Class 7

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल InText Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल InText Questions

इन्हें कीजिए (पृष्ठ सं. 221-222)

प्रश्न 1.
नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर देने के लिए आपको क्षेत्रफल या परिमाप में से किसको ज्ञात करने की आवश्यकता होगी।
1. एक श्यामपट कितनी जगह घेरता है ?
2. एक आयताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लम्बाई क्या है ?\
3. एक तिकोने पार्क के चारों ओर दो बार चक्कर लगाने पर आप कितनी दरी तय करेंगे ?
4. एक आयताकार स्वीमिंग पूल को ढकने के लिए आपको कितनी प्लास्टिक शीट की आवश्यकता होगी ?
हल :
1. श्यामपट द्वारा घेरे गए क्षेत्र/स्थान के लिए श्यामपट का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
2. आयताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए फूलों की क्यारी का परिमाप ज्ञात करना होगा।
परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई)
3. तिकोने पार्क के चारों ओर दो बार चक्कर लगाने की दूरी = 2 × पार्क का परिमाप।
4. आयताकार स्वीमिंग पुल को ढकने के लिए प्लास्टिक शीट की आवश्यकता = तालाब का क्षेत्रफल।

पृष्ठ सं. 222

प्रश्न 1.
छात्र स्वयं करें।

प्रश्न 2.
दो ऐसे उदाहरण दीजिए जहाँ परिमाप के बढ़ने पर उसका क्षेत्रफल भी बढ़ जाए।
हल :
(i) माना एक आयत ABCD है।

क्षेत्रफल (ABCD) = A₁ = 9 × 3 वर्ग सेमी
= 27 वर्ग सेमी
परिमाप (ABCD) = P₁ = 2(9 + 3) सेमी
= 24 सेमी
दूसरा आयत ABEF मानते हैं।

क्षेत्रफल (ABEF) = A₂ = 10 × 3 वर्ग सेमी
= 30 वर्ग सेमी
परिमाप (ABEF) = P₂ = 2(10 + 3) सेमी
= 26 सेमी
A₂ > A₁ ⇒ P₂ > P₁ अर्थात् जब क्षेत्रफल बढ़ता है, परिमाप बढ़ता है।

(ii) एक वर्ग ABCD मानते हैं।
क्षेत्रफल (ABCD) = 4 × 4 वर्ग सेमी
= 16 वर्ग सेमी
परिमाप (ABCD) = 2 × (4 + 4) सेमी
= 2 × 8 = 16 सेमी

आयत ABFE मानते हैं।
क्षेत्रफल (ABFE) = 4 × 5 वर्ग सेमी
= 20 वर्ग सेमी

परिमाप (ABFE) = 2 × (4 + 5) सेमी
= 2 × 9 = 18 सेमी
अतः क्षेत्रफल बढ़ता है तो परिमाप बढ़ता है।

प्रश्न 3.
ऐसे दो उदाहरण दीजिए, जहाँ परिमाप के बढ़ने पर उसके क्षेत्रफल में बढ़ोत्तरी न हो।
हल :
(i) आयत ABCD में,
क्षेत्रफल (ABCD) = A₁ = 8 × 10 सेमी²
= 80 सेमी²

परिमाप (ABCD) = P₁ = 2 × (8 + 10) सेमी
= 2 × 18 = 36 सेमी
अब आयत ABCD में से एक त्रिभुज काटते हैं।
इसी आकृति का क्षेत्रफल (A₂)
= [8 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4] सेमी²

= (80 – 6) सेमी
= 74 सेमी²
इसका परिमाप (P₂)
= (8 + 10 + 8 + 3 + 3 + 5 + 3) सेमी
= 40 सेमी
स्पष्ट है कि A₁ < A₂ क्षेत्रफल घटता है।
परन्तु P₂ > P₁ परिमाप बढ़ता है।

(ii) उपर्युक्त आकृति में से एक कट और करने पर, इस आकृति का क्षेत्रफल (A₃)
= (A₂ – 4 × 3) सेमी²
= (74 – 12) सेमी²
= 62 सेमी²

सेमी इस आकृति का परिमाप (P₃)
= (2 + 3 +4+ 3 + 2 + 10 + 8 + 3 + 3 + 5 + 3) सेमी
= 46 सेमी
स्पष्ट है कि A₃ < A₂ क्षेत्रफल घटता है।
परन्तु P₃ > P₂ परिमाप बढ़ता है।

पृष्ठ सं. 226

प्रश्न 1.
नीचे दिए गए प्रत्येक आयत जिसकी लम्बाई 6 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी है, सर्वांगसम बहुभुजों से मिलकर बने हैं। प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
लम्बाई = 6 सेमी
चौड़ाई = 4 सेमी
प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल
= लम्बाई × चौड़ाई
= (6 × 4) सेमी
= 24 सेमी²।

पृष्ठ सं. 229

प्रश्न 1.
निम्न समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(iii) समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AB = 7.2 सेमी और C से AB पर लम्ब 4.5 सेमी है।
हल :
(i) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= 8 × 3.5 = 28 सेमी²

(ii) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 8 × 2.5 = 20 सेमी²

(iii) समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= AB × C से AB पर लम्ब की लम्बाई
= 7.2 × 4.5 = 32.4 सेमी²।

पृष्ठ सं. 230

प्रश्न 1.
ऊपर दिए गए क्रियाकलापों को अलग-अलग प्रकार के त्रिभुज लेकर कीजिए।
हल :
एक त्रिभुज ABC दिया है। सर्वांगसम त्रिभुज ACP है। दोनों मिलाने पर ABCP समान्तर चतुर्भुज जैसी आकृति प्राप्त होती है।

प्रश्न 2.
अलग-अलग प्रकार के समांतर चतुर्भुज लीजिए। प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में एक विकर्ण के अनुदिश काटिए। क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं ?
हल :
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है (दिया है)। प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज को विकर्ण AC अथवा BD के अनुदिश काटने पर। दो त्रिभुजों में विभाजित होता है।

ये दोनों त्रिभुज आपस में सर्वांगसम होंगे।

पृष्ठ सं. 235

प्रश्न 1.
एक बोतल का ढक्कन एक चूड़ी या कोई अन्य वृत्ताकार वस्तु लीजिए और उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
हल :
छात्र स्वयं करें।

पृष्ठ सं. 236

प्रश्न 1.
आकृति में :
(a) किस वर्ग का परिमाप अधिक है?
(b) कौन-सा अधिक है, छोटे वर्ग का परिमाप या वृत्त की परिधि ?

हल :
(a) बाहरी वर्ग का परिमाप सबसे अधिक होगा।
(b) छोटे वर्ग के परिमाप से वृत्त की परिधि अधिक होगी।

पृष्ठ सं. 239

प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर अलग-अलग त्रिज्याओं के वृत्तों को बनाइए। वर्गों की संख्या को गिनकर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सूत्र का प्रयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।
हल :
1 वर्ग सेमी के ग्राफ पर 1 सेमी और 2 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त खींचने पर,

ग्राफ पेपर पर प्रयोग करने पर, हमें दोनों वृत्तों का क्षेत्रफल क्रमशः 4 सेमी2 और 12 सेमी2 प्राप्त होता है।
सूत्र का प्रयोग करके हम उनका क्रमशः क्षेत्रफल
πr₁² = (\(\frac{22}{7}\) × 12 ) सेमी² = 3.14 सेमी² (लगभग)
और πr₂² = (\(\frac{22}{7}\) × 22 ) सेमी² = (\(\frac{22}{7}\) × 4) सेमी²
= 12.57 सेमी² (लगभग)
हम देखते हैं कि दोनों मान भिन्न हैं।

पृष्ठ सं. 241

प्रश्न 1.
निम्न को बदलिए :
(i) 50 सेमी² को मिमी² में
(ii) 2 हेक्टेअर को मीटर² में
(iii) 10 मीटर² को सेमी² में
(iv) 1000 सेमी² को मिमी²
हल :
(i) 1 सेमी² = 1 सेमी × 1 सेमी
= 10 मिमी × 10 मिमी
= 100 मिमी²
∴ 50 सेमी² = (50 × 100) मिमी²
= 5000 मिमी²।

(ii) 1 हेक्टेअर = 100 मीटर भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल
= 100 मीटर × 100 मीटर
= 10000 मीटर²
हेक्टेअर = 20000 मीटर²।

(iii) 1 मीटर² = 1 मीटर × 1 मीटर
= 100 सेमी × 100 सेमी
= 10000 सेमी²
∴ 10 मीटर² = 10 × 10000 सेमी²
= 100000 सेमी²

(iv) 1 सेमी² = 100 मिमी²
1000 सेमी² = 100 × 1000 मिमी
= 100000 मिमी²।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.4

प्रश्न 1.
एक बगीचा 90 मीटर लम्बा और 75 मीटर चौड़ा है। इसके बाहर, चारों ओर एक 5 मीटर चौड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रफल हेक्टेअर में भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ABCD एक बगीचा है और माना PQRS पथ की बाहरी चारदीवारी है।

DC = 90 मीटर
AD = 75 मीटर
PQ = (90 + 5 + 5) मीटर = 100 मीटर
और QR = (75 + 5 + 5) = 85 मीटर
अब पथ का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल
= (100 × 85 – 90 × 75) मीटर²
= (8500 – 6750) मीटर²
= 1750 मीटर²
बगीचे का क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल
= (90 × 75) मीटर² = 6750 मीटर²
[∵ 1 हेक्टेअर = 10,000 मीटर²]
= \(\frac{6750}{10000}\) हेक्टेअर
= 0.675 हेक्टेअर। उत्तर

प्रश्न 2.
125 मीटर लम्बाई और 65 चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर बाहर एक 3 मीटर चौड़ा पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ABCD एक आयताकार पार्क है और PQRS बाहरी पथ की चार दीवारी है।

AB = 125 मीटर
AD = 65 मीटर
PQ = (125 + 3 + 3) मीटर
= 131 मीटर
और QR = (65 + 3 + 3) मीटर = 71 मीटर
पथ का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल
= (131 × 71 – 125 × 65) मीटर²
= (9301 – 8125) मीटर²
= 1176 मीटर। उत्तर

प्रश्न 3.
8 सेमी लम्बे और 5 सेमी चौड़े एक गत्ते पर एक चित्र की पेंटिंग इस प्रकार बनाई गई है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1.5 सेमी चौड़ा हाशिया (margin) छोड़ा गया है। हाशिये का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
PQ = 8 सेमी
QR = 5 सेमी
AB = (8 – 1.5 – 1.5) सेमी = 5 सेमी
AD = (5 – 1.5 – 1.5) सेमी = 2 सेमी
हाशिये का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल
= (8 × 5 – 5 × 2) सेमी²
= (40 – 10) सेमी² = 30 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 4.
5.5 मीटर लम्बे और 4 मीटर चौड़े कमरे के चारों ओर बाहर 2.25 मीटर चौड़ा बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए:
(i) बरामदे का क्षेत्रफल
(ii) ₹ 200 प्रति मीटर की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेन्ट कराने का व्यय।

हल :
माना ABCD का कमरा है और माना PQRS बाहरी बरामदे की चार दीवारें हैं।
हम जानते हैं, AB = 5.5 मीटर
AD = 4 मीटर
PQ = (5.5 + 2.25 + 2.25) मीटर
= 10 मीटर
और QR = (4 + 2.25 + 2.25) मीटर
= 8.5 मीटर

(i) बरामदे का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल – ABCD का क्षेत्रफल
= (10 × 8.5 – 5.5 × 4) मीटर²
= (85 – 22) मीटर²
= 63 मीटर। उत्तर

(ii) ₹ 200 प्रति मीटर की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेन्ट कराने का व्यय
= ₹ (200 × 63)
= ₹ 12600

प्रश्न 5.
30 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 मीटर चौड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए:
(i) पथ का क्षेत्रफल
(ii) ₹40 प्रति मीटर² की दर से बगीचे के शेष भाग II पर घास लगवाने का व्यय।

हल :
माना ABCD एक वर्याकार बगीचा है। माना PQRS रास्ते की आन्तरिक दीवार है।
AB = 30 मीटर
और PQ = (30 – 1 – 1) मीटर
= 28 मीटर

(i) रास्ते का क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल – PQRS का क्षेत्रफल
(30 × 30 – 28 × 28) मीटर²
= (900 – 784) मीटर²
= 116 मीटर²। उत्तर

(ii) बगीचे के शेष भाग का क्षेत्रफल
= PQRS का क्षेत्रफल
= (28 × 28) मीटर²
= 784 मीटर²
₹ 40 प्रति मीटर² की दर से घास लगाने का व्यय
= ₹ 40 × 784
= ₹ 31,360। उत्तर

प्रश्न 6.
700 मीटर लम्बे और 300 मीटर चौड़े एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर जाते 10 मीटर चौड़े दो पथ बने हुए हैं जो एक-दूसरे पर परस्पर लम्ब और चौपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा पार्क की भुजाओं को छोड़कर पार्क के शेष भाग का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर को हेक्टेअर में दीजिए।
हल :
माना ABCD और EFGH पार्क के मध्य दो पथ हैं।

AB = 700 मीटर
BC = 10 मीटर
∴ ABCD पथ का क्षेत्रफल = AB × BC
= (700 × 10) मीटर² = 7000 मीटर²
पुनः EF = 300 मीटर
FG = 10 मीटर
∴ EFGH पथ का क्षेत्रफल = EF × FG
= (300 × 10) मीटर²
= 3000 मीटर² उत्तर
∵ MNOP क्षेत्र दोनों पथों में उभयनिष्ठ है।
∴ MNOP क्षेत्र का क्षेत्रफल = ( 10 × 10) मीटर²
= 100 मीटर²
पथों का कुल क्षेत्रफल = पथ ABCD का क्षेत्रफल + पथ EFGH का क्षेत्रफल – MNOP का क्षेत्रफल
= (7000 + 3000 – 100) मीटर²
= 9900 मीटर2 = \(\frac{9900}{10000}\) हेक्टेअर
[∵ 1 हेक्टेअर = 10.000 वर्ग मीटर²]
= 0.99 हेक्टेअर
चौपड़ पथ को छोड़ कर पार्क का क्षेत्रफल = आयताकार पार्क का क्षेत्रफल – सड़कों का क्षेत्रफल
= (700 × 300 – 9900) मीटर²
= (210000 – 9900) मीटर²
= 200100 मीटर²
[∵ 1 हेक्टेअर = 10,000 वर्ग मीटर²]
= \(\frac{200100}{10000}\) हेक्टेअर
= 20.01 हेक्टेअर। उत्तर

प्रश्न 7.
90 मीटर लम्बाई और 60 मीटर चौड़ाई वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाए गए हैं, जो भुजाओं के समान्तर हैं, एक-दूसरे को लम्बवत् काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक पथ की चौड़ाई 3 मीटर हो, तो ज्ञात कीजिए :

(i) पथों का आच्छादित क्षेत्रफल
(ii) ₹ 110 प्रति मीटर2 की दर से पथ बनाने का व्यय।
हल :
(i) माना ABCD और EFGH लम्बवत् पथ हैं।
AB = 90 मीटर
और BC = 3 मीटर
∴ ABCD पथ का क्षेत्रफल = (90 × 3) मीटर²
= 270 मीटर²
पुनः EF = 60 मीटर
FG = 3 मीटर
∴ EFGH का क्षेत्रफल = (60 × 3) मीटर²
= 180 मीटर²
दोनों पथों में PQRS उभयनिष्ठ क्षेत्र है।
∴ PQRS का क्षेत्रफल = (3 × 3) मीटर²
= 9 मीटर²
पथ का क्षेत्रफल = ABCD पथ का क्षेत्रफल + EFGH पथ का क्षेत्रफल – PORS का क्षेत्रफल
= (270 + 180 – 9) मीटर²
= 441 मीटर2

(ii) ₹ 110 प्रति मी² की दर से पथ बनाने का खर्चा
= ₹ (110 × 441)
=₹ 48.510 उत्तर

प्रश्न 8.
प्रज्ञा 4 सेमी त्रिज्या एक वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है (जैसा दिखाया गया है) और रस्सी की आवश्यक लम्बाई को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 सेमी भुजा वाले एक वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटती है (दिखाया गया है)। क्या उसके पास कुछ और रस्सी बचेगी ? (π = 3.14 लीजिए)

हल :
वृत्ताकार पाइप के चारों ओर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई
= पाइप की परिधि
= 2πr = (2 × 3.14 × 4) सेमी
= 25.12 सेमी
वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई
= वर्ग का परिमाप
= 4 × भुजा = (4 × 4) सेमी = 16 सेमी
अतः 25.12 सेमी > 16 सेमी
हाँ, (25.12 – 16) सेमी = 9.12 सेमी
अतः प्रज्ञा के पास 9.12 सेमी बचती है। उत्तर

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति एक आयताकार पार्क के मध्य में एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी को दर्शाती है। ज्ञात कीजिए:
(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल
(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल
(iv) क्यारी की परिधि।

हल :
(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= (10 × 5) मीटर²
= 50 मीटर। उत्तर

(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = πr²
= (3.14 × 2 × 2) मीटर²
= 12:56 मीटर²।

(ii) शेष भाग का क्षेत्रफल = पूरे पार्क का क्षेत्रफल – फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
= (50 – 12.56) मीटर²
= 37:44 मीटर²। उत्तर

(iv) फूलों की क्यारी की परिधि
= 2πr = (2 × 3.14 × 2) मीटर
= 12.56 मीटर। उत्तर

प्रश्न 10.
दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

हल :
(i) छायांकित भाग DCEFD का क्षेत्रफल = आयत ABCD का क्षेत्रफल – ΔEAF का क्षेत्रफल – ΔEBC का क्षेत्रफल
= (AB × BC) – (\(\frac{1}{2}\) × AE × AF) – (\(\frac{1}{2}\) × EB × BC)
= (18 × 10) – (\(\frac{1}{2}\) × 10 × 6) – (\(\frac{1}{2}\) × 8 × 10)
= 180 – 30 – 40 = 180 – 70 = 110 सेमी²। उत्तर

(ii) छायांकित भाग TUQ का क्षेत्रफल = वर्ग PORS का क्षेत्रफल – ΔTSU का क्षेत्रफल – ΔURQ का क्षेत्रफल – ΔTPQ का क्षेत्रफल
= (PQ)² – (\(\frac{1}{2}\) × TS × SU) – (\(\frac{1}{2}\) × UR × QR) – (\(\frac{1}{2}\) × PQ × TP)
= (20)² – (\(\frac{1}{2}\) × 10 × 10) – (\(\frac{1}{2}\) × 10 × 20) -(\(\frac{1}{2}\) × 20 × 10)
= 400 – 50 – 100 – 100
= 400 – 250 = 150 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 11.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ AC = 22 सेमी, BM = 3 सेमी, DN = 3 सेमी और BM⊥AC, DN⊥AC.

हल :
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × AC × BM + \(\frac{1}{2}\) × AC × ND
= (\(\frac{1}{2}\) × 22 × 3 + \(\frac{1}{2}\) × 22 × 3) सेमी²
= (33 + 33) सेमी²
= 66 सेमी²। उत्तर

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए :
(a) 14 सेमी
(b) 28 मिमी
(c) 21 सेमी
हल :
हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि = 2πr
(i) त्रिज्या (r) = 14 सेमी
∴ परिधि = 2πr = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 14
= 88 सेमी। उत्तर

(ii) त्रिज्या (r) = 28 मिमी
परिधि = 2πr = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 28
= 2 × 22 × 4 = 176 मिमी। उत्तर

(iii) त्रिज्या (r) = 21 सेमी
परिधि = 2πr = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21
= 2 × 22 × 3 = 132 सेमी। उत्तर

प्रश्न 2.
निम्न वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दिया गया है :
(a) त्रिज्या = 14 मिमी [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
(b) व्यास = 49 मीटर
(c) त्रिज्या = 5 सेमी
हल :
(a) r = 14 मिमी
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (\(\frac{22}{7}\) × 142 ) मिमी²
= (\(\frac{22}{7}\) × 14 × 14) मिमी²
= (22 × 14 × 2) मिमी² = 616 मिमी²। उत्तर

(b) व्यास = 49 मीटर
r = \(\frac{49}{2}\) मीटर
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) मीटर²
= \(\frac{22}{7}\) मीटर²
= \(\frac{22}{7}\) मीटर²
= 1886.5 मीटर²। उत्तर

(c) r = 5 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (\(\frac{22}{7}\) × 5 × 5) सेमी²
= \(\frac{550}{7}\) सेमी²। उत्तर

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154 मीटर हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए)
हल :
माना वृत्त की त्रिज्या है।
परिधि = 154 मीटर
⇒ 2πr = 154
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 154
⇒ r = 154 × \(\frac{7}{44}\)
= \(\frac{49}{2}\) मीटर = 24.5 मीटर उत्तर

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\left(\frac{22}{7} \times \frac{49}{2} \times \frac{49}{2}\right)\) मीटर²
= \(\left(\frac{11}{1} \times 7 \times \frac{49}{2}\right)\)मीटर² = \(\frac{3773}{2}\) मीटर²
= 1886.5 मीटर²। उत्तर

प्रश्न 4.
21 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। ₹ 4 प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए। (π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए)
हल :
व्यास = 21 मीटर
त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2}\) मीटर
वृत्ताकार बगीचे की परिधि = 2πr
= (2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2}\)) मीटर
= (22 × 3) मीटर = 66 मीटर
∵ 1 चक्कर लगाने के लिए रस्सी की आवश्यकता
= 66 मीटर
∴ 2 चक्कर लगाने के लिए रस्सी की आवश्यकता
= 2 × 66 मीटर = 132 मीटर
₹4 प्रति मीटर की दर से रस्सी की कीमत
= ₹4 × 132 = ₹ 528। उत्तर

प्रश्न 5.
4 सेमी त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
बाहरी त्रिज्या (R) = 4 सेमी
भीतरी त्रिज्या (r) = 3 सेमी
शेष शीट का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल – भीतरी क्षेत्रफल
= π(R² – r²)
= 3.14(4² – 3²) सेमी²
= 3.14(16 – 9) सेमी²
= 3.14 × 7 सेमी²
= 21.98 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 6.
साइमा 1.5 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लम्बाई ज्ञात कीजिए और ₹ 15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)।
हल :
आवश्यक किनारी की लम्बाई = वृत्ताकार टेबल की परिधि
= 2πr (∵ r = \(\frac{1.5}{2}\) = 0.75 मीटर)
= (2 × 3.14 × 0.75) मीटर = 4.71 मीटर
∵ 1 मीटर किनारी लगाने का व्यय = ₹ 15
∴ 4.71 मीटर किनारी लगाने का व्यय
= ₹ 15 × 4.71 = ₹ 70.65। उत्तर

प्रश्न 7.
दी गई आकृति, व्यास के साथ एक अर्धवृत्त है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल :
दी गई आकृति का परिमाप


= \(\frac{180}{7}\) सेमी = 25.7 सेमी (लगभग)। उत्तर

प्रश्न 8.
₹ 15 प्रति वर्ग मीटर की दर से, 1.6 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल की ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (r = 3.14 लीजिए)
हल :
वृत्ताकार टेबल की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = πr²
दिया है : r = मीटर = 0.8 मीटर
∴ क्षेत्रफल = (3.14 × 0.8 × 0.8) मीटर²
= 2:0096 मीटर²
∵ 1 मीटर² वृत्ताकार टेबल पर पॉलिश कराने का व्यय = ₹ 15
∴ 2.0096 मीटर² वृत्ताकार टेबल पर पॉलिश कराने का व्यय = ₹ (15 × 2.0096)
=₹ 30.14। उत्तर

प्रश्न 9.
शाझली 44 सेमी लम्बाई वाली एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इसी तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी ? कौन-सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है वृत्त या वर्ग ? (π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए)
हल :
माना वृत्त की त्रिज्या r है।
परिधि = 2πr
परिधि = तार की लम्बाई
2πr = 44
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 44
r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 सेमी उत्तर
तब वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
\(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 सेमी²
= 154 सेमी² उत्तर
माना वर्ग की भुजा = x सेमी है।
वर्ग का परिमाप = तार की लम्बाई
4 × x = 44
⇒ x = \(\frac{44}{4}\) = 11 सेमी
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (11 सेमी)² = 121 सेमी²
अतः वृत्त, वर्ग से अधिक क्षेत्रफल घेरता है। उत्तर

प्रश्न 10.
14 सेमी त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से, 3.5 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 सेमी लम्बाई तथा 1 सेमी चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है)। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए)

हल :
शेष शीट का क्षेत्रफल = वृत्ताकार गत्ते का क्षेत्रफल – 2 × छोटे वृत्त का क्षेत्रफल – आयत का क्षेत्रफल
= (\(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 – 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 – 3 × 1) सेमी²
= (44 × 14 – 44 × 0.5 × 3.5 – 3) सेमी²
= (616 – 77 – 3) सेमी² = 536 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 11.
6 सेमी भुजा वाले एक वर्गाकार एल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भागका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल :
वर्गाकार एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल = भुजा² = (6)² सेमी² = 36 सेमी²
वृत्ताकार काटी गई शीट का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 2 × 2 सेमी²
= 12.56 सेमी²
शेष शीट का क्षेत्रफल = वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल – काटी गई शीट का क्षेत्रफल
= (36 – 12.56) सेमी²
= 23.44 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 12.
एक वृत्त की परिधि 31.4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल :
माना वृत्त की त्रिज्या = r सेमी है।
परिधि = 31.4 सेमी
2πr = 31.4
2 × 3.14 × r = 31.4
∴ r = \(\frac{31.4}{2 \times 3.14}\)
= 5 सेमी उत्तर
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 5²
= 3.14 × 25
= 78.5 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 13.
एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4 मीटर चौड़ा पथ हैतथा फूलों की क्यारी का व्यास 66 मीटर है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल :
व्यास = 66 मीटर
त्रिज्या = \(\frac{66}{2}\) मीटर = 33 मीटर
पथ सहित क्यारी की त्रिज्या = (33 + 4) मीटर = 37 मीटर
पथ का क्षेत्रफल = [π(37)² – π(33)²] मीटर²
= π(37² – 33²) मीटर²
= π(37 + 33) (37 – 33) मीटर²
= (3.14 × 70 × 4) मीटर²
= 879.20 मीटर²। उत्तर

प्रश्न 14.
एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 मीटर² है। बगीचे के केन्द्र में एक घूमने वाला फव्वारा (sprinkler) लगाया जाता है, जो अपने चारों ओर 12 मीटर त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा ? (π = 3.14 लीजिए)
हल :
माना फूलों के बगीचे की त्रिज्या r मीटर है।
क्षेत्रफल = 314 मीटर²
πr² = 314
3.14 × r² = 314
r² = \(\left(\frac{314}{3.14}\right)\)
r² = 100
r = 10 मीटर
फव्वारे द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल की त्रिज्या से बगीचे की त्रिज्या कम है। अतः फव्वारा पूरे बगीचे में छिड़काव कर सकेगा। उत्तर

प्रश्न 15.
आकृति में, अन्तः और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल :
बाहरी त्रिज्या R = 19 मीटर
और भीतरी त्रिज्या, r = (19 – 10) मीटर = 9 मीटर
भीतरी वृत्त की परिधि = 2πr
= (2 × 3.14 × 9) मीटर
= 56.52 मीटर उत्तर
बाहरी वृत्त की परिधि = 2πR
= (2 × 3.14 × 19) मीटर
= 119.32 मीटर।

प्रश्न 16.
28 सेमी त्रिज्या वाले एक पहिए को 352 मीटर दूरी तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा ? (π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए)
हल :
पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी
= 2πr = (2 × \(\frac{22}{7}\) × 28 ) मीटर
= 176 मीटर
352 मीटर तय करने में चक्करों की संख्या
= \(\frac{352 \times 100}{176}\) = 200 उत्तर

प्रश्न 17.
एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई 15 सेमी है। मिनट की सुई की नोक 1 घण्टे में कितनी दूरी तय करती है। (π = 3.14 लीजिए)
हल :
हम जानते हैं कि मिनट की सुई एक पूरे चक्कर में एक घण्टा तय करती है।
r = 15 सेमी
तय की गई दूरी = परिधि = 2πr
= (2 × 3.14 × 15) सेमी
= 94.2 सेमी।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.2

प्रश्न 1.
निम्न में से प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

हल :
(a) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= (7 × 4) सेमी² = 28 सेमी2। उत्तर

(b) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= (5 × 3) सेमी² = 15 सेमी। उत्तर

(c) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= (2.5 × 3.5) सेमी² = 8.75 सेमी। उत्तर

(d) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= (5 × 4.8) सेमी² = 24 सेमी2 उत्तर

(e) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= (2 × 4.4) सेमी² = 8.8 सेमी। उत्तर

प्रश्न 2.
निम्न में प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

हल :
(a) त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 3
= \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी²। उत्तर

(b) त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 3.2
= 5 × 1.6
= 8 सेमी²। उत्तर

(c) त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4
= \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी²। उत्तर

(d) त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 2
= 3 × 1 = 3 सेमी²। उत्तर

प्रश्न 3.
रिक्त स्थान का मान ज्ञात कीजिए :

हल :
हम जानते हैं कि
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
इसलिए रिक्त स्थान की गणना निम्न प्रकार है-

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों के मान ज्ञात कीजिए :

हल :
हम जानते हैं कि
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई

रिक्त स्थान की पूर्ति निम्न प्रकार करते हैं-

प्रश्न 5.
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (आकृति देखें)। QM शीर्ष Q से SR तक P की ऊँचाई तथा ON शीर्ष Q से PS तक की ऊँचाई है। यदि SR = 12 सेमी और QM = 7.6 सेमी तो ज्ञात कीजिए :
(a) समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
(b) QN, यदि PS = 8 सेमी

हल :
(a) PQRS समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई = SR × QM
= (12 × 7.6) सेमी² = 91.2 सेमी। उत्तर

(b) समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
⇒ PS × QN = स. मा. चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
⇒ 8 × QN = 91.2
⇒ QN = \(\frac{91.2}{8}\) = 11.4 सेमी। उत्तर

प्रश्न 6.
DL और BM समान्तर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाएँ AB और AD पर लम्ब हैं (आकृति देखें)। यदि समान्तर चतुर्भुज का P {l∈Qy 1470 सेमी² है, AB = 35 सेमी और AD = 49 सेम है, तो BM तथा DL की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल :
ABCD चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1470 सेमी²
AB = 35 सेमी और AD = 49 सेमी
ABCD का क्षेत्रफल = AD × BM
⇒ 1470 = 49 × BM
∴ BM = \(\frac{1470}{49}\) = 30 सेमी। उत्तर
ABCD का क्षेत्रफल = AB × DL
⇒ 1470 = 35 × DL
∴ DL = \(\frac{1470}{35}\) = 42 सेमी। उत्तर

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC, A पर समकोण है (आकृति देखें) और AD भुजा BC पर लम्ब है। यदि AB = 5 सेमी, BC = 13 सेमी और AC = 12 सेमी है, तो ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔABC में, AD, BC पर लम्ब है।
∴ ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × AB × AC = \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12
= \(\frac{1}{2}\) × 60 = 30 सेमी²। उत्तर
पुनः ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × BC × AD
30 = \(\frac{1}{2}\) × 13 × AD
AD = \(\frac{30 \times 2}{13}=\frac{60}{13}\) सेमी। उत्तर

प्रश्न 8.
ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिनमें AB = AC = 7.5 सेमी और BC = 9 सेमी है(आकृति देखें)। A से BC तक की ऊँचाई AD, 6 सेमी है। ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। C से AB तक की ऊँचाई अर्थात् CE क्या होगी?

हल :
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × BC × AD
= \(\frac{1}{2}\) × 9 × 6
= \(\frac{54}{2}\) = 27 सेमी² उत्तर
पुनः ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × ऊँचाई
27 = \(\frac{1}{2}\) × 7.5 × CE
ऊँचाई (CE) = \(\frac{27 \times 2}{7.5}\) = 7.2 सेमी। उत्तर

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.4

प्रश्न 1.
बराबर लम्बाई के रेखाखण्डों से बनाए गए अंकों के पैटर्न को देखिए। आप रेखाखण्डों से बने हुए इस प्रकार के अंकों को इलैक्ट्रॉनिक घड़ियों या कैलकुलेटरों पर देख सकते हैं।

यदि बनाए गए अंकों की संख्या n ली जाए, तो उसके लिए आवश्यक रेखाखण्डों की (n) संख्या दर्शाने वाला बीजीय व्यंजक प्रत्येक पैटर्न के दाईं ओर लिखा गया है। 6,4,8 के प्रकार के 5, 10, 100 अंकों को बनाने के लिए कितने रेखाखण्डों की आवश्यकता होगी?
हल :
(a) हम जानते हैं कि 6 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (5n + 1)
अतः 5, 10, 100 अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः (5 × 5 + 1) = 25 + 1 = 26; (5 × 10 + 1) = 50 + 1 = 51 और (5 × 100 + 1)= 500 + 1 = 501.

(b) हम जानते हैं कि 4 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (3n + 1).
अतः 5, 10, 100 अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः (3 × 5 + 1)= 15 + 1 = 16; (3 × 10 + 1) = 30 + 1 = 31 और (3 × 100 + 1)= 300 + 1 = 301.

(c) हम जानते हैं कि 8 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (5n + 2).
अतः 5, 10, 100 अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः (5 × 5 + 2) = 25 + 2 = 27; (5 × 10 + 2) = 50 + 2 = 52 और (5 × 100 + 2) = 500 + 2 = 502.

प्रश्न 2.
संख्या पैटों की निम्नलिखित सारणी को पूरा करने के लिए, दिए हुए बीजीय व्यंजकों का प्रयोग कीजिए।
हल :
दिए हुए पैटर्न से तालिका को पूरा करने पर,

क्योंकि (i) 100वाँ पद = 2 × 100 – 1
= 200 – 1 = 199

(ii) 5वाँ पद = 3 × 5 + 2
= 15 + 2 = 17
10वाँ पद = 3 × 10 + 2
= 30 + 2 = 32
और 100वाँ पद = 3 × 100 + 2
= 300 + 2 = 302

(iii) 5वाँ पद = 4 × 5 + 1
= 20 + 1 = 21
10वाँ पद = 4 × 10 + 1
= 40 + 1 = 41
और 100वाँ पद = 4 × 100 + 1
= 400 + 1 = 401

(iv) 5वाँ पद = 7 × 5 + 20
= 35 + 20 = 55
10वाँ पद = 7 × 10 + 20
= 70 + 20 = 90
और, 100वाँ पद = 7 × 100 + 20
= 700 + 20 = 720

(v) 5वाँ पद = 5² + 1
= 25 + 1 = 26
10वाँ पद = 10² + 1
= 100 + 1
= 101

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में प्रत्येक कथन में उपयोग किए गए गुणधर्म का वर्णन कीजिए। (आकृति):

(i) यदि a || b, तो ∠1 = ∠5
(ii) यदि ∠4 = ∠6, तो a || b
(iii) यदि ∠4 + ∠5 = 180°,
तो a || b
हल :
(i) संगत कोण गुणधर्म
(ii) एकान्तर कोण गुणधर्म
(iii) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।

प्रश्न 2.
आकृति में निम्नलिखित की पहचान कीजिए :

(i) संगत कोणों के युग्म
(ii) अंतः एकांतर कोणों के युग्म
(iii) तिर्यक छेदी रेखा के एक तरफ बने अंत:कोणों के युग्म
(iv) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण।
हल :
(i) ∠1, ∠5; ∠2, ∠6; ∠3, ∠7 और ∠4, ∠8 चार संगत कोणों के युग्म हैं।
(ii) एकांतर कोणों के दो युग्म हैं : ∠2, ∠8 और ∠3, ∠5
(iii) तिर्यक् रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों के दो युग्म हैं : ∠2, ∠5 और ∠3, ∠8.
(iv) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों के चार युग्म हैं :
∠1, ∠3; ∠2, ∠4; ∠5, ∠7 और ∠6, ∠8.

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में p || q अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
∠e + 125° = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
⇒ ∠e = 180° – 125°= 55°,
∠e = ∠f = 55°,
[ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
आकृत में, p || q और t तिर्यक रेखा है।
∠a = ∠f (एकान्तर कोण)
∠a = 55°,
∠b = 125°, (संगत कोण)
∠d = ∠a = 55°, (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण) और ∠b = ∠d = 125°,
(ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
अतः ∠a = 55°, ∠b = 125°, ∠c = 55°,
∠d = 125°, ∠e = 55° और ∠f = 55° उत्तर

प्रश्न 4.
यदि l || m है, तो निम्नलिखित आकृतियों में प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) आकृति में, l || m और तिर्यक् छेदी रेखा है।
∠x = 180° – 110° = 70°,
(संगत कोण, रैखिक युग्म कोण)

(ii) आकृति में, l || m और a एक तिर्यक् छेदी रेखा है।
∴ ∠x = 100°
(संगत कोण)

प्रश्न 5.
दी हुई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समांतर हैं। यदि ∠ABC = 70°, तो:

(i) ∠DGC ज्ञात कीजिए।
(ii) ∠DEF ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) आकृति में, AB || ED और BC तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠DGC = ∠ABC, [संगत कोण]
= 70°,
[∵ ∠ABC = 70°, दिया है]

(ii) आकृति में, BC || EF और ED तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠DEF = ∠DGC, [संगत कोण]
= 70°

प्रश्न 6.
नीचे दी हुई आकृतियों में निर्णय लीजिए कि क्या l, m के समांतर है।

हल :
(i) आकृति में अन्त: कोणों का योग 180° नहीं है।
∴ l, m के समान्तर नहीं है।
(ii) आकृति में, तिर्यक रेखा के एक ओर बने अन्तः कोणों का योग 180° नहीं है।
∴ l, m के समान्तर नहीं है।
(iii) आकृति में, संगत कोण समान हैं।
(57° ⇒ 180° – 123° = 57°)
∴ l, m के समान्तर है।
(iv) आकृति में, तिर्यक रेखा के एक ओर अंतः कोणों का योग 180° नहीं है अर्थात् 98° + 72° = 170 ≠ 180°.
∴ l, m के समान्तर नहीं है।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्न दी गई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज सम्भव है?
(i) 2 सेमी, 3 सेमी, 5 सेमी
(ii) 3 सेमी, 6 सेमी, 7 सेमी
(iii) 6 सेमी, 3 सेमी, 2 सेमी
हल :
(i) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
2 + 3 > 5
अतः दी गई भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।

(ii) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
3 + 6 > 7; 3 + 7 > 6 और 6 + 7 > 3
अत: दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक है। इसलिए त्रिभुज बनता है।

(iii) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
6 + 3 > 2 ; 3 + 2 > 6
अत: दी गई भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।

प्रश्न 2.
त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिन्दु 0 लीजिए। क्या यह सही है कि

(i) OP + OQ > PQ?
(ii) OQ + OR > QR?
(iii) OR + OP > RP?
हल :

त्रिभुज के गुण से ΔOPQ, ΔOQR और ΔOPR में,
(i) OP + OP > PQ
(ii) OQ + OR > QR
(iii) OR + OP > RP

प्रश्न 3.
त्रिभुज ABC की एक माध्यिका AM है। बताइए कि क्या
AB + BC + CA > 2AM?

हल:
त्रिभुज की असमिकाओं का प्रयोग करने पर,
ΔABM में,
AB + BM > AM ……………. (1)
ΔAMC में,
AC + MC > AM ……………. (2)
(1) और (2) के दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
AB + (BM + MC) + AC > AM + AM
AB + BC + CA > 2AM

प्रश्न 4.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA > AC + BD?

हल :
माना ABCD एक चतुर्भुज है। विकर्ण AC और BD को मिलाया।
ΔABC में, AB + BC > AC …………(i)
ΔDAC में, CD + DA > AC ………….(ii)
ΔABD में, AB + AD > BD …………(iii)
और ΔCBD में, BC + CD > BD …………(iv)
(i), (ii), (iii) और (iv) के दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
⇒ AB + BC + CD + AD > AC + BD

प्रश्न 5.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)?
हल :

माना ABCD एक चतुर्भुज है और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O बिन्दु पर काटते है।
ΔOAB में, OA + OB > AB …..(1)
ΔBOC में, OB + OC > BC …..(2)
ΔCOD में, OC + OD > DC ……(3)
और ΔAOD में, OD + OA > DA …….(4)
(1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर 2(OA + OB + OC+ OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
⇒ AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD).

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 12 सेमी तथा 15 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों के बीच होनी चाहिए?
हल :
माना तीसरी भुजा की लम्बाई : सेमी है, तो
12 + 15, > x, x + 12 > 15 और x + 15 > 12
⇒ 27 > x, x >15 – 12 और x > 12 – 15
⇒ 27 > x, x > 3 और x > – 3
3 और 27 के बीच की संख्याएँ इसे सन्तुष्ट करती हैं।
अत: तीसरी भुजा की लम्बाई 3 और 27 के बीच होगी। उत्तर

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में चरों, अचरों और अंक गणितीय संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए बीजीय व्यंजक प्राप्त कीजिए :
(i) संख्या y में से z को घटाना।
(ii) संख्याओं x और y के योग का आधा।
(ii) संख्या z को स्वयं उससे गुणा किया जाता है।
(iv) संख्याओं p और q के गुणनफल का एक चौथाई।
(v) दोनों संख्याओं x और y के वर्गों को जोड़ा जाता है।
(vi) संख्याओं m और n के गुणनफल के तीन गुने में संख्या 5 जोड़ना।
(vii) 10 में से संख्याओं y और z गुणनफल को घटाना।
(viii) संख्याओं a और b के गुणनफल में से उसके योग को घटाना।
हल :
दी गई स्थितियों के बीजीय व्यंजक निम्न होंगे-
(i) y – z
(ii) \(\frac{1}{2}\) (x + y)
(iii) z × z अथवा z²
(iv) \(\frac{1}{4}\)pq
(v) x² + y²
(vi) 3mn + 5
(vii) 10 – yz
(viii) ab – (a + b)

प्रश्न 2.
(i) निम्नलिखित व्यंजकों में पदों और उनके गुणनखण्डों को छाँटिए। पदों और उनके गुणनखण्डों को पेड़ आरेखों द्वारा भी दर्शाइए।
(a) x – 3
(b) 1 + x + x²
(c) y – y³
(d) 5xy² + 7x²y
(e) – ab + 2b² – 3a²
(ii) नीचे दिए व्यंजकों में, पदों और उनके गुणनखण्डों को छाँटिए।
(a) – 4x + 5
(b) – 4x + 5y
(c) 5y + 3y2
(d) xy + 2x2y2
(e) pq + q
(f) 1.2ab – 2.4b + 3.6a
(g) \(\frac{3}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)
(h) 0.1p² + 0.2q²
हल :
(i) व्यंजक में पद और उनके गुणनखण्ड पेड़ आरेख द्वारा निम्न प्रकार दर्शाया गया है-

(ii)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित व्यंजकों में पदों के संख्यात्मक गुणांकों जो अचर न हों, की पहचान कीजिए।
(i) 5 – 3t²
(ii) 1 + t + t² + t³
(iii) x + 2xy + 3y
(iv) 100m + 1000n
(v) -p²q² + 7pq
(vi) 1.2a + 0.8b
(vii) 3.14r²
(viii) 2(l + b)
(ix) 0.1y + 0.01y²
हल :

प्रश्न 4.
(a) वे पद पहचानिए जिनमें x है और फिर इनमें x का गुणांक लिखिए :
(i) y²x + y
(ii) 13y² – 8yx
(iii) x + y + z
(iv) 5 + z + zx
(v) 1 + x + xy
(vi) 12xy² + 25
(vii) 7 + xy²
(b) वे पद पहचानिए जिनमें 2 है और फिर इनमें 2 का गुणांक लिखिए :
(i) 8 – xy²
(ii) 5y² + 7x
(ii) 2x²y – 15xy² + 7y²
हल :
(a)

(b)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित व्यंजकों को एकपदी, द्विपद और त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए :
(i) 4y – 7z
(ii) y²
(iii) x + y – xy
(iv) 100
(v) ab – a – b
(vi) 5 – 3t
(vii) 4p²q – 4pq²
(viii) 7mn
(ix) z² – 3z + 8
(x) a² + b²
(xi) z² + z
(xii) 1 + x + x²
हल :
केवल एक पद वाले बीजीय व्यंजक एकपदी कहलाते हैं। अतः एकपदी व्यंजक (ii), (iv) और (viii) हैं।
दो पद वाले बीजीय व्यंजक द्विपद व्यंजक कहलाते हैं।
अतः द्विपद व्यंजक : (i), (vi), (vii), (x) और (xi) हैं।
जिन बीजीय व्यंजकों में तीन पद होते हैं, उन्हें त्रिपद व्यंजक कहते हैं।
अतः त्रिपद व्यंजक : (iii), (v), (ix) और (xii) हैं।

प्रश्न 6.
बताइए कि दिए हुए पदों के युग्म समान पदों के हैं या असमान पदों के हैं :
(i) 1, 100
(ii) – 7x, \(\frac{5}{2}\)x
(iii) – 29x, – 29y
(iv) 14xy, 42yx
(v) 4m²p, 4mp²
(vi) 12xz, 12x²z²
हल :
(i) समान
(ii) समान
(iii) असमान
(iv) समान
(v) असमान
(vi) असमान।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में समान पदों को छाँटिए :
(a) -xy², -4yx², 8x², 2xy², 7y, – 11x²,- 100x, – 11yx, 20x²y, -6x², y, 2xy, 3x
(b) 10pq, 7p, 8q, -p²q², -7qp, – 100g, -23, 12q²p², -5p², 41, 2405p, 78qp, 13p²q, qp², 701p²
हल :
(a) दिए गए पर्दो में समान पदों के समूह निम्न होंगे-
-xy², 2xy²; -4yx², 20x²y; 8x², -11x², -6x²; 7y, y; -100x, 3x और -11yx, 2xy
(b) दिए गए पदों में समान पदों के समूह निम्न होंगे-
10pq, – 7gp, 78qp; 7p, 2405p 8q, – 100q; – p²q², 12q²p²; – 23, 41; – 5p², 701p² और 13p²q, qp²

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.5

प्रश्न 1.
PQR एक त्रिभुज है जिसका P एक समकोण है। यदि PQ = 10 सेमी तथा PR = 24 सेमी हो, तब QR ज्ञात कीजिए।
हल :

समकोण ΔPQR में पाइथागोरस प्रमेय से,
QR² = PQ² + PR²
= 24² + 10²
= 576 + 100 = 676
QR = \(\sqrt{676}\)
QR = \(\sqrt{26 \times 26}\)
OR = 26 सेमी। उत्तर

प्रश्न 2.
ABC एक त्रिभुज है जिसका एक समकोण है। यदि AB = 25 सेमी तथा AC = 7 सेमी हो, तब BC ज्ञात कीजिए।
हल :

समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² – AC²
= 25² – 7²
= 625 – 49 = 576
∴ BC = \(\sqrt{576}\)
BC = \(\sqrt{24 \times 24}\)
BC = 24 सेमी। उत्तर

प्रश्न 3.
दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका कर 15 मीटर लम्बी एक सीढ़ी भूमि से 12 मीटर ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

माना AB एक सीढ़ी है और B खिड़की है।
AB = 15 मीटर
BC = 12 मीटर
∵ ΔABC एक समकोण Δ है जिसमें ∠C समकोण है।
∴ AC² = AB² – BC² = 15² – 12²
= 225 – 144 = 81
AC² = 81
AC = \(\sqrt{9 \times 9}\) = 9 मीटर ।
अतः दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी 9 मीटर है। उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में भुजाओं के कौन-से समूह एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं ?
(i) 2.5 सेमी, 6.5 सेमी, 6 सेमी
(ii) 2 सेमी, 2 सेमी, 5 सेमी
(iii) 1.5 सेमी, 2 सेमी, 2.5 सेमी
समकोण त्रिभुज होने की स्थिति में उसके समकोण को भी पहचानिए।
हल :
(i) मांना a = 2.5 सेमी, b = 6.5 सेमी और c = 6 सेमी, तो
a² + c² = (2.5)² + 6²
= 6.25 + 36 = 42.25
b² = 42.25
b² = (6.5)²
b = 6.5
अतः a² + c² = b²
इसलिए दी गई भुजाएँ समकोण Δ बनाती हैं। और ∠B = 90°

(ii) माना a = 2 सेमी, b = 2 सेमी और c = 5 सेमी
a² + b² = (2)² + (2)² = 4 + 4 = 8
(c)² = (5)² = 25
a² + b² ≠ c²
अतः दी गई भुजाएँ समकोण Δ नहीं बनाती हैं।

(iii) माना a = 1.5 सेमी, b = 2 सेमी और c = 2.5 सेमी
a² + b² = (1.5)² + (2)²
= 2.25 + 4 = 6.25
(c)² = (2.5)² = 6.25
⇒ a² + b² = c²
अतः दी गई भुजाएँ समकोण त्रिभुज बनाती हैं। और ∠C = 90°

प्रश्न 5.
एक पेड़ भूमि से 5 मीटर की ऊंचाई पर टूट जाता है और उसके ऊपरी भाग को उसके आधार से 12 मीटर की दूरी पर छूता है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

माना BCD एक पेड़ है, जो बिन्दु C से टूटता है और इसका ऊपरी सिरा D जमीन पर बिन्दु A को छूता है।
CD = AC
BC = 5 मीटर
AB = 12 मीटर
समकोण ΔABC में,
AC² = AB² + BC²
= 12² + 5²
= 144 + 25 = 169
AC² = 169
(AC)² = (13)²
AC = 13 सेमी
∴ CD = AC = 13 मीटर
पेड़ की ऊँचाई BD = BC + CD
= 5 + 13
= 18 मीटर। उत्तर

प्रश्न 6.
त्रिभुज PQR में ∠Q = 25° तथा कोण R = 65° है। निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य है ?
(i) PQ² + QR² = RP²
(ii) PQ² + RP² = QR²
(iii) RP² + QR² = PQ²

हल :
कोण योग गुण से,
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ ∠P + 25° + 65° = 180°
⇒ ∠P + 90° = 180°
⇒ ∠P = 180° – 90° = 90°
∴ ΔPQR समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠P = 90° है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² + PQ² = QR²
∴ (ii) सत्य हैं। उत्तर

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई 40 सेमी है तथा उसका एक विकर्ण 41 सेमी है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ABCD एक आयत है। जिसमें AB = 40 मीटर और AC = 41 मीटर।
समकोण ΔABC में कोण B समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AC² – AB²
= 41² – 40²
= (41 + 40) (41 – 40)
= 81 × 1
BC² = 81
(BC)² = (9)²
BC = 9 मीटर
अब आयत का परिमाप = 2(AB + BC)
= 2(40 + 9) मीटर
= 2 × 49
= 98 मीटर। उत्तर

प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी तथा 30 सेमी हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें
विकर्ण AC = 16 सेमी और विकर्ण BD = 30 सेमी
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ ΔAOB में,
AO = \(\frac {1}{2}\)AC
= \(\frac {1}{2}\) × 16 = 8 सेमी
OB = \(\frac {1}{2}\)BD = \(\frac {1}{2}\) × 30 = 15 सेमी
समकोण ΔAOB में,
AB² = OA² + OB² = 8² + 15² = 64 +225 = 289.
AB = \(\sqrt{289}\)
AB = \(\sqrt{17 \times 17}\) = 17 सेमी
अतः समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × 17 = 68 सेमी। उत्तर

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक का पूरक ज्ञात कीजिए:

हल :
एक-दूसरे के पूरक कोणों का योग 90° होता है।
(i) 20° के कोण का पूरक कोण
= 90° – 20° = 70°
(ii) 63° के कोण का पूरक कोण
= 90° – 63° = 27°
(iii) 57° के कोण का पूरक कोण
= 90° – 57° = 33°

प्रश्न 2.
निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक का संपूरक ज्ञात कीजिए:

हल :
हम जानते हैं कि एक-दूसरे के सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है।
(i) 105° के कोण का सम्पूरक कोण
= 180° – 105° = 75°
(ii) 87° के कोण का सम्पूरक कोण
= 180° – 87° = 93°
(iii) 154° के कोण का सम्पूरक कोण ।
= 180° – 154° = 26°

प्रश्न 3.
कोणों के निम्नलिखित युग्मों में से पूरक एवं सम्पूरक युग्मों की पृथक्-पृथक् पहचान कीजिए:
(i) 65°, 115°
(ii) 63°, 27°
(iii) 112°, 68°
(iv) 130°, 50°
(v) 45°, 45°
(vi) 80°,10°
हल :
(i) कोणों का योग = 65° + 115° = 180°
अत: कोणों का यह युग्म सम्पूरक है।
(ii) कोणों का योग = 63° +27° = 90°
अत: कोणों का. यह युग्म पूरक है।
(iii) कोणों का योग = 112° + 68° = 180°
अतः कोणों का यह युग्म सम्पूरक है। .
(iv) कोणों का योग = 130° + 50° = 180°
अत: कोणों का यह युग्म संपूरक है।
(v) कोणों का योग = 45° + 45° = 90°
अत: कोणों का यह युग्म पूरक है।
(vi) कोणों का योग = 80° + 10° = 90°
अतः कोणों का यह युग्म पूरक है।

प्रश्न 4.
ऐसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के समान हो।
हल :
माना एक कोण x° है, तो इसका पूरक कोण x° होगा।
x° + x° = 90°
2x° = 90°
x° = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
अतः वाँछित कोण = 45°

प्रश्न 5.
ऐसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने सम्पूरक के समान हो।
हल :
माना कोण का माप x° है, तो इसके सम्पूरक कोण का माप = x°
∵ एक कोण और इसके सम्पूरक कोण का योग 180° होता है।
अतः x° + x° = 180°
⇒ 2x° = 180° ⇒ x° = \(\frac {180°}{2}\)
⇒ x° = 90°
अत: वांछित कोण 90° है।

प्रश्न 6.
दी हुई आकृति में ∠1 एवं ∠2 सम्पूरक कोण हैं। यदि ∠1 में कमी की जाती है, तो ∠2 में क्या परिवर्तन होगा, ताकि दोनों कोण फिर भी सम्पूरक ही रहें।

हल :
यदि ∠1 में कमी की जाती है, तो ∠2 उसी माप में बढ़ेगा।

प्रश्न 7.
क्या दो ऐसे कोण संपूरक हो सकते हैं यदि उनमें से दोनों :
(i) न्यून कोण हैं ?
(ii) अधिक कोण हैं ?
(iii) समकोण हैं ?
हल :
(i) नहीं,
(ii) नहीं,
(iii) हाँ।

प्रश्न 8.
एक कोण 45 से बड़ा है। क्या इसका पूरक कोण 45° से बड़ा है अथवा 45° के बराबर है अथवा 45° से छोटा है?
हल :
हम जानते हैं कि एक कोण और उसके पूरक कोण का योग 90° होता है।
माना एक कोण 45° + x° हैं, तो
इसका पूरक कोण = 90° – (45° +x°)
= 90° – 45° – x°
= 45° – x°
स्पष्टतः 45° + x° > 45° – x°
अत: 45° से बड़े कोण का पूरक 45° से छोटा होगा।

प्रश्न 9.
निम्न आकृति में:

(i) क्या ∠1, ∠2 का आसन्न
(ii) क्या ∠AOC, ∠AOE का आसन्न है?
(iii) क्या ∠COE एवं ∠EOD रैखिक युग्म बनाते हैं ?
(iv) क्या ∠BOD एवं ∠DOA सम्पूरक हैं ?
(v) क्या ∠1 का उर्ध्वाधर सम्मुख कोण ∠4 है ?
(vi) ∠5 का ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण क्या है ?
हल :
(i) हाँ,
(ii) नहीं,
(iii) हाँ,
(iv) हाँ,
(v) हाँ,
(vi) ∠2 + ∠3 = ∠COB

प्रश्न 10.
पहचानिए कि कोणों के कौन-से युग्म

(i) ऊध्वाधर सम्मुख – कोण हैं
(ii) रैखिक युग्म हैं।
हल :
(i) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों के युग्म : ∠1, ∠4, ∠5, ∠2 + ∠3 हैं।
(ii) रैखिक युग्म : ∠1, ∠5, ∠4, ∠5 हैं।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित आकृति में क्या ∠1, ∠2 का आसन्न है? कारण लिखिए।

हल :
∠1, ∠2 का आसन्न नहीं है, क्योंकि इन दोनों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में कोण x, y एवं z के मान ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
∴ ∠x = ∠55°, (शीर्षाभिमुख कोण)
∵ ∠x + ∠z = 180° (x, z रैखिक युग्म कोण हैं, जिनका योग 180° होता है)
⇒ 55° + ∠z = 180°
⇒ ∠z = 180° – 55°
⇒ ∠z = 125°
स्पष्टतः ∠z = ∠y (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠y = 125°
अत: ∠x = 55°, ∠y = 125° और ∠z = 125° उत्तर

(ii) यहाँ 40° + ∠x + 25° = 180°, (सरल कोण)
⇒ 65° + ∠x = 180°
⇒ ∠x = 180° – 65°
⇒ ∠x = 115°
और ∠y + 40° = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
⇒ ∠y = 180° – 40°
⇒ ∠y = 140°
और ∠y + ∠z = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
∠z = 180° – ∠y
= 180° – 140°
∠z = 40°
अत: ∠x = 115°, ∠y = 140° और ∠z = 40° उत्तर

प्रश्न 13.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनकी मापों का योग ………. है।
(ii) यदि दो कोण सम्पूरक हैं, तो उनकी मापों का योग ………. है।
(iii) रैखिक युग्म बनाने वाले दो कोण ………. होते हैं।
(iv) यदि दो आसन्न कोण सम्पूरक हैं, तो वे ……….. बनाते हैं।
(v) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो ऊध्वाधर सम्मुख कोण हमेशा ……….. होते हैं।
(vi) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं और यदि ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों का एक युग्म न्यून कोण है, तो ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों का दूसरा युग्म ……….. है।
हल :
(i) 90°,
(ii) 180°,
(iii) सम्पूरक,
(iv) रैखिक युग्म,
(v) समान,
(vi) अधिक कोण।

प्रश्न 14.

(i) ऊर्ध्वाधर अधिककोण
(ii) आसन्न पूरक कोण
(iii) समान सम्पूरक कोण
(iv) असमान सम्पूरक कोण
(v) आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं।
हल :
(i) ऊध्र्वाधर सम्मुख अधिककोण ∠AOD और ∠BOC हैं।
(ii) आसन्न पूरक कोण ∠BOA और ∠AOF हैं।
(iii) समान सम्पूरक कोण ∠BOE और ∠EOD हैं।
(iv) असमान सम्पूरक कोण ∠BOA और ∠AOD,∠BOC और ∠COD, ∠EOA और ∠EOC हैं।
(v) आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं : ∠AOB और ∠AOE; ∠AOE और ∠EOD, ∠EOD और ∠COD.

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 2⁶
(ii) 9³
(ii) 11²
(iv) 5⁴
हल :
(i) 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(ii) 9³ = 9 × 9 × 9 = 729
(iii) 11² = 11 × 11 = 121
(iv) 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5= 625

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) t × t
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल :
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴
(ii) t × t = t²
(iii) b × b × b × b = b⁴
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 5² × 7³
(v) 2 × 2 × a × a = 2² × a²
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
= a³ × c⁴ × d

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :
(i) 512
(ii) 343
(iii) 729
(iv) 3125
हल :
(i)

∴ 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2⁹

(ii)

∴ 343 = 7 × 7 × 7
= 7³

(iii)

∴ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶

(iv)

∴ 3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁵

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :
(i) 43 या 34
(ii) 5³ या 3⁵
(iii) 2⁸ या 8²
(iv) 100² या 2¹⁰⁰
(v) 2¹⁰ या 10²
हल :
(i) दिया है :
4³ = 4 × 4 × 4 = 64
और 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
स्पष्टतः 81 > 64
अत: 3⁴ बड़ी संख्या है।

(ii) दिया है : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
और 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
स्पष्टतः 243 > 125
अतः 3⁵ बड़ी संख्या है।

(iii) दिया है :
2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 256
और 8² = 8 × 8 = 64
स्पष्टतः 256 > 64
अतः 2⁸ बड़ी संख्या है।

(iv) दिया है : 100² = 100 × 100 = 10000
और 2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)¹⁰
= (1024)¹⁰ = [(1024)²]⁵
= (1024 × 1024)⁵
= [1048576]⁵
अत: 2¹⁰⁰ बड़ी संख्या है।

(v) दिया है :
2¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
और 10² = 10 × 10 = 100
स्पष्टतः 1024 > 100
अतः 2¹⁰ बड़ी संख्या है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की बातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल :
(i) भाग विधि से 648 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2³ × 3⁴

(ii) भाग विधि से 405 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 3⁴ × 5

(iii) भाग विधि से 540 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2² × 3³ × 5

(iv) भाग विधि से 3600 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

प्रश्न 6.
सरल कीजिए :
(i) 2 × 10³
(ii) 7² × 2²
(iii) 2³ × 5
(iv) 3 × 4⁴
(v) 0 × 10²
(vi) 5² × 3³
(vii) 2⁴ × 3²
(viii) 3² × 10⁴
हल :
(i) 2 × 10³ = 2 × 10 × 10 × 10 = 2000

(ii) 7² × 2² = 7 × 7 × 2 × 2
= 49 × 4 = 196

(iii) 2³ × 5 = 2 × 2 × 2 × 5
= 8 × 5 = 40

(iv) 3 × 4⁴ = 3 × 4 × 4 × 4 × 4
3 × 256 = 768

(v) 0 × 10² = 0

(vi) 5² × 3³ = 5 × 5 × 3 × 3 × 3
= 25 × 27 = 675

(vii) 2⁴ × 3² = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 16 × 9 = 144

(viii) 3² × 10⁴ = 3 × 3 × 10 × 10 × 10 × 10
= 9 × 10000
= 90000

प्रश्न 7.
सरल कीजिए :
(i) (-4)³
(ii) (-3) × (-2)³
(iii) (-3)² × (-5)²
(iv) (-2)³ × (-10)³
हल :
(i) (-4)³
= (-4) × (-4) × (-4)
= -64

(ii) (-3) × (-2)³
= (-3) × (-2) × (-2) × (-2)
= (-3) × (-8)
= 24

(iii) (-3)² × (-5)²
= (-3) × (-3) × (-5) × (-5)
= 9 × 25
= 225

(iv) (-2)³ × (- 10)³
= (-2) × (-2) × (-2) × (-10) × (-10) × (-10)
= (-8) × (- 1000)
= 8000

प्रश्न 8.
निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :
(i) 2.7 × 10¹²; 1.5 × 10⁸
(ii) 4 × 10¹⁴; 3 × 10¹⁷
हल :
(i) 2.7 × 10¹² = 2.7 × 10 × 10¹¹
= 27 × 10¹¹,
अत: संख्या में 13 अंक होंगे
और 1.5 × 10⁸ = 1.5 × 10 × 10⁷
= 15 × 107
अतः संख्या में 9 अंक होंगे।
∴ 2.7 × 10¹² > 1.5 × 10⁸

(ii) 4 × 10¹⁴
अतः संख्या में 15 अंक होंगे
और 3 × 10¹⁷
अतः संख्या में 18 अंक होंगे
∴ 4 × 10¹⁴ < 3 × 10¹⁷