Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 10 क्षेत्रमिति InText Questions and Answers.
Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 क्षेत्रमिति InText Questions
प्रयास कीजिए (पृष्ठ सं. 222 से)
प्रश्न 1.
अपनी अध्ययन टेबल के ऊपरी चारों सिरों की लंबाइयों को मापिए तथा उन्हें लिखिए।
AB = ………….. सेमी
BC = ……….. सेमी
CD = …………… सेमी
DA = ………… सेमी
अब चारों भुजाओं की लंबाइयों का योगफल
= AB + BC + CD + AD
= …….. सेमी + …. सेमी + …. सेमी + ……. सेमी
= …………….. सेमी
क्या आप बता सकते हैं कि परिमाप कितना है?
हल :
अध्ययन टेबल के ऊपरी चारों सिरों की लम्बाइयाँ मापने पर,
AB = 90 सेमी
BC = 60 सेमी
CD = 90 सेमी
DA = 60 सेमी
अब चारों भुजाओं की लम्बाइयों का योगफल
= AB + BC + CD + DA
= 90 सेमी + 60 सेमी + 90 सेमी + 60 सेमी
= 300 सेमी
परिमाप 300 सेमी है। उत्तर
प्रश्न 2.
अपनी नोटबुक के एक पृष्ठ की चारों भुजाओं की लंबाइयों को मापिए और उन्हें लिखिए। चरों भुजाओं की लंबाइयों का योगफल
= AB + BC + CD + DA
= ….. सेमी + ….. सेमी + ….. सेमी + ….. सेमी
= …… सेमी पृष्ठ का परिमाप कितना है?
हल :
नोटबुक के एक पृष्ठ की चारों भुजाओं की लंबाइयाँ मापने पर, AB = 30 सेमी, BC = 20 सेमी, CD = 30 सेमी, DA = 20 सेमी
चारों भुजाओं की लम्बाइयों का योगफल
= AB + BC + CD + DA
= 30 सेमी + 20 सेमी + 30 सेमी + 20 सेमी
= 100 सेमी
पृष्ठ का परिमाप 100 सेमी है।
प्रश्न 3.
मीरा 150 मीटर लम्बाई तथा 80 मीटर चौड़ाई वाले एक पार्क में जाती है। वह इस पार्क का पूरा एक चक्कर लगाती है। उसके द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
पार्क का पूरा चक्कर लगाने पर मीरा द्वारा तय की गई दूरी = पार्क की चारों भुजाओं को लम्बाइयों का योग
= 150 मीटर + 80 मीटर + 150 मीटर + 80 मीटर
= 460 मीटर, जो कि परिमाप है। उत्तर
प्रश्न 4.
निम्न आकृतियों के परिमार ज्ञात कीजिए :
हल :
(a) परिमाप = AB + BC + CD + DA
= 40 सेमी + 10 सेमी + 40 सेमी + 10 सेमी
= 100 सेमी उत्तर
(b) परिमाप = AB + BC + CD + DA
= 5 सेमी + 5 सेमी + 5 सेमी + 5 सेमी
= 20 सेमी उत्तर
(c) परिमाप = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LA
= (1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3) सेमी
= 28 सेमी उत्तर
(d) परिमाप = AB + BC + CD + DE + EF + FA
= 100 मी + 120 मी + 90 मी + 45 मी + 60 मी + 80 मी
= 495 मी उत्तर
पृष्ठ सं. 224 से
प्रश्न 1.
निम्नलिखित आयतों के परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
पृष्ठ सं. 234 से
प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर कोई एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त में उपस्थित वर्गों की संख्या को गिनकर वृत्ताकार क्षेत्र का अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ग्राफ पेपर पर कोई एक वृत्त खींचा जिसका प्रत्येक वर्ग 1 सेमी × 1 सेमी माप का है।
पूर्ण वर्ग जो वृत्त में है = 1
आधे से ज्यादा भरे वर्ग = 1
आधे से कम भरे वर्ग = 4
पूरे वर्गों द्वारा घेरा गया क्षेत्रमा = (1 × 1) वर्ग सेमी
= 1 वर्ग सेमी
आधे से ज्यादा भरे वर्गों द्वा: करा गया क्षेत्रफल
= (4 × \(\frac{1}{2}\)) वर्ग सेमी
= 2 वर्ग सेमी
आधे से कम भरे वर्गों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 4 × 0 वर्ग सेमी
= 0 सेमी
∴ कुल क्षेत्रफल = 1 + 4 + 0 वर्ग सेमी
= 5 वर्ग सेमी उत्तर
प्रश्न 2.
ग्राफ पेपर पर पत्तियों, फूल की पंखुड़ियों तथा ऐसी ही अन्य वस्तु को छायांकित कीजिए और उनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
नोट :
छात्र स्वयं करें।
आयत का क्षेत्रफल
(पृष्ठ सं. 235 से)
प्रश्न 1.
कुछ आयतों की भुजाओं की मापें दी गई हैं। इन्हें ग्राफ पेपर पर रखकर तथा वर्गों की संख्या को गिनकर, इनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
|
लम्बाई |
चौड़ाई |
क्षेत्रफल |
| 3 सेमी | 2 सेमी | ………….. |
| 5 सेमी | 4 सेमी | ………….. |
| 6 सेमी | 5 सेमी | ………….. |
इससे हर क्या निष्कर्ष निकालते हैं ?
हल:
इस तालिका से स्पष्ट है कि
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
इससे हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि बिना आलेख कागज का प्रयोग किए भी आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल
(पृष्ठ सं. 236 से)
प्रश्न 1.
कुछ वर्गों की एक भुजा की लम्बाई दी गई है। ग्राफ पेपर की सहायता से उनके क्षेत्रफलों को ज्ञात कीजिए।
| एक भुजा की लम्बाई | वर्ग का क्षेत्रफल |
| 3 सेमी | ………….. |
| 7 सेमी | ………….. |
| 5 सेमी | ………….. |
इससे हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं ?
हल:
| भुजा | 1 सेमी वर्गों की संख्या | क्षेत्रफल | भुजाओं के रूप में क्षेत्रफल |
| 3 सेमी | 9 | 9 वर्ग सेमी | (3 × 3) वर्ग सेमी |
| 7 सेमी | 49 | 49 वर्ग सेमी | (7 × 7) वर्ग सेमी |
| 5 सेमी | 25 | 25 वर्ग सेमी | (5 × 5) वर्ग सेमी |
इस तालिका से स्पष्ट है कि
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
इससे हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि ग्राफ पेपर का प्रयोग किए बिना भी वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एक चुनौती
(पृष्ठ सं. 239 से)
प्रश्न 1.
एक सेण्टीमीटर वर्गांकित पेपर पर आप जितने भी आयत बना सकते हैं बनाइए, जिससे कि आयत का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेमी हो जाए (केवल पूर्ण संख्या की लम्बाई पर ही विचार करना है):
(a) किस आयत का परिमाप सबसे अधिक है ?
(b) किस आयत का परिमाप सबसे कम है ?
यदि आप एक ऐसा आयत लें जिसका क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी हो, तो आपके उत्तर क्या होंगे?
दिए हुए क्षेत्रफल के लिए, क्या अधिकतम परिमाप के आयत के आकार को बताना सम्भव है? क्या सबसे कम परिमाप के आयत के बारे में बता सकते हैं? उदाहरण दीजिए और कारण बताइए।
हल :
एक सेण्टीमीटर वर्गांकित पेपर लेते हैं, जिस पर 16 वर्ग सेमी वाले सम्भव आयत निम्नलिखित भुजाओं वाले बनाए जा सकते हैं :
(i) 16 सेमी × 1 सेमी
(ii) 8 सेमी × 2 सेमी
(iii) 4 सेमी × 4 सेमी
इन्हें ABCD, EFGH और IJKL आयतों द्वारा दर्शाया गया है :
आयत ABCD में,
परिमाप = 2 × (AB + BC)
= 2 × (1 + 16) सेमी
= 2 × 17 सेमी = 34 सेमी
[∵ क्षेत्रफल = 1 × 16 वर्ग सेमी = 16 वर्ग सेमी]
आयत EFGH में,
परिमाप = 2 × (EF + FG)
= 2 × (2 + 8) सेमी
=2 × 10 सेमी = 20 सेमी
[∵ क्षेत्रफल = 2 × 8 वर्ग सेमी = 16 वर्ग सेमी]
आयत IJKL में,
परिमाप = 2 × (IJ + JK)
= 2 × (4 + 4) सेमी
= 2 × 8 सेमी = 16 सेमी
[∵ क्षेत्रफल = 4 × 4 वर्ग सेमी = 16 वर्ग सेमी]
इस प्रकार, यहाँ 3 आयत बनेंगे, जिनमें प्रत्येक का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेमी समान है।
(a) आयत ABCD का परिमाप सबसे अधिक है।
(b) आयत IJKL का परिमाप सबसे कम है।
स्थिति : जब आयत का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी हो:
सम्भव आयत 4 होंगे:
(i) 24 सेमी × 1 सेमी
(ii) 12 सेमी × 2 सेमी
(iii) 8 सेमी × 3 सेमी
(iv) 6 सेमी × 4 सेमी
इनका परिमाप क्रमशः 50 सेमी, 28 सेमी, 22 सेमी और 20 सेमी होगा।
इस प्रकार, (a) आयत (i) का परिमाप सबसे बड़ा है, जिसकी भुजाएँ 24 सेमी × 1 सेमी हैं।
(b) आयत (iv) का परिमाप सबसे कम है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी × 4 सेमी हैं।
हाँ, दिए हुए क्षेत्रफल से सबसे बड़े परिमाप वाले और सबसे छोटे परिमाप वाले आयत के आकार को बता सकते हैं। दिए गए क्षेत्रफल के अनुसार बनाए गए आयतों में जिस आयत की लम्बाई अधिकतम तथा चोड़ाई न्यूनतम होगी उसी आयत का परिमाप सबसे ज्यादा होगा।