HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2 Text Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन प्रतिलोम अनुपात में है।
(i) किसी कार्य पर लगे व्यक्तियों की संख्या और उस कार्य को पूरा करने में लगा समय।
(ii) एक समान चाल से किसी यात्रा में लिया गया समय और तय दूरी।
(iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल।
(iv) एक निश्चित यात्रा में लिया गया समय और वाहन की चाल।
(v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।
हल:
(i) किसी कार्य पर लगे व्यक्यिों की संख्या बढ़ने पर उस कार्य को पूरा करने में लगा समय घटेगा । अत: यह प्रतिलोम अनुपात में है।
(ii) किसी यात्रा में लिया गया समय बढ़ेगा तो तय दूरी भी बढ़ेगी । अतः यह प्रतिलोम अनुपात में नहीं है।
(iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल बढ़ेगा, तो काटी गई फसल भी बढ़ेगी । अत: यह प्रतिलोम अनुपात में नहीं है।
(iv) निश्चित यात्रा में लिया गया समय बढ़ेगा, तो वाहन की चाल घटेगी । अत: यह प्रतिलोम अनुपात में है।
(v) किसी देश की जनसंख्या बढ़ेगी, तो प्रति व्याक्ति भूमि का क्षेत्रफल घटेगा । अतः यह प्रतिलोग अनुपात में है।

प्रश्न 2.
एक टेलीविजन गेम शो में ₹ 1,00,000 रुपये की पुरस्कार राशि विजेताओं में समान रूप से वितरित की जानी है । निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार की धन राशि विजेताओं की संख्या के अनुक्रमानुपाती है या व्युत्क्रमानुपाती है।

विजेताओं की संख्या	प्रत्येक विजेता का पुरस्कार (₹ में)
1	100000
2	50000
4	–
5	–
8	–
10	–
20	–

हल :
माना कि विजेताओं की संख्या x है तथा प्रत्येक विजेता का पुरूस्कार y है –

x	1	2	4	5	8	10	20
y	100000	50000	y	y	y	y	y

∴ विजेता की संख्या जितनी अधिक है, विजेता का पुरस्कार उतना ही कम है । अतः यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
अतः
(i) x₂y₂ = x₃y₃
2 × 50000 = 4 × y₃
∴ y₃ = \(\frac{2 \times 50000}{4}\)
= \(\frac{100000}{4}\)
∴ y₃ = ₹ 25,000

(ii) x₃y₃ = x₄y₄
4 × 25000 = 5 × y₄
∴ y₄ = \(\frac{4 \times 25000}{5}\)
y₄ = 4 × 5000
∴ y₄ = ₹ 20,000

(iii) x₄y₄ = x₅y₅
5 × 20000 = 8 × y₅
∴ y₅ = \(\frac{5 \times 20000}{8}\)
y₅ =\(\frac{5 \times 5000}{2}\)
= \(\frac{25000}{2}\) = 12500
∴ y₅ = ₹ 12,500

(iv) x₅y₅ = x₆y₆
8 × 12500 = 10 × y₆
∴ y₆ = \(\frac{8 \times 12500}{10}\)
y₆ =8 × 1250
∴ y₆ = ₹ 10,000

(iv) x₆y₆ = x₇y₇
10 × 10000 = 20 × y₇
y₇ = \(\frac{10 \times 10000}{20}\)
∴ y₇ = ₹ 5000

अतः

x	1	2	4	5	8	10	20
y	100000	50000	25,000	20,000	12,500	10,000	5000

प्रश्न 3.
रहमान तीलियों या डंडियों का प्रयोग करते हुए, एक पहिया बना रहा है। वह समान तीलियाँ इस प्रकार लगाना चाहता है कि किन्हीं भी क्रमागत तीलियों के युग्मों के बीच के कोण बराबर हैं।
अनलिखित सारणी को पूरा करके असकी सहायता कीजिए-

तीलियों की संख्या	4	6	8	10	12
क्रमागत तीलियों के एक युग्म के बीच का कोण	90°	60°	–	–	–

(i) क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में हैं ?
(ii) 15 तीलियों वाले एक पहिये के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण परिकलित कीजिए।
(iii) यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी ?
हल :
माना तीलियों की संख्या x तथा क्रमागत तीलियों के एक युग्म के बीच का कोण ) है, तथा तीलियों की संख्या बढ़ रही है, तो तीलियों के बीच का कोण कम होगा । अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है ।

तीलियों की संख्या	4	6	8	10	12
क्रमागत तीलियों के एक युग्म के बीच का कोण	90°	60°	\(y_{3}^{0}\)	\(y_{4}^{0}\)	\(y_{5}^{0}\)

(i) x₂y₂ = x₃y₃
6 × 60 = 8 × y₃
∴ y₃ = \(\frac{6 \times 60}{8}\)
⇒ \(\frac{360}{8}\)
∴ y₃ = 45°

(ii) x₃y₃ = x₄y₄
8 × 45 = 10 y₄
∴ y₄ = \(\frac{8 \times 45}{10}\) ⇒ \(\frac{8 \times 9}{2}\)
⇒ 4 × 9 = 36
∴ y₄ = 36°

(iii) x₄y₄ = x₅y₅
10 × 36 = 12 y₅
∴ y₅ = \(\frac{10 \times 36}{12}\)
= 10 × 3 = 30
∴ y₅ = 30°

तीलियों की संख्या	4	6	8	10	12
क्रमागत तीलियों के एक युग्म के बीच का कोण	90°	60°	45°	36°	30°

अत: (i) हाँ, तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में है, क्योंकि सारणी से स्पष्ट है कि तीलियों की संख्या बढ़ने पर उनका कोण घट रहा है।

(ii) माना 15 तीलियों वाले एक पहिये के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण है, तो

तीलियों की संख्या	12	15
कोण	30	x

∴12 × 30 = 15 × x
⇒ x = \(\frac{12 \times 30}{15}\) ⇒ 12 × 2
x° = 24°

(iii) माना कि, तीलियों की संख्या x, है तो-

तीलियों की संख्या	8	x
कोण	45	40

8 × 45 = 40x₁
⇒ x₁ = \(\frac{8 \times 45}{40}\) = 8
∴ x = 9
अत: तीलियों की संख्या = 9

प्रश्न 4.
यदि किसी डिब्बे की मिठाई को 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 5 मिठाइयाँ मिलती हैं। यदि बच्चों की संख्या में 4 की कमी हो जाए, तो प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?
हल:
माना, बच्चों की संख्या में यदि 4 की कमी हो जाती है, तो प्रत्येक बच्चों को मिठाई मिलती है।
दिया है, कुल बच्चे = 24
4 बच्चे की कमी के बाद बच्चे = 24 – 4 = 20

बच्चो की संख्या	24	20
मिठाई की संख्या	5	x

हम कह सकते हैं कि यदि बच्चे की संख्या कम हो जाती है तो प्रत्येक बच्चे को अधिक मिठाई मिलेगी । अत: यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
∴ 24 × 5 = 20 × x
⇒ x = \(\frac{24 \times 5}{20}\) = 6
अतः प्रत्येक बच्चे को 6 मिठाइयाँ मिलेंगी।

प्रश्न 5.
एक किसान की पशशाला में 20 पशुओं के लिए 6 दिन का पर्याप्त भोजन है। यदि इस पशुशाला में 10 पशु और आ जाएँ, तो यह भोजन कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?
हल:
पशुशाला में पशुओं की संख्या = 20
10 पशु और आने पर पशुओं की संख्या 20 + 10 = 30 होगी
माना कि जब पशुओं की संख्या 30 होती है, तब भोजन x दिन तक पर्याप्त होगा ।

पशुओं की संख्या	20	30
दिन	6	x

यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
20 × 6 = 30 × x
⇒ x = \(\frac{120}{30}\) = 4
∴ x = 4
अतः पशुओं के लिए यह भोजन 4 दिन तक पर्याप्त रहेगा ।

प्रश्न 6.
एक ठेकेदार यह आकलन करता है कि जसमिंदर के घर में पुनः तार लगाने का कार्य 3 व्यक्ति 4 दिन में कर सकते हैं। यदि वह तीन के स्थान पर चार व्यक्तियों को इस काम पर लगाता है, तो यह कार्य कितने दिन में पूरा हो जाएगा?
हल :
माना 4 व्यक्ति इस कार्य को दिन में कर सकते है।

व्यक्ति	3	4
दिन	4	x

अतः 3 × 4 = 4 × x = 12
⇒ x = \(\frac{12}{4}\) = 3
∴ x = 3
अत: 4 व्यक्ति 3 दिन में कार्य पूरा करेंगे।

प्रश्न 7.
बोतलों के एक बैच को 25 बक्सों में रखा जाता है, जबकि प्रत्येक बक्से में 12 बोतलें हैं। यदि इसी बैच की बोतलों को इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक बक्से में 20 बोतलें हों, तो कितने बक्से भरे जायेंगे ?
हल :
माना कि 20 बोतलों को बक्सों में रखा जाता है।

बोतलों की संख्या	12	20
बक्सों की संख्या	25	x

यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है, क्योंकि जैसे-जैसे . बोतलों की संख्या बढ़ती है, वैसे-वैसे बक्सों की संख्या घटती है।
∴ 12 × 25 = 20 × x ⇒ 20x= 25 × 12
x = \(\frac{25 \times 12}{20}\) = 15
∴ x = 15
अत: 20 बोतलों को 15 बक्सों में रखा जायेगा ।

प्रश्न 8.
एक फैक्ट्री को कुछ वस्तुएँ 63 दिन में बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है । उतनी ही वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए, कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?
हल :
माना कि 54 दिन में बनाने के लिए x मशीनों की आवश्यकता होती है।

दिनों की संख्या	63	54
मशीनों की संख्या	42	x

यहाँ प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है, क्योंकि दिनों की : संख्या कम करने पर मशीनों की संख्या बढ़ानी पड़ेगी ।
अतः 63 × 42 = 54 × x
⇒ x= \(\frac{63 \times 42}{54}\) = 49
∴ x = 49
अतः 49 मशीनों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 9.
एक कार एक स्थान तक पहुंचने में 60 km/h की चाल से चलकर 2 घंटे का समय लेती है। 80km/h की चाल से उस कार को कितना समय लगेगा?
हल :
माना कार को घंटे का समय लगेगा ।

कार की चाल	60	80
समय (घंटो में)	2	x

यहाँ प्रतिलोम समानुपाती का नियम लागू होगा ।
∴ 60 × 2 = 80 × x
⇒ x= \(\frac{60 \times 2}{80}\) ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)
∴ x = \(1 \frac{1}{2}\) घंटा
अतः रात का \(1 \frac{1}{2}\) का समापय लगायेगी ।

प्रश्न 10.
दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ 3 दिन में लगा सकते हैं
(i) कार्य प्रारम्भ होने से पहले एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। अब यह कार्य कितने दिन में पूरा होगा ?
(ii) एक ही दिन में खिड़कियाँ लगाने के लिए, कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी ?
हल :
(i) माना 1 व्यक्ति खिड़की को x दिन में लगाता है।

व्यक्ति	2	1
दिन	3	x

अतः यह प्रतिलोम समानुपाती है।
∴ 2 × 3 = 1 × x ⇒ x = 6
अत: 1 व्यक्ति 6 दिन में लगा पायेगा ।

(ii) माना, 1 दिन में खिड़की लगाने के लिए x व्यक्तियों की आवश्यकता होगी ।

व्यक्ति	2	x
दिन	3	1

यह प्रतिलोम समानुपाती है ।
∴ 2 × 3 = 1 × x ⇒ x = 6
x = 6 व्यक्ति
अत: 1 दिन में खिड़की को लगाने के लिए 6 व्यक्तियों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 11.
किसी स्कूल में, 45 मिनट अवधि के 8 कालांश होते है। यह कल्पना करते हुए कि स्कूल का कार्य समय उतना ही रहता है, यदि स्कूल में बराबर अवधि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश कितने समय का होगा ?
हल :
माना प्रत्येक कालांश x समय का होगा ।

कालांश की संख्या	8	9
समय (मिनट में)	45	x

अत: यह प्रतिलोम समानुपाती है।
8 × 45 = 9 × x
⇒ 9x = 8 × 45
⇒ x = \(\frac{8 \times 45}{9}\) ⇒ x = 40
∴ x = 40 मिनट
अतः प्रत्येक कालांश 40 मिनट का होगा।