्य होने चाहिए? उदाहरण देकर अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
हाँ, दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल सदैव शून्य होगा, यदि इनमें से एक पूर्ण संख्या या दोनों संख्या 0 हो।
उदाहरण :
0 × 0 = 0
1 × 0 = 0
2 × 0 = 0
3 × 0 = 0
…………….
…………….
…………….

प्रश्न 3.
यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल 1 है, तो क्या हम कह सकते हैं कि इनमें से एक या दोनों ही 1 के बराबर होनी चाहिए ? उदाहरण देकर अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल 1 है, तो इनमें दोनों ही पूर्ण संख्याएँ 1 के बराबर होनी चाहिए।
उदाहरण : 1 × 1 = 1
या a × 1 = 1 = 1 × a,
जहाँ a = 1.

प्रश्न 4.
वितरण विधि से ज्ञात कीजिए :
(a) 728 × 101
(b) 5437 × 1001
(c) 824 × 25
(d) 4275 × 125
(e) 504 × 35
हल :
(a) 728 × 101
= 728 × (100 + 1)
= 728 × 100 + 728 × 1
= 72800 + 728 = 73528. उत्तर

(b) 5437 × 1001
= 5437 × (1000 + 1)
= 5437 × 1000 + 5437 × 1
= 5437000 + 5437
= 5442437. उत्तर

(c) 824 × 25 = 824 × \(\frac{25 \times 4}{4}\)
= \(\frac{25 \times 4}{4}\) × (25 × 4)
= 206 × (4 × 25)
= 206 × 100
= 20600. उत्तर

(d) 4275 × 125 = 4275 × \(\frac{125 \times 8}{8}\)
= \(\frac {4275}{8}\) × (125 × 8)
= \(\frac{4275 \times 1000}{8}=\frac{4275000}{8}\)
= 534375. उत्तर

(e) 504 × 35 = (252 × 2) × 35
= 252 × (2 × 35)
= 252 × 70
= 17640. उत्तर

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिरूप का अध्ययन कीजिए :
1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987
1234 × 8 + 4 = 9876
12345 × 8 + 5 = 98765
अगले दो चरण लिखिए। क्या आप कह सकते हैं कि प्रतिरूप किस प्रकार कार्य करता है ?
हल :
अगले दो चरण हैं:
123456 × 8 + 6 = 987654
1234567 × 8 + 7 = 9876543
प्रतिरूप निम्न प्रकार कार्य करता है:
1 × 8 + 1 = 9
(11 + 1) × 8 + 2 = 12 × 8 + 2 = 98
(111 + 11 + 1) × 8 + 3 = 123 × 8 + 3 = 987
(1111 + 111 + 11 + 1) × 8 + 4 = 1234 × 8 + 4 = 9876
(11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) × 8 + 5 = 12345 × 8 + 5 = 98765
(111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) × 8 + 6 = 123456 × 8 + 6 = 987654
तथा (1111111 + 1111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) × 8 + 7 = 1234567 × 8 + 7 = 9876543.