Class 9

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 10 वृत्त Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 10 वृत्त

→ वृत्त वृत्त किसी तल के उन सभी बिंदुओं का समूह होता है, जो तल के एक स्थिर बिंदु से समान दूरी पर हों।

→ एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएं केंद्र (या संगत केंद्रों) पर बराबर कोण बनाती हैं।

→ यदि किसी वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) दो जीवाएं केंद्र पर (या संगत केंद्रों पर) बराबर कोण बनाएं, तो जीवाएं बराबर होती हैं।

→ किसी वृत्त के केंद्र से किसी जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है।

→ केंद्र से होकर जाने वाली और किसी जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।

→ चाप : वृत्त की परिधि के किसी भाग को चाप कहते हैं।

→ तीन असरेखीय बिंदुओं से होकर जाने वाला एक ओर केवल एक वृत्त होता है।

→ एक वृत्त की बराबर जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

→ एक वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएं बराबर होती हैं।

→ यदि किसी वृत्त के दो चाप सर्वांगसम हों, तो उनकी संगत जीवाएं बराबर होती हैं।

→ यदि किसी वृत्त की दो जीवाएं बराबर हों, तो उनके संगत चाप (लघु, दीर्घ) सर्वांगसम होते हैं।

→ किसी वृत्त की सर्वांगसम चाप केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं।

→ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसके द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।

→ एक वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।

→ अर्द्धवृत्त का कोण समकोण होता है।

→ यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड उसको अंतर्विष्ट करने वाली रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करे, तो चारों बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं।

→ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग 180° होता है।

→ यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी एक युग्म का योग 180° हो, तो वह चक्रीय चतुर्भुज होता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 1 संख्या पद्धति Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 1 संख्या पद्धति

→ प्राकृत संख्याएँ (N) = 1, 2, 3, 4, 5, …………..

→ सबसे छोटी प्राकृत संख्या 1 है।

→ पूर्ण संख्याएँ = 0, 1, 2, 3, 4, ………….

→ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 (शून्य) है।

→ पूर्णांक (Z) = …………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …………….

→ परिमेय संख्या – संख्या r को परिमेय संख्या कहा जाता है, यदि इसेद \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता हो, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।

→ किन्हीं दो दी हुई परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं।

→ अपरिमेय संख्या – संख्या ‘s’ को अपरिमेय संख्या कहा जाता है यदि इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में न लिखा जा सकता हो, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है; जैसे \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{15}\), π आदि ।

→ वास्तविक संख्याएँ – परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहा जाता है।

→ सांत दशमलव संख्या – यदि किसी संख्या के अंश को हर से भाग करने पर शेष शून्य हो जाता है तो ऐसी संख्या के दशमलव प्रसार को सांत दशमलव कहते हैं।

→ असांत दशमलव या अनवसानी आवर्ती संख्या – यदि किसी संख्या के अंश को हर से भाग करने पर शेष कभी भी शून्य नहीं होता तो ऐसी संख्या के दशमलव प्रसार को असांत दशमलव या अनवसानी आवर्ती संख्या कहते हैं।

→ एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनवसानी आवर्ती होता है। साथ ही, वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत या अनवसानी आवर्तीीं है, परिमेय होती है।

→ एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है। साथ ही, वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है, अपरिमेय होती है।

→ एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़ या घटाना, अपरिमेय होता है।

→ एक अपरिमेय संख्या के साथ एक शून्येतर (non-zero) परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय होता है।

→ यदि हम दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़े, घटाएँ, गुणा करें या एक अपरिमेय संख्या को दूसरी अपरिमेय संख्या से भाग दें, तो परिणाम परिमेय या अपरिमेय कुछ भी हो सकता है।

→ यदि a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हों तो-
(i) \(\sqrt{a b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
(ii) \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
(iii) \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)
(iv) \((a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b\)
(v) \((\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)=a-b^2\)
(vi) \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2 \sqrt{a b}+b\)

→ घातांक के नियम परिमेय संख्याओं पर भी लागू होते हैं अर्थात यदि a > 0, एक वास्तविक संख्या हो और p तथा q परिमेय संख्याएँ हों तो-
(i) a^p · a^q = a^p+q
(ii) \(\left(a^p\right)^q=a^{p q}\)
(iii) \(\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
(iv) a^p · b^p = (ab)^p

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

→ एक आकृति का क्षेत्रफल उस आकृति द्वारा घेरे गए तल के भाग से संबद्ध ( किसी मात्रक में) एक संख्या होती है।

→ दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं, परन्तु इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

→ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत शीर्षलंब

→ दो आकृतियां एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित कही जाती हैं, यदि उनमें एक उभयनिष्ठ आधार (एक भुजा) हो तथा उभयनिष्ठ आधार के सम्मुख प्रत्येक आकृति के शीर्ष (का शीर्ष) उस आधार के समांतर किसी रेखा पर स्थित हों।

→ एक ही आधार वाले और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।

→ एक ही आधार वाले और बराबर क्षेत्रफलों वाले समांतर चतुर्भुज एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।

→ यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

→ एक ही आधार (या बराबर आधारों) वाले और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।

→ त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत शीर्षलंब के गुणनफल का आधा होता है।

→ एक ही आधार वाले और बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुज एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।

→ त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
अर्थात ar (ΔABD) = ar (ΔACD)

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 8 चतुर्भुज Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 8 चतुर्भुज

→ चार रेखाखंडों से बनी बंद आकृति को चतुर्भुज कहते हैं। एक चतुर्भुज की चार भुजाएं, चार कोण व चार शीर्ष होते हैं।

→ चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है।

→ प्रत्येक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वागसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

→ किसी समांतर चतुर्भुज में,

• सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं।
• सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
• विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

→ एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है, यदि-

• सम्मुख भुजाएं बराबर हों।
• सम्मुख कोण बराबर हों।
• विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हों ।
• सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो ।

→ यदि चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं AB और CD का एक युग्म समांतर हो तो उसे समलंब कहते हैं।

→ आयत के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं। आयत का प्रत्येक कोण 90° का होता है।

→ समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। इसकी सभी भुजाएं समान होती हैं।

→ वर्ग के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं। वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है तथा सभी भुजाएं समान होती हैं।

→ किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।

→ किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

→ किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को एक क्रम से मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा बना चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 7 त्रिभुज Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 7 त्रिभुज

→ त्रिभुज- तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बनाई गई बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं। इसकी तीन भुजाएँ व तीन कोण होते हैं।

→ सर्वांगसम- दो आकृतियाँ सर्वांगसम कहलाती हैं, यदि उनका एक ही आकार व एक ही माप हो।

→ भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता- दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

→ कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता- दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हों।

→ एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों, उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं।

→ एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

→ किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

→ भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता- यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

→ समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता- यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा क्रमशः दूसरे त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

→ यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ असमान हों, तो बड़ी भुजा के सामने का सम्मुख कोण बड़ा होता है।

→ किसी त्रिभुज में बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।

→ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग सदा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

→ किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है।

→ समान त्रिज्याओं वाले दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 6 रेखाएँ और कोण Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 6 रेखाएँ और कोण

→ रेखाखंड- एक रेखा का वह भाग जिसके दो अंत बिंदु हों, उसे एक रेखाखंड कहते हैं।

→ किरण- रेखा का वह भाग जिसका एक अंत बिंदु हो, उसे एक किरण कहते हैं ।

→ सरेख बिंदु- यदि तीन या अधिक बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हों तो उन्हें संरेख बिंदु (Collinear Points) कहते हैं।

→ असरेख बिंदु- यदि तीन या अधिक बिंदु एक ही रेखा पर स्थित न हों तो उन्हें असरेख बिंदु (Non-Collinear Points) कहते हैं।

→ कोण- जब दो किरणें एक ही अंत बिंदु से प्रारंभ होती हों तो एक कोण बनता है। कोण को बनाने वाली दोनों किरणें कोण की भुजाएँ कहलाती हैं तथा वह उभयनिष्ठ अंत बिंदु कोण का शीर्ष कहलाता है।

→ न्यून कोण- 0° से 90° के बीच के कोण को न्यून कोण कहा जाता है।

→ समकोण- 90° के कोण को समकोण कहा जाता है।

→ अधिक कोण- 90° से 180° के बीच के कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

→ ऋजु कोण- 180° के कोण को ऋजु कोण या सरल कोण कहा जाता है।

→ प्रतिवर्ती कोण- 180° से अधिक परंतु 360° से कम माप के कोण को प्रतिवर्ती कोण कहा जाता है।

→ पूरक कोण यदि दो कोणों का योग एक समकोण के बराबर हो तो ऐसे कोण पूरक कोण कहलाते हैं ।

→ संपूरक कोण यदि दो कोणों का योग 180° हो तो ऐसे कोण संपूरक कोण कहलाते हैं।

→ आसन्न कोण- ऐसे दो कोण जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष हो, एक उभयनिष्ठ भुजा हो, अन्य दो भुजाएँ उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत दिशा में हों, उन्हें आसन्न कोण कहते हैं; जैसे आकृति में ∠ABD और ∠DBC आसन्न कोण हैं।

आकृति

→ रैखिक युग्म- यदि दो आसन्न कोणों का योग 180° हो तो उन्हें रैखिक युग्म कहा जाता है; जैसे ∠ABD और ∠DBC रैखिक युग्म हैं।

आकृति

→ शीर्षाभिमुख कोण- दो सरल रेखाओं के परस्पर काटने से आमने-सामने बने कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं तथा ये समान होते हैं; जैसे ∠AOD और ∠COB शीर्षाभिमुख कोण हैं।

आकृति

→ यदि दो आसन्न कोणों का योग 180° हो तो उनकी उभयनिष्ठ भुजाएँ एक रेखा बनाती हैं।

→ महत्त्वपूर्ण प्रमेय-

• यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हों तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
• यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
• यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि एकांतर अंतः कोणों का एक युग्म बराबर है, तो दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
• यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।
• यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का एक युग्म संपूरक है, तो दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
• वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।
• किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
• यदि एक त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाई जाए तो इस प्रकार बना बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख (विपरीत) कोणों के योग के बराबर होता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 15 प्रायिकता Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 15 प्रायिकता

→ गणित की एक शाखा, जिसे ‘प्रायिकता का सिद्धांत’ (Theory of Probability) कहते हैं, में अनिश्चितता के मापन का प्रावधान है। इस सिद्धांत में हम ऐसी स्थितियों (या प्रयोगों या घटनाओं पर ध्यान देते हैं जिनमें कोई विशेष परिणाम निश्चित नहीं होता है, किंतु वह अनेक संभाव्य परिणामों में से एक हो सकता है।

→ किसी घटना E की प्रायिकता, जिसे P (E) से दर्शाते हैं, निम्न सूत्र से प्राप्त होती है :

→ किसी घटना के घटने की प्रायिकता 0 से 1 के बीच (जिसमें 0 व 1 सम्मिलित हैं) होती है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी

→ आंकड़े एक निश्चित उद्देश्य से एकत्रित किए गए तथ्यों या अंकों को आंकड़े कहा जाता है।

→ सांख्यिकी : सांख्यिकी अध्ययन का वह क्षेत्र है जिसमें आंकड़ों के प्रति प्रस्तुतिकरण, विश्लेषण तथा निर्वचन पर विचार किया जाता है।

→ सांख्यिकी आंकड़ों का निरूपण सांख्यिकी आंकड़ों को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित प्रकार के आलेखों या आरेखों का उपयोग किया जाता है-

• आयत-चित्र,
• बारंबारता बहुभुज,
• बारंबारता वक्र,
• दंड आरेख,
• चित्रालेख,
• पाइ चार्ट या वृत्तीय आरेख ।

→ अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्य (समांतर माध्य) : सांख्यिकी आंकड़ों का आदर्श मापक ‘माध्य’ होता है क्योंकि माध्य अथवा औसत ज्ञात करने के लिए सभी आंकड़ों को निरूपित किया जाता है। इसे द्वारा प्रकट किया जाता है तथा प्राप्त आंकड़ों का माध्य सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर ज्ञात किया जाता है। यदि n प्रेक्षण x₁, x₂, x₃,…… x_n हो तो
माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots \ldots \ldots+x_n}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\)

→ अवर्गीकृत आंकड़ों के माध्य का परिकलन : इसकी निम्नलिखित दो विधियां हैं-
(a) प्रत्यक्ष विधि : यदि चर x के x₁, x₂, x₃, ……….. x_n अलग-अलग मान हों तथा इनकी संगत बारंबारता f₁, f₂, f₃, ………f_n हो तो
माध्य (\(\bar{x}\)) = \(=\frac{f_1 x_1+f_2 x_2+f_3 x_3+\ldots \ldots \ldots}{f_1+f_2+f_3+\ldots \ldots \ldots}=\frac{\sum_{i=1}^n f_i x_i}{\sum_{i=1}^n f_i}\)

(b) कल्पित माध्य विधि : यदि बारंबारताएं अधिक हों तो गणना कठिन हो जाती है, और तब इस विधि का प्रयोग करते हैं। इस विधि में हम एक स्वेच्छ अचर मान ‘a’ को लेते हैं । (ध्यान रहे कि ‘a’ का मान x का वह मान लेना चाहिए, जो बंटन के मध्य भाग में हो।) ‘a’ के मान को x में से घटाते जाते हैं। घटाने पर प्राप्त मान (x – a) को विचलन मान ‘d’ कहते हैं अर्थात d_i = x_i – a
तो माध्य \(\bar{x}\) = a + \(\bar{d}\), जहां \(\bar{d}=\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
कभी-कभी प्राप्त विचलनों d_i को एक अचर h से भाग देते हैं तथा मान u_i प्राप्त होता है।

→ माध्यक : सबसे मध्य वाले प्रेक्षण का मान माध्यक कहलाता है। यदि n विषम संख्या है, तो माध्यक = \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) वें प्रेक्षण का मान यदि ” सम संख्या है, तो माध्यक = \(\left(\frac{n}{2}\right)\) वें और \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\) वें प्रेक्षणों के मानों का माध्य।

→ बहुलक सबसे अधिक बार आने वाले प्रेक्षण का मान बहुलक कहलाता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

→ बिंदु – एक बिंदु (Point) वह है, जिसका कोई भाग नहीं होता।

→ एक रेखा (Line) चौड़ाई रहित लंबाई होती है।

→ एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं ।

→ एक सीधी रेखा ऐसी रेखा है, जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सपाट रूप से स्थित होती है।

→ एक पृष्ठ (Surface) ऐसा पृष्ठ है, जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

→ पृष्ठ के किनारे (Edges) रेखाएँ होती हैं।

→ एक समतल पृष्ठ (Plane surface) ऐसा पृष्ठ है, जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

→ यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत हैं-

• वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
• वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
• पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
• एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं।
• एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

→ यूक्लिड की अभिधारणाएँ निम्नलिखित थीं-

• एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
• एक सांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
• किसी बिंदु को केंद्र मानकर और किसी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
• सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
• यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं, जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 12 हीरोन सूत्र Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 12 हीरोन सूत्र

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 40 m, 24 m व 32 m हों।
हल :
यहाँ पर
a = 40 m, b = 24 m, c= 32 m
∴ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{40+24+32}{2}=\frac{96}{2}\) = 48 m.
हीरोन के सूत्र द्वारा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{48(48-40)(48-24)(48-32)}\) m²
= \(\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16}\) m²
= \(\sqrt{6 \times 8 \times 8 \times 6 \times 4 \times 4 \times 2 \times 2}\) m²
= 6 × 8 × 4 × 2 = 384 m²

प्रश्न 2.
10 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :
यहाँ पर
a = 10 cm, b = 10 cm, c = 10 cm
∴ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+10+10}{2}=\frac{30}{2}\) = 15 cm
हीरोन के सूत्र द्वारा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)}\) cm²
= \(\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5}\) cm²
= \(\sqrt{3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}\) cm²
= 5 × 5 × √3 cm² = 25√3 cm²

प्रश्न 3.
एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120 m, 80 m और 50 m हैं (देखिए आकृति)। एक मालिन धनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अंदर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है ? एक ओर 3m चौड़े एक फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर ₹ 20 प्रति मीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
a = 120m, b = 80 m, c = 50 m

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{120+80+50}{2} \mathrm{~m}=\frac{250}{2} \mathrm{~m}\)
= 125 m
घास उगाने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{125(125-120)(125-80)(125-50)}\) m²
= \(\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}\) m²
= \(\sqrt{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5 \times 5}\) m²
= 5 × 5 × 5 × 3 \(\sqrt{3 \times 5}\) m²
= 375√15 m²
पार्क का परिमाप = a + b + c = 120 + 80 + 50 = 250 m
बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई = परिमाप – फाटक की लंबाई
= 250 m – 3 m
= 247 m
अतः बाड़ लगाने के लिए कुल व्यय = 20 × 247 = ₹ 4940.

प्रश्न 4.
किसी त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है। उसका परिमाप 300 cm है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :
यहाँ पर त्रिभुज की भुजाओं का अनुपातa : b : c= 3 : 5 : 7
अनुपाती योग = 3 + 5 + 7 = 15
a = \(\frac{3}{15}\) × 300 = 60 cm
b = \(\frac{5}{15}\) × 300 = 100 cm
c = \(\frac{7}{15}\) × 300 = 140 cm
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{300}{2}\) = 150 cm
अतः हीरोन के सूत्र द्वारा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)}\) cm²
= \(\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}\) cm²
= \(\sqrt{2 \times 3 \times 5 \times 5 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 2 \times 5 \times 5 \times 2 \times 5}\) cm²
= 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 5 × √3 = 1500√3 cm²

प्रश्न 5.
कमला के पास 240 m, 200 m और 360 m भुजाओं वाला एक त्रिभुजाकार खेत है, जहाँ वह गेहूँ उगाना चाहती है। इसी खेत से संलग्न 240 m,320 m और 400 m भुजाओं वाला एक अन्य खेत है, जहाँ वह आलू और प्याज उगाना चाहती है (देखिए आकृति)। उसने इस खेत की सबसे लंबी भुजा के मध्य-बिंदु को सम्मुख शीर्ष से जोड़कर उसे दो भागों में विभाजित कर दिया। इनमें से एक भाग में उसने आलू उगाए और दूसरे भाग में प्याज उगाए। गेहूँ, आलू और प्याज के लिए कितने-कितने क्षेत्रफलों (हेक्टेयर में) का प्रयोग किया गया है ? (1 हेक्टेयर = 10000 m² है)
हल :

माना ABC वह खेत है, जहाँ गेहूँ उगाया गया है।
साथ ही, ACD वह खेत है जिसकी भुजा AD के मध्य-बिंदु E को C से जोड़कर इस खेत को दो भागों में विभाजित करती है।
∆ABC के लिए
a = 200 m, b = 240 m, c = 360 m
अतः s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{200+240+360}{2} \mathrm{~m}\) = 400 m
इसलिए गेहूँ उगाने के लिए क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{400(400-200)(400-240)(400-360)}\) m²
= \(\sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40}\) m²
= 16000 √2 m²
= 1.6 × √2
= 1.6 × 1.41 हेक्टेयर
= 2.26 हेक्टेयर (लगभग)

अब, ∆ACD के लिए =
a = 240 m, b = 320m, c = 400 m
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{240+320+400}{2} \mathrm{~m}\) = 480 m

अतः ∆ACD का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{480(480-240)(480-320)(480-400)}\) m²
= \(\sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80}\) m²
= 38400 m² = 3.84 हेक्टेयर
अतः आलू उगाने के लिए क्षेत्रफल = प्याज उगाने के लिए क्षेत्रफल
= \(\frac{3.84}{2}\) = 1.92 हेक्टेयर

प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसमें विकर्ण AC की लंबाई 10 cm तथा Ba D से AC पर खींचे गए लंबों की लंबाइयाँ क्रमशः 7 cm तथा 5 cm हैं।
हल :

आकृति अनुसार,
AC = 10 cm
BE = 7 cm
DF = 5 cm
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (∆ABC + ∆ACD) का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × AC × BE + \(\frac{1}{2}\) × AC × DF
= [\(\frac{1}{2}\) × 10 × 7 + \(\frac{1}{2}\) × 10 × 5] cm²
= (35 + 25) cm² = 60 cm²

प्रश्न 7.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 6 cm, 8 cm, 7 cm व 9 cm हो। पहली दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है।
हल :
माना चतुर्भुज ABCD में

AB = 6 cm, BC = 8 cm, CD = 7 cm व DA = 9 cm
∠B = 90°
समकोण ∆ABC में
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC} \mathrm{C}^2}\)
= \(\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\) = 10 cm

समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × BC
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 8 cm² = 24 cm²
∆ADC के लिए a = 7 cm, b = 9 cm, c = 10 cm
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+10}{2} \mathrm{~cm}=\frac{26}{2}\) = 13 cm

हीरोन सूत्र से
∆ADC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{13(13-7)(13-9)(13-10)}\) cm²
= \(\sqrt{13 \times 6 \times 4 \times 3}\) cm²
= \(\sqrt{13 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3}\) cm²
= 2 × 3 × 26 cm²
= 6√26 cm²

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (∆ABC + ∆ADC) का क्षेत्रफल
= (24 + 6√26) cm²

प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज का परिमाप 24 cm है। इसके एक विकर्ण का माप 8 cm है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :
माना ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण
AC = 8 cm
समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा = \(\frac{24}{4}\) = 6 cm

∆ABC के लिए
a = 6 cm, b = 6 cm, c = 8 cm
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}\) = 10 cm
हीरोन सूत्र से
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{10(10-6)(10-6)(10-8)}\)
= \(\sqrt{10 \times 4 \times 4 \times 2}\) = 8√5 cm²
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 2 × ∆ABC का क्षेत्रफल
= 2 × 8√5 cm²
= 16√5 cm²

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज जिसका आधार 12 cm तथा ऊँचाई 5 cm हो, तो उसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 60 cm²
(B) 30 cm²
(C) 30 m²
(D) 60 m²
उत्तर-
(B) 30 cm²

प्रश्न 2.
10 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 25√2 cm²
(B) 25√5 cm²
(C) 50√3 cm²
(D) 50√2 cm²
उत्तर-
(B) 25√3 cm²

प्रश्न 3.
असमान भुजा 8 cm और बराबर भुजाएँ 5 cm वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(A) 12 cm²
(B) 12 m²
(C) 12 cm
(D) 12 m
उत्तर-
(A) 12 cm²

प्रश्न 4.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल होगा
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a²
उत्तर-
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²

प्रश्न 5.
ABCD एक चतुर्भुज है तथा BD इसके विकर्णों में से एक है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल होगा-

(A) 20 cm²
(B) 15 cm²
(C) 10 cm²
(D) 40 cm²
उत्तर-
(A) 20 cm²

प्रश्न 6.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा जिसकी दो भुजाएँ 18 m और 10 m हैं तथा परिमाप 42 m है ?
(A) 21√11 cm
(B) 21√11 cm²
(C) 21√11 cm³
(D) 21√11 m²
उत्तर-
(D) 21√11 m²

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इसकी सबसे बड़ी भुजा की लंबाई होगी-
(A) 120 cm
(B) 170 cm
(C) 250 cm
(D) 540 cm
उत्तर-
(C) 250 cm

प्रश्न 8.
एक समबाहु त्रिभुज जिसका परिमाप 180 cm है, इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 900√3 cm
(B) 900√3 cm²
(C) 90√3 m
(D) 90√3 m²
उत्तर-
(B) 900√3 cm²

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 9000 cm²
(B) 9000 m²
(C) 9000 cm³
(D) 9000 m³
उत्तर-
(A) 9000 cm²

प्रश्न 10.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लंबाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 9√15 cm³
(B) 9√15 m³
(C) 9√15 cm²
(D) 9√15 m²
उत्तर-
(C) 9√15 cm²

प्रश्न 11.
समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB = 12 cm है। भुजाओं AB तथा AD के संगत शीर्षलंब क्रमशः 6 cm और 8 cm हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। AD का मान होगा-

(A) 4.5 cm
(B) 9 cm
(C) 13.5cm
(D) 18 cm
उत्तर-
(B) 9 cm

प्रश्न 12.
आकृति में ∠ACO = 90°, AC = BC, OA = 12 cm तथा OC = 6.5 cm है। ∆AOB का क्षेत्रफल होगा जबकि AC =10 cm हो-

(A) 30 cm
(B) 60 cm²
(C) 65 cm²
(D) 70 cm²
उत्तर-
(C) 65 cm²

प्रश्न 13.
सानिया के पास एक खेत है, जो एक समचतुर्भुज के आकार का है। वह अपनी एक पुत्री और एक पुत्र से यह चाहती थी कि वे इस खेत पर काम करके अलग-अलग फसलों (या उपजों) का उत्पादन करें। उसने इस खेत को दो बराबर भागों में विभाजित कर दिया। यदि इस खेत का परिमाप 400 m है और एक विकर्ण 160 m है, तो प्रत्येक को खेती के लिए कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
(A) 4800 m²
(B) 9600 m²
(C) 4800 m
(D) 9600 m
उत्तर-
(A) 4800 m²

प्रश्न 14.
एक पार्क चतुर्भुज PQRS के आकार का है, जिसमें ZR = 90%, PQ= 9 m, QR = 12 m, RS = 5 m और PS = 8 m है। इस पार्क का क्षेत्रफल होगा-
(A) 65.5 m²
(B) 65.5 cm²
(C) 65.5 m
(D) 65.5 cm
उत्तर-
(A) 65.5 m²

प्रश्न 15.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल क्या होगा, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है ?
(A) 15.2 m²
(B) 15.2 cm²
(C) 15.2 m
(D) 15.2 cm
उत्तर-
(B) 15.2 cm²

प्रश्न 16.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई होगी-
(A) 12 cm
(B) 12 cm²
(C) 12 m
(D) 12 m²
उत्तर-
(A) 12 cm

प्रश्न 17.
किसी समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र होता है-
(A) समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी
(B) असमांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी
(C) \(\frac{1}{2}\) × समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच
(D) असमांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी की दूरी
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{2}\) × समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी

प्रश्न 18.
6 cm, 8 cm तथा 10 cm भुजाओं वाली त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 18 cm²
(B) 22 cm²
(C) 24 cm²
(D) 12 cm²
उत्तर-
(C) 24 cm²

प्रश्न 19.
एक समकोण त्रिभुज जिसमें समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाई 5 cm तथा 12 cm है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 30 cm²
(B) 60 cm²
(C) 90 cm²
(D) 75 cm²
उत्तर-
(A) 30 cm²

प्रश्न 20.
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र होता है-
(A) \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
(B) आधार × ऊँचाई
(C) 2 × आधार × ऊँचाई
(D) 3 × आधार × ऊँचाई
उत्तर-
(B) आधार × ऊँचाई

प्रश्न 21.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस’ समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
(A) 48 m²
(B) 48 m
(C) 48 cm²
(D) 48 cm
उत्तर-
(A) 48 m²

प्रश्न 22.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है जैसाकि आकृति में दिखाया गया है। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?

(A) 200√6 cm²
(B) 2000√6 cm²
(C) 1000√6 cm²
(D) 400√6 cm²
उत्तर-
(C) 1000√6 cm²

प्रश्न 23.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए शेड III में कितना कागज प्रयुक्त हुआ ?

(A) 256 cm
(B) 256 cm²
(C) 17.92 cm
(D) 17.92 cm²
उत्तर-
(D)17.92 cm²

प्रश्न 24.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 10 cm है तथा समान भुजाओं में से एक भुजा 13 cm है। हीरोन के सूत्र द्वारा इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 60 cm²
(B) 30 cm²
(C) 90 cm²
(D) 45 cm²
उत्तर-
(A) 60 cm²

प्रश्न 25.
एक समचतुर्भुज का परिमाप 24 cm है, उसके एक विकर्ण का माप 8 cm है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 8√5 cm²
(B) 12√5 cm²
(C) 16√5 cm²
(D) 24√5 cm²
उत्तर-
(C) 16√5 cm²

प्रश्न 26.
उस समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या होगी जिसका आधार 30 cm और क्षेत्रफल 120 cm- हो ?
(A) 4 cm
(B) 8 cm
(C) 4 cm²
(D) 8 cm²
उत्तर-
(B) 8 cm

प्रश्न 27.
किसी समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की माप 5 cm और 3.5 cm हैं। उसके एक विकर्ण की माप 6.5 cm हो, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 10√3 cm
(B) 10√3 m
(C) 10√3 cm²
(D) 10√3 m²
उत्तर-
(C) 10√3 cm²

प्रश्न 28.
यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं को दुगुना कर दिया जाए तो उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ जाएगा ?
(A) 100%
(B) 200%
(C) 300%
(D) 400%
उत्तर-
(B) 200%

प्रश्न 29.
एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 60 m, 80 m और 100 m हैं। ₹ 2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस खेत को जोतने पर कितना खर्च आएगा ?
(A) ₹ 60
(B) ₹ 600
(C) ₹ 5000
(D) ₹ 6000
उत्तर-
(D) ₹ 6000

प्रश्न 30.
किसी त्रिभुज का अर्ध-परिमाप क्या होगा यदि उसकी भुजाएँ 40 m, 24 m और 32 m हो?
(A) 3072 m
(B) 96 m
(C) 48 m²
(D) 48 m
उत्तर-
(D) 48 m

प्रश्न 31.
उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होगा जिसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई 5 cm तथा 6 cm है और एक विकर्ण की लंबाई 7 cm है ?
(A) 6√6 cm²
(B) 12√6 cm²
(C) 24√6 cm²
(D) 18√6 cm²
उत्तर-
(B) 12√6 cm²

प्रश्न 32.
एक खेत समलंब के आकार का है, जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल होगा-
(A) 196 m²
(B) 196 m³
(C) 196 m
(D) 196 cm²
उत्तर-
(A) 196 m²

प्रश्न 33.
किसी समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की लंबाइयाँ क्रमशः 51 cm और 37 cm हैं। इसका एक विकर्ण 20 cm हो, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 306 cm²
(B) 612 cm²
(C) 612 m²
(D) 306 m²
उत्तर-
(B) 612 cm²

प्रश्न 34.
एक त्रिभुजाकार प्लेट की भुजाएँ 8 cm, 15 cm और 17 cm हैं। यदि इसका भार 96 ग्राम हो, तो प्लेट का प्रति वर्ग सें०मी० भार क्या होगा ?
(A) 16 gm
(B) 8 gm
(C) 1.6 gm
(D) 0.8 gm
उत्तर-
(C) 1.6 gm

प्रश्न 35.
एक त्रिभुज का परिमाप 270 m है तथा इसकी भुजाओं में अनुपात 12 : 17 : 25 है, तो इसकी सबसे छोटी भुजा होगी-
(A) 60 m
(B) 85 m
(C) 125 m
(D) 270 m
उत्तर-
(A) 60 m

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरणों के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) x = – 5
(ii) y = 2
(iii) 2x = 3
(iv) 5y = 2
हल :
(i) x = – 5 को (1)x + (0)y = – 5, या (1) x + (0). y + 5 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
(ii) y = 2 को (0)x + (1)y = 2 या (0)x + (1)y – 2 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
(iii) 2x = 3 को 2x + (0)y = 3 या 2x + (0)y – 3 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
(iv) 5y = 2 को (0)x + 5y = 2 या (0)x + 5y – 2 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न 2.
समीकरण x + 2y = 6 के चार हल ज्ञात करें।
हल :
यहां पर
x + 2y = 6
x = 6 – 2y
(i) यदि y = 1, तो x = 6 – 2(1) = 6 – 2 = 4
(ii) यदि y = 2, तो x = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2
(iii) यदि y = 0, तो x = 6 – 2(0) = 6 – 0 = 6
(iv) यदि y = – 1, तो x = 6 – 2(- 1) = 6 + 2 = 8
∴ अभीष्ट चार हल हैं : (4, 1), (2, 2), (6, 0), (8, – 1)

प्रश्न 3.
समीकरण 2x + 1 = x – 3 को हल कीजिए और हल को
(i) संख्या रेखा
(ii) कार्तीय तल पर निरूपण कीजिए।
हल :
2x + 1 = x – 3 को हल करने पर यह प्राप्त होता है-
2x – x = – 3 – 1 अर्थात्
x = – 4
(i) संख्या रेखा पर हल के निरूपण को आकृति में दिखाया गया है, जहाँ x = – 4 को एक चर वाला समीकरण माना गया है।

(ii) हम चर x तथा y वाले रैखिक समीकरण के रूप में x = – 4 को x + 0.y = – 4 के रूप में लिख सकते हैं। इसे एक रेखा से निरूपित किया जाता है। अब y के सभी मान मान्य होते हैं, क्योंकि 0.y सदा ही शून्य होता है। फिर भी x को संबंध x = – 4 को अवश्य संतुष्ट करना चाहिए। अतः दिए हुए समीकरण के दो हल x = – 4, y = 0 और x = – 4, y = 2 हैं।
आलेख AB, y-अक्ष के समांतर एक रेखा है जो इसके बाईं ओर 4 एकक की दूरी पर है।
इसी प्रकार, y = 3 या 0.x + 1.y = 3 के प्रकार के समीकरणों के संगत, हम x-अक्ष के समांतर एक रेखा प्राप्त कर सकते हैं।

प्रश्न 4.
आकृति में दिए गए प्रत्येक आलेख को ध्यान से देखिए और नीचे के प्रत्येक आलेख के विकल्पों से आलेख में। दिए गए समीकरण का चयन कीजिए : (a) आकृति (i) के लिए,
(i) x + y = 0 (ii) y = 2x (iii) y = x (iv) y = 2x + 1

(b) आकृति (ii) के लिए,
(i) x + y = 0 (ii) y = 2x (iii) y = 2x + 4 (iv) y = x – 4

(c) आकृति (iii) के लिए,
(i) x + y = 0 (ii) y = 2x (iii) y = 2x + 1 (iv) y = 2x – 4

हल :
(a) आकृति (1) में रेखा पर बिंदु (-1,- 2), (0, 0), (1, 2) हैं। जांच करने पर इस आलेख का संगत समीकरण y = 2x है।
जांध :
y = 2x
(- 1, – 2) के लिए
– 2 = 2 × (- 1)
⇒ – 2 = – 2

y = 2x
(0, 0) के लिए
0 = 2 × 0
⇒ 0 = 0

y = 2x
(1, 2) के लिए
2 = 2 × 1
⇒ 2 = 2

(b) आकृति (ii) में रेखा पर बिंदु (- 2, 0), (0, 4), (1, 6) हैं। जांच करने पर आलेख के बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण y = 2x + 4 को संतुष्ट करते हैं। अतः y = 2x + 4 आकृति (ii) के आलेख का संगत समीकरण है।

जांच :
y = 2x + 4
(- 2, 0) के लिए
0 = 2 × (- 2) + 4
0 = – 4 + 4
⇒ 0 = 0

y = 2x +4
(0, 4) के लिए
4 = 2 × 0 + 4
4 = 0 + 4
⇒ 4 = 4

y = 2x + 4
(1, 6) के लिए
6 = 2 × 1 + 4
6 = 2 + 4
⇒ 6 = 6

(c) आकृति (iii) में, रेखा पर बिंदु (- 1, – 6), (0, – 4), (1, – 2), (2, 0) हैं। जांच करने पर हम कह सकते हैं कि y= 2x – 4 दिए हुए आलेख का संगत समीकरण है।

जांच :
y = 2x – 4
(- 1, – 6) के लिए
– 6 = 2 × (- 1) – 4
– 6 = – 2 – 4
⇒ – 6 = – 6

y = 2x – 4
(0, 4) के लिए
– 4 = 2 × 0 – 4
– 4 = 0 – 4
⇒ – 4 = – 4

y = 2x – 4
(1, – 2) के लिए
– 2 = 2 × 1 – 4
– 2 = 2 – 4
⇒ – 2 = – 2

y = 2x – 4
(2, 0) के लिए
0 = 2 × 2 – 4
0 = 4 – 4
⇒ 0 = 0.

Multiple Chpice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों तो निम्नलिखित में से कौन-सा समीकरण दो चरों वाला रैखिक समीकरण होगा-
(A) ax = 0
(B) by = 0
(C) ax = – c
(D) ax + by + c = 0
उत्तर-
(D) ax + by + c = 0

प्रश्न 2.
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हलों की संख्या होती है-
(A) एक
(B) दो
(C) अपरिमित रूप से अनेक
(D) परिमित
उत्तर-
(C) अपरिमित रूप से अनेक

प्रश्न 3.
दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आलेख होता है-
(A) सरल रेखा
(B) वक्र रेखा
(C) चाप आकार
(D) U आकार
उत्तर-
(A) सरल रेखा

प्रश्न 4.
2x +3y = \(9.3 \overline{5}\) को रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर c का मान होगा-
(A) \(9.3 \overline{5}\)
(B) – \(9.3 \overline{5}\)
(C) 2
(D) 3
उत्तर-
(B) – \(9.3 \overline{5}\)

प्रश्न 5.
समीकरण x – \(\frac{y}{5}\) – 10 = 0 की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर b का मान होगा-
(A) 1
(B) \(\frac{1}{5}\)
(C) – \(\frac{1}{5}\)
(D) – 10
उत्तर-
(C) – \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 6.
समीकरण 4 = 5x – 3y को ax + by + c = 0 के रूप में लिखिए व c का मान बताइए।
(A) 5
(B) – 3
(C) 0
(D) – 4
उत्तर-
(D) – 4

प्रश्न 7.
समीकरण 2x = – 5y का ax + by + c = 0 रूप होगा-
(A) 2x – 5y + 0 = 0
(B) 2x + 5y + 0 = 0
(C) – 2x + 5y + 0 = 0
(D) – 2x – 2y + 0 = 0
उत्तर-
(B) 2x + 5y+ 0 = 0

प्रश्न 8.
समीकरण 3x + 2 = 0 की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर b का मान होगा-
(A) 3
(B) 2
(C) – 2
(D) शून्य
उत्तर-
(D) शून्य

प्रश्न 9.
समीकरण y – 2 = 0 को रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर aव b के मान क्रमशः होंगे-
(A) 0, 1
(B) 0, – 2
(C) 1, – 2
(D) 0, – 1
उत्तर-
(A) 0, 1

प्रश्न 10.
x = – 5 को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) (1)x + (1) y + 5 = 0
(B) (1)x + (0)y + 5 = 0
(C) (1)x + 0(1) – 5 = 0
(D) (1)x + 1(y) – 5 = 0
उत्तर-
(B) (1) x + (0) y + 5 = 0

प्रश्न 11.
5y = 2 को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) (0) (x) + 5 y + 2 = 0
(B) 5x + 5y-2 = 0
(C) (0) x + 5y — 2 = 0
(D) 5x + 5y + 2 = 0
उत्तर-
(C) (0) x + 5y – 2 = 0

प्रश्न 12.
निम्नलिखित विकल्पों में से कौन-सा विकल्प सत्य है- y = 3x + 5 का
(A) एक अद्वितीय हल है
(B) केवल दो हल हैं
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(D) परिमित हल
उत्तर-
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

प्रश्न 13.
समीकरण 2x + y = 7 में x = 1 के लिए y का मान होगा-
(A) 7
(B) 5
(C) 3
(D) 1
उत्तर-
(B) 5

प्रश्न 14.
समीकरण 2x + y = 7 में y = 1 के लिए x का मान होगा-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर-
(D) 3

प्रश्न 15.
समीकरण πx + y = 9 में x = 1 के लिए एका मान होगा-
(A) 9 – 3π
(B) 9 – 2π
(C) 9 – π
(D) 9
उत्तर-
(C) 9 – π

प्रश्न 16.
समीकरण x = 4y का अभीष्ट हल है-
(A) (0, 0)
(B) (4, 1)
(C) (- 4, – 1)
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 17.
निम्नलिखित हलों में से कौन-सा समीकरण x – 2y = 4 का अभीष्ट हल है-
(A) (4, 0)
(B) (0, 2)
(C) (2, 0)
(D) (1, 1)
उत्तर-
(A) (4, 0)

प्रश्न 18.
यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक अभीष्ट हल हो तो k का मान होगा-
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
उत्तर-
(B) 7

प्रश्न 19.
समीकरण 4x + 3y = 12 का अभीष्ट हल है-
(A) (3, 0)
(B) (0, 4)
(C) (A) और (B) दोनों
(D) (A) और (B) दोनों नहीं
उत्तर-
(C) (A) और (B) दोनों

प्रश्न 20.
समीकरण 2x + 5y = 0 का अभीष्ट हल है-
(A) (1, 1)
(B) (2, 2)
(C) (3, 3)
(D) (0, 0)
उत्तर-
(D) (0,0)

प्रश्न 21.
समीकरण 3y + 4 = 0 का अभीष्ट हल है-
(A) (0, \(\frac{-4}{3}\))
(B) (\(\frac{-4}{3}\), 0)
(C) (\(\frac{-4}{3}\), \(\frac{-4}{3}\))
(D) (A) और (C) दोनों
उत्तर-
(D) (A) और (C) दोनों

प्रश्न 22.
यदि x = 2,y = 2 समीकरण x + 2y = k का एक अभीष्ट हल हो तो k का मान होगा-
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
उत्तर-
(C) 6

प्रश्न 23.
यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित हो तो a का मान होगा-
(A) \(\frac{5}{3}\)
(B) \(-\frac{5}{3}\)
(C) \(\frac{3}{5}\)
(D) \(\frac{-3}{5}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{5}{3}\)

प्रश्न 24.
एक नगर में टैक्सी का पहले किलोमीटर का किराया 8 रुपये है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रुपये है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो और कुल किराया रुपये हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण होगा-
(A) 5x – 3 = y
(B) 5x + 3 = y
(C) 5y + 3 = x
(D) 8x + 3 = y
उत्तर-
(B) 5x + 3 = y

प्रश्न 25.
बिन्दु (2, 14) से होकर जाने वाली रेखाओं की संख्या होगी-
(A) केवल एक
(B) दो
(C) चार
(D) अनन्तः अनेक
उत्तर-
(D) अनन्तः अनेक

प्रश्न 26.
निम्न आलेख के लिए उचित समीकरण होगा-

(A) y = x
(B) x + y = 0
(C) y = 2x
(D) 2 + 3y = 7x
उत्तर-
(B) x + y = 0

प्रश्न 27.
निम्न आलेख के लिए उचित समीकरण होगा-

(A) x + y = 0
(B) y = x
(C) y = 2x
(D) y = 2x + 1
उत्तर-
(C) y = 2x

प्रश्न 28.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रुपये अंशदान दिया। इसके लिए उचित रैखिक समीकरण होगा-
(A) x + y = 100
(B) x – y = 0
(C) 2x – y = 100
(D) x – 2y = 0
उत्तर-
(A) x + y = 100

प्रश्न 29.
F = \(\frac{9}{5}\) C + 32 फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण है। यदि तापमान 30°C हो तो फारेनहाइट में तापमान होगा-
(A) 84°F
(B) 86°F
(C) 88°F
(D) 22°F
उत्तर-
(B) 86°F

प्रश्न 30.
F = \(\frac{9}{5}\) C + 32 फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण है। यदि तापमान 95°F हो तो सेल्सियस में तापमान होगा-
(A) 49°C
(B) 42°C
(C) 28°C
(D) 35°C
उत्तर-
(D) 35°C

प्रश्न 31.
प्रश्न 30 की समीकरण में यदि तापमान 0°C हो तो फारेनहाइट में तापमान होगा-
(A) 32°F
(B) – 32°F
(C) 0°F
(D) 41°F
उत्तर-
(A) 32°F

प्रश्न 32.
x-अक्ष का समीकरण होता है-
(A) x = 0
(B) y = 0
(C) (A) और (B) दोनों
(D) (A) और (B) दोनों नहीं
उत्तर-
(B) y = 0

प्रश्न 33.
y-अक्ष का समीकरण होता है-
(A) x = 0
(B) y = 0
(C) (A) और (B) दोनों
(D) (A) और (B) दोनों नहीं
उत्तर-
(A)x = 0

प्रश्न 34.
x = a का आलेख होता है-
(A) x-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(B) x-अक्ष वाली सरल रेखा
(C) y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(D) y-अक्ष वाली सरल रेखा
उत्तर-
(C) y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा

प्रश्न 35.
y=a का आलेख होता है-
(A) y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(B) y-अक्ष वाली सरल रेखा
(C) x-अक्ष वाली सरल रेखा
(D) x-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
उत्तर-
(D) x-अक्ष के समान्तर सरल रेखा