Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Exercise 3.3
प्रश्न 1.
विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं; 3 से विभाज्य हैं; 4 से विभाज्य हैं; 5 से विभाज्य हैं; 6 से विभाज्य हैं; 8 से विभाज्य हैं; से विभाज्य हैं। 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं (हाँ या नहीं कहिए) :
हल:
प्रश्न 2.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं और कौन-सी 8 से विभाज्य हैं :
(a) 572
(b) 726352
(c) 5500
(d) 6000
(e) 12159
(f) 14560
(g) 21084
(h) 31795072
(i) 1700
(j) 2150.
हल :
4 से विभाज्यता : हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या के दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में, 72, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(b) 726352 में, 52, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(c) 5500 में, 00, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(d) 6000 में, 00, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(e) 12159 में, 59, 4 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(f) 14560 में, 60, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(g) 21084 में, 84, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(h) 31795072 में, 72, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(i) 1700 में, 00, 4 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है। उत्तर
(j) 2150 में, 50, 4 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
8 से विभाज्यता:
हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या के इकाई, दहाई और सैकड़े के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 8 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में, 572, 8 से विभाज्य है।
(b) 726352 में, 352, 8 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(c) 5500 में, 500, 8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(d) 6000 में, 000, 8 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(e) 12159 में, 159.8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(f) 14560 में, 560, 8 से विभाज्य है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(g) 21084 में, 084.8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(h) 31795072 में, 072, 8 से विभाज्य हैं। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य है। उत्तर
(i) 1700 में, 700, 8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(j) 2150 में, 150, 8 से विभाज्य नहीं है। इसलिए यह संख्या 8 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
प्रश्न 3.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं :
(a) 297144
(b) 1258
(c) 4335
(d) 61233
(e) 901352
(f) 438750
(g) 1790184
(h) 12583
(i) 639210
(j) 17852
हल :
हम जानते हैं कि यदि कोई संख्या 2 और 3 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 6 से भी विभाज्य होगी।
(a) दी गई संख्या = 297144
इसका इकाई का अंक 4 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 2 + 9 + 7 + 1 + 4 + 4 = 27.
जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 297144, 6 से विभाज्य है। उत्तर
(b) दी गई संख्या = 1258
इसका इकाई का अंक 8 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 1 + 2 + 5 + 8 = 16, जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴ 1258, 6 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(c) दी गई संख्या = 4335
इसका इकाई का अंक 5 है।
∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴ 4335, 6 से भी विभाग्य नहीं है। उत्तर
(d) दी गई संख्या = 61233
इसका इकाई का अंक 3 है।
∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴ 61233, 6 से भी विभाज्य नहीं है। उत्तर
(e) दी गई संख्या = 901352
इसका इकाई का अंक 2 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 9 + 0 + 1 + 3 + 5 + 2 = 20, जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴ 901352.6 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(f) दी गई संख्या = 438750
इसका इकाई का अंक 0 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 4 + 3 + 8 + 7 + 5 + 0 = 27, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 438750, 6 से विभाज्य है। उत्तर
(g) दी गई संख्या = 1790184
इसका इकाई का अंक 4 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 1 + 7 + 9 + 0 + 1 + 8 + 4 = 30, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 1790184, 6 से विभाज्य है। उत्तर
(h) दी गई संख्या = 12583
इसका इकाई का अंक 3 है।
∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴ 12583, 6 से भी विभाज्य नहीं है। उत्तर
(i) दी गई संख्या = 639210
इसका इकाई का अंक 0 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 6 + 3 + 9 + 2 + 1 + 0 = 21, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ 639210, 6 से विभाज्य है। उत्तर
(j) दी गई संख्या = 17852
इसका इकाई अंक 2 है।
∴ यह 2 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 1 + 7 + 8 + 5 + 2 = 23, जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴ 17852, 6 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
प्रश्न 4.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं:
(a) 5445
(b) 10824
(c) 7138965
(d) 70169308
(e) 10000001
(f) 901153
हल :
हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग (दायें से) का अंतर 0 है या 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है।
(a) दी गई संख्या = 5445
विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 4 = 9
सम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 5 = 9
अंकों के योग का अन्तर = 9 – 9 = 0
∴ 5445, 11 से विभाग्य है।
(b) दी गई संख्या = 10824
विषम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 8 + 1 = 13
सम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 0 = 2
अंकों के योग का अन्तर = 13 – 2 = 11
∴ 10824, 11 से विभाज्य है। उत्तर
(c) दी गई संख्या 37138965
विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 9 + 3 + 7 = 24
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 8 + 1 = 15
अंकों के योग का अन्तर = 24 – 15 = 9
जो कि 11 का गुणज नहीं है।
∴ 7138965, 11 से विभाज्य नहीं है। उत्तर
(d) दी गई संख्या = 70169308
विषम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 3 + 6 + 0 = 17
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 9 + 1 + 7 = 17
अंकों के योग का अन्तर = 17 – 17 = 0
∴ 70169308, 11 से विभाज्य है। उत्तर
(e) दी गई संख्या = 10000001
विषम स्थानों के अंकों का योग = 1 + 0 + 0 + 0 = 1
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
अंकों के योग का अन्तर = 1 – 1 = 0
∴ 10000001, 11 से विभाज्य है। उत्तर
(f) दी गई संख्या = 901153
विषम स्थानों के अंकों का योग = 3 + 1 + 0 = 4
सम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 1 + 9 = 15
अको का याग का अन्तर = 15 – 4 = 11,
जो कि 11 का गुणज है।
∴ 901153, 11 से विभाज्य है। उत्तर
प्रश्न 5.
निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य हो;
(a) …………6724
(b) 4765………2
हल :
हम जानते हैं कि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य होगी।
(a) ………..6724
……….6724 में अंकों का योग = 6 + 7 + 2 + 4 = 19 है। यदि हम 19 में 2 जोड़ दें तो 21 प्राप्त होगा, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे छोटा अंक 2 है। उत्तर
पुन: यदि हम 19 में 8 जोड़ दें तो 27 प्राप्त होगा, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे बड़ा अंक 8 है। उत्तर
(b) 4765………… 2
4765………2 में अंकों का योग = 4 + 7 + 6 + 5 + 2 = 24, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे छोटा अंक 0 है। उत्तर
पुनः यदि हम 24 में 9 जोड़ दें तो 33 प्राप्त होगा, जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ सबसे बड़ा अंक 9 है।। उत्तर
प्रश्न 6.
निम्नलिखित रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिखिए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो
(a) 92…….389
(b) 8……..9484.
हल :
हम जानते हैं कि किसी संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग (दाएँ से) का अन्तर 0 या 11 से विभाज्य है, तो संख्या 11 से विभाज्य होगी।
(a) 92…….389 में विषम अंकों का योग
= 9 + 3 + 2 = 14
तथा सम अंकों का योग = 8 + अभीष्ट अंक + 9
= अभीष्ट अंक + 17
अंकों के योग का अन्तर = अभीष्ट अंक + 17 – 14
= अभीष्ट अंक + 3
अब, (अभीष्ट अंक + 3) को 11 बनाने के लिए अभीष्ट अक के स्थान पर 8 अंक होना चाहिए। (∵ 3 + 8 = 11)
∴ अभीष्ट अंक = 8 है। उत्तर
(b) 8…….9484
8……9484 के लिए विषम स्थानों के अंकों का योग
= 4 + 4 + अभीष्ट अंक
= 8 + अभीष्ट अंक
तथा सम स्थानों के अंकों का योग ।
= 8 + 9 + 8 = 25
अंकों के योग का अन्तर = 25 – (8 + अभीष्ट अंक)
= 17 – अभीष्ट अंक
(17 – अभीष्ट अंक) को 11 बनाने के लिए अभीष्ट संख्या के स्थान पर 6 अंक होना चाहिए। (∵ 17 – 6 = 11)
∴ अभीष्ट अंक 6 है। उत्तर