Author name: Bhagya

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशेल्फ (book-shell) की बाहरी विमाएं निम्न हैं : ऊंचाई = 110 सें०मी०, गहराई = 25 सें०मी०, चौड़ाई = 85 सें०मी० (देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सें०मी० है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जाती है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सें०मी० है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सें०मी० है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
यहां पर, पॉलिश वाले तल का क्षेत्रफल = (110 × 85 + 2 × 85 × 25 + 2 × 25 × 110 + 4 × 75 × 5 + 2 × 110 × 5) सें०मी०²
= (9350 + 4250 + 5500 + 1500 + 1100) सें०मी०²
= 21700 सें०मी०²
इस पर पॉलिश कराने का खर्च = 21700 × \(\frac{20}{100}\) = ₹ 4340
पेंट वाले तल का क्षेत्रफल = (6 × 75 × 20 + 2 × 90 × 20 + 75 × 90) सें०मी०²
= (9000 + 3600 + 6750) सें०मी०² = 19350 सें०मी०²
इस पर पेंट कराने का खर्च = 19350 × \(\frac{10}{100}\) = ₹ 1935
पॉलिश व पेंट कराने का कुल खर्च = 4340 + 1935 = ₹ 6275 उत्तर

प्रश्न 2.
किसी घर के कंपाउंड के सामने की दीवार को 21 सें०मी० व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चांदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सें०मी० त्रिज्या और ऊंचाई 7 सें०मी० का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चांदी के रंग के पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति से०मी० है तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सें०मी० हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
माना
लकड़ी के गोले का व्यास (d) = 21 सें०मी०
लकड़ी के गोले की त्रिज्या = \(\frac{21}{2}\) सें०मी०
∴ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2
= \(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\) = 1386 सें०मी०²
गोले के जितने तल पर चांदी वाला रंग होगा = \(\left[1386-\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}\right]\) सें०मी०²
= \(\left[1386-\frac{99}{14}\right]\) सें०मी०²
= [1386 – 7.07] सें०मी०²
= 1378.93 सें०मी०²
8 गोलों में जितने तल पर चांदी वाला रंग होगा = 1378.93 × 8 सें०मी०² = 11031.44 सें०मी०²
चांदी का पेंट करने की दर = 25 पैसे प्रति सें०मी०²
∴ चांदी वाले रंग पर व्यय = \(\frac{11031.44 \times 25}{100}\)
= ₹ 2757.86
बेलन की त्रिज्या (r) = 1.5 = \(\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\) सें०मी०
बेलन की ऊंचाई (h) = 7 सें०मी०
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= \(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times 7\) = 66 सें०मी०²
8 बेलनों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 8 = 528 सें०मी०²
काले रंग का पेंट करवाने की दर = 5 पैसे प्रति सें०मी०²
बेलनों पर काला रंग कराने पर व्यय = \(\frac{528 \times 5}{100}\) = ₹ 26.40
दोनों रंगों के पेंट पर कुल व्यय = 2757.86 + 26.40
= ₹ 2784.26 उत्तर

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
हल :
माना,
गोले का पहला व्यास = 2x मी०
गोले की पहली त्रिज्या = x मी०
गोले का पहला पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4πx² मी०²
25% कमी करने के पश्चात्

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Exercise 9.2

प्रश्न 1.
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सें०मी०, AE = 8 सें०मी० और CF = 10 सें०मी० है, तो AD ज्ञात कीजिए। [B.S.E.H. March, 2018]

हल :
यहाँ पर आधार (AB) = 16 सें०मी०
शीर्षलंब (AE) = 8 सें०मी०
∴ समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलंब
= 16 सें०मी० × 8 सें०मी०
= 128 सें०मी०²
दूसरी अवस्था में
शीर्षलंब (CF) = 10 सें०मी०

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD) है।
हल :

दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD में E, F, G व H क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD व DA के मध्य बिंदु हैं।
इन्हें मिलाने पर चतुर्भुज EFGH प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है : ar (EFGH) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD)
रचना : H व F को मिलाओ।
प्रमाण : ΔHGF और समांतर चतुर्भुज HDCF समान आधार HF और समान समांतर रेखाओं HF और DC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔHGF) = \(\frac{1}{2}\)ar (HDCF) …..(i)
इसी प्रकार, ΔHEF और समांतर चतुर्भुज ABFH समान आधार HF और समान समांतर रेखाओं HF और AB के मध्य स्थित है।
∴ ar (ΔHEF) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABFH) …..(ii)
समीकरण (i) एवं (ii) को जोड़ने पर,.
ar (ΔHGF) + ar (ΔHEF) = \(\frac{1}{2}\)[ar (HDCF) + ar (ABFH)]
⇒ ar (EFGH) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD) [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
P और Q क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
हल :

दिया है :
समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर क्रमशः P व Q दो बिंदु स्थित हैं।
सिद्ध करना है : ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
प्रमाण : यहाँ पर ΔAPB तथा || चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB तथा समांतर रेखाओं AB व CD के मध्य में हैं।
∴ ar (ΔAPB) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज ABCD) …..(i)
इसी प्रकार ΔBQC तथा || चतुर्भुज ABCD एक ही आधार BC तथा समांतर रेखाओं AD व BC के मध्य में हैं।
∴ ar (ΔBQC) = \(\frac{1}{2}\)ar (॥ चतुर्भुज ABCD) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना में,
ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC) [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
आकृति में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)

हल :

दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु P है।
सिद्ध करना है : (i) ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD)
(ii) ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
रचना : P से EPF समांतर AB या DC तथा GPH समांतर AD या BC खींचिए।
प्रमाण : क्योंकि AB || EF m(रचना से)
तथा AE || BF [|| चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
∴ AEFB एक || चतुर्भुज है। इसी प्रकार EDCF भी एक || चतुर्भुज है।
ΔAPB तथा || चतुर्भुज AEFB एक ही आधार AB तथा समांतर रेखाओं AB तथा EF के मध्य में स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPB) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज AEFB) …..(i)
इसी प्रकार ar (ΔPCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज EDCF) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
ar (ΔAPB + ar (ΔPCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज AEFB) + \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज EDCF)
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = \(\frac{1}{2}\){ar (|| चतुर्भुज AEFB) + ar (|| चतुर्भुज EDCF)}
∴ ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज ABCD) …..(iii)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि,
ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज ABCD) …..(iv)
समीकरण (iii) व (iv) की तुलना से,
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
आकृति में, PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = \(\frac{1}{2}\)ar (PQRS)

हल :
दिया है : PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज एक ही आधार SR तथा दो समांतर रेखाओं SR व PB के बीच स्थित हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है।
सिद्ध करना है : (i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (ΔAXS) = \(\frac{1}{2}\)ar (PQRS)
प्रमाण : (i) समांतर चतुर्भुज PQRS और समांतर चतुर्भुज ABRS समान आधार RS और एक ही समांतर रेखाओं SR तथा PB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (PQRS) = ar (ABRS) [इति सिद्धम]
(ii) ΔAXS और समांतर चतुर्भुज ABRS समान आधार AS और एक ही समांतर रेखाओं AS बीच RB के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔAXS) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABRS)
या ar (ΔAXS) = \(\frac{1}{2}\)ar (PQRS) [भाग (i) से] [इति सिद्धम]

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करें?
हल :

इस प्रकार खेत तीन भागों में बँट जाता है तथा तीनों भाग त्रिभुज के आकार में हैं।
(i) ΔAPQ (ii) ΔASP (iii) ΔARQ
क्योंकि ΔAPQ तथा || चतुर्भुज PQRS एक ही आधार PQ तथा एक ही समांतर रेखाओं PQ तथा Rs के मध्य में स्थित है।
∴ ar (ΔAPQ) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज PORS)
⇒ ar (ΔAPQ) = ar (ΔAPS) + ar (ΔAQR)
किसान को या तो गेहूँ ΔAPQ में तथा दालें अन्य दो त्रिभुजों में बोनी चाहिएं या दालें ΔAPQ में तथा गेहूँ अन्य दो त्रिभुजों में बोनी चाहिए।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Exercise 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD =5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?
हल :
ΔBCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × BC × CD
= (\(\frac{1}{2}\) × 12 × 5) m² = 30 m²
पाइथागोरस प्रमेय से,

BD² = BC² + CD²
⇒ BD² = 12² + 5²
⇒ BD² = 144 + 25
⇒ BD² = 169
BD = \(\sqrt{169}\) = 13 m
Δ ABD के लिए
a = 13 m , b = 8 m site c = 9m
अब s = \(\frac{1}{2}\)(a + b + c)
= \(\frac{1}{2}\)(13 + 8 + 9) m
= \(\frac{1}{2}\) × 30 m = 15 m

अतः चतुर्भुजाकार पार्क Δ BCD का क्षेत्रफल = (Δ BCD + Δ ABD) का क्षेत्रफल
= (30 + 35.4) m² = 65.4 m² (लगभग) उत्तर

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5cm और AC = 5 cm है।
हल :
यहाँ पर ΔABC के लिए a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) cm
= \(\frac{12}{2}\) cm = 6 cm

अतः चतुर्भुज (ΔBCD) का क्षेत्रफल = (ΔABC) + (ΔADC) का क्षेत्रफल
= (6 + 9.2) cm²
= 15.2 cm² (लगभग) उत्तर

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर भाग I के लिए
a = 5 cm, b = 5 cm, c = 1 cm

भाग II के लिए
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 6.5 × 1 cm² = 6.5 cm²
भाग III के लिए
समलंब का क्षेत्रफल = 3 × समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 3 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²cm²
= 3 × \(\frac{1.732}{4}\) cm²
= \(\frac{5.196}{4}\) = 1.3 cm²
भाग IV के लिए
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 6 × 1.5 cm² = 4.5 cm²
भाग V के लिए
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 6 x 1.5 cm² = 4.5 cm²
अतः राधा द्वारा प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल
= भाग [I + II + III + IV + V] का क्षेत्रफल
= [2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5] cm²
= 19.3 cm² (लगभग) उत्तर

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ त्रिभुज के लिए
a = 26 cm, b = 28 cm, c = 30 cm

समांतर चतुर्भुज का आधार = 28 cm
प्रश्नानुसार
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ आधार × संगत ऊँचाई = 336
या 28 × संगत ऊँचाई = 336
या संगत ऊँचाई = \(\frac{336}{28}\) = 12 cm उत्तर

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ? [B.S.E.H. March, 2019]
हल :
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज का विकर्ण इसे दो बराबर त्रिभुजों में बाँटता है।

प्रत्येक त्रिभुज के लिए
a = 30m
b = 30m
c = 48m

अतः समचतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल = 2 × त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 2 × 432 m² = 864 m²
18 गायों को चरने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल = 864 m²
1 गाय को चरने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल = \(\frac{864}{18}\) m²
= 48 m² उत्तर

प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति)। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?

हल :
यहाँ पर प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े के लिए
a = 20 cm
b = 50 cm
c = 50 cm

अतः छाते में प्रत्येक रंग के कपड़े का क्षेत्रफल = 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm² उत्तर

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है ?

हल :
पतंग के ऊपरी भाग का विकर्ण = 32 cm
∴ ऊपरी भाग का कुल क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × पहला विकर्ण × दूसरा विकर्ण
= \(\frac{1}{2}\) × 32 × 32 cm²
= 16 × 32 cm² = 512 cm²
512 अतः छायांकित भाग I का क्षेत्रफल = छायांकित भाग II का क्षेत्रफल = \(\frac{512}{2}\)
= 256 cm² उत्तर
अब भाग III के लिए
a = 6 cm, b = 6 cm, c = 8 cm

प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल के लिए
a = 9 cm, b = 28 cm, c = 35 cm

= \(\sqrt{36 \times 27 \times 8 \times 1}\) cm²
= \(\sqrt{6 \times 6 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2}\) cm²
= 6 × 3 × 2 × \(\sqrt{6}\) cm²
= 36\(\sqrt{6}\) cm²
अतः फर्श में लगी 16 टाइलों का कुल क्षेत्रफल = 16 × 36\(\sqrt{6}\) cm²
= 576 × 2.45 cm²
= 1411.2 cm²
1 वर्ग सें०मी० टाइल पर पॉलिश करने का व्यय = 50 पैसे = ₹ \(\frac{50}{100}\)
1411.2 वर्ग सें०मी० टाइल पर पॉलिश करने का व्यय = ₹\(\frac{50}{100}\) × 1411.2
₹ 705.60 उत्तर

प्रश्न 9.
एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ABCD एक समलंब के आकार का खेत है जिसमें
AB = 10 m, BC = 14 m
CD = 25 m, DA = 13 m
BE||AD खींचिए जो CD को E पर काटे तथा BM⊥CD खींचे जो CD को M पर मिले। इस प्रकार ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
AB = DE = 10 m
BE = DA = 13 m
CE = DC – DE = 25 – 10 = 15 m
अब ΔBEC में
a = 13 m
b = 15 m
c = 14 m

अतः समलंब ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (AB + CD) × BM
= \(\frac{1}{2}\) × (10 + 25) × 11.2 m²
= \(\frac{1}{2}\) × 35 × 11.2 m²
= 35 × 5.6 m²
= 196 m² उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.7

[नोट-जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।]

प्रश्न 1.
उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 सें०मी० और ऊंचाई 7 सें०मी० है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सें०मी० और ऊंचाई 12 सें०मी० है।
हल :
(i) यहां पर,
शंकु की त्रिज्या (r) = 6 सें०मी०
शंकु की ऊंचाई (h) = 7 सें०मी०
∴ शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7 = 264 सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
शंकु की त्रिज्या (r) = 3.5 सें०मी० = \(\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\) सें०मी०
शंकु की ऊंचाई (h) = 12 सें०मी०
∴ शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 12 = 154 सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 सें०मी० और तिर्यक ऊंचाई 25 सें०मी० है।
(ii) ऊंचाई 12 सें०मी० और तिर्यक ऊंचाई 13 सें०मी० है।
हल :
(i) यहां पर,
शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या (r) = 7 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की तिर्यक ऊंचाई (l) = 25 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की ऊंचाई (h) = \(\sqrt{\ell^2-r^2}\)
= \(\sqrt{(25)^2-(7)^2}\) सें०मी०
= \(\sqrt{625-49}\) सें०मी०
= \(\sqrt{576}\) सें०मी०
= 24 सें०मी०
अतः शंकु के आकार के बर्तन का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) × 7 × 7 × 24 सें०मी०³
= 1232 सें०मी०³
इस प्रकार शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1232}{1000}\) = 1.232 लीटर उत्तर (∵ 1 लीटर = 1000 सें०मी०³)

(ii) यहां पर,
शंकु के आकार के बर्तन की ऊंचाई (h) = 12 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की तिर्यक ऊंचाई (l) = 13 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या (r) = \(\sqrt{\ell^2-h^2}\)
= \(\sqrt{(13)^2-(12)^2}\) सें०मी०
= \(\sqrt{169-144}\) सें०मी०
= \(\sqrt{25}\) सें०मी०
= 5 सें०मी०
अतः शंकु के आकार के बर्तन का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 12 सें०मी०³
= \(\frac{2200}{7}\) सें०मी०³
इस प्रकार शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{2200}{7 \times 1000}=\frac{11}{35}\) लीटर उत्तर (∵ 1 लीटर = 1000 सें०मी०³)

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 सेंमी० है। यदि इसका आयतन 1570 सें०मी०³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
हल :
यहां पर,
शंकु की ऊंचाई (h) = 15 सें०मी०
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = ?
शंकु का आयतन (V) = 1570 सें०मी०3
⇒ \(\frac{1}{3}\)πr²h = 1570
या \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
या 15.70 r² = 1570
या r² = \(\frac{1570}{15.70}\)
या r² = 100
या r = 10 सें०मी०
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 10 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 4.
यदि 9 सें०मी० ऊंचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π सें०मी०³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
शंकु की ऊंचाई (h) = 9 सें०मी०
शंकु का आयतन (V) = 48 π सें०मी०³
⇒ \(\frac{1}{3}\)πr²h = 48 π
या \(\frac{1}{3}\) × π × r² × 9 = 48 π
या 3r² = 48
या r² = \(\frac{48}{3}\)
या r² = 16
या r = 4 सें०मी०
अतः शंकु के आधार का व्यास (d) = 2r = 2 × 4 = 8 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 मी० वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 मी० गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है ?
हल :
यहां पर,
शंकु का व्यास (d) = 3.5 मी० = \(\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\)
शंकु की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2 \times 2}\) मी० = \(\frac{7}{4}\) मी०
शंकु की गहराई (h) = 12 मी०
शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12\) मी०³
= \(\frac{77}{2}\) मी०³ = 38.5 मी०³
इस प्रकार शंकु के आकार के गड्ढे की धारिता = 38.5 कि०लीटर उत्तर (∵ 1 मी०³ = 1 कि०लीटर)

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सें०मी०³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सें०मी० है. तो ज्ञात कीजिए: [B.S.E.H. March, 2017, 2018]
(i) शंकु की ऊंचाई,
(ii) शंकु की तिर्यक ऊंचाई,
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल :

(i) यहां पर,
शंकु के आधार का व्यास (d) = 28 सें०मी०
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) सें०मी० = 14 सें०मी०
शंकु का आयतन (V) = 9856 सें०मी०³
⇒ \(\frac{1}{3}\)πr²h = 9856
या \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
या \(\frac{616}{3}\)h = 9856
h = \(\frac{9856 \times 3}{616}\) = 48 सें०मी०
अतः शंकु की ऊंचाई = 48 सें०मी० उत्तर

(ii) शंकु की तिर्यक ऊंचाई (l) = \(\sqrt{(r)^2+(h)^2}\)
= \(\sqrt{(14)^2+(48)^2}\)
= \(\sqrt{196+2304}\) सें०मी०
= \(\sqrt{2500}\) = 50 सें०मी०
अतः शंकु की तिर्यक ऊंचाई = 50 सें०मी० उत्तर

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50 सें०मी०²
= 2200 सें०मी०² उत्तर

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 सें०मी०, 12 सें०मी० और 13 सें०मी० वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सें०मी० के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :

इस प्रकार बना ठोस शंकु आकृति में दर्शाया गया है।
इस शंकु की त्रिज्या (r) = 5 सें०मी०
इस शंकु की ऊंचाई (h) = 12 सें०मी०
इस शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\)π × 5 × 5 × 12 सें०मी०³
= 100π सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सें०मी० के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतन का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :

इस प्रकार प्राप्त ठोस शंकु आकृति में दर्शाया गया है।
इस शंकु की त्रिज्या (r) = 12 सें०मी०
इस शंकु की ऊंचाई (h) = 5 सें०मी०
इस शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
\(\frac{1}{3}\)π × 12 × 12 × 5 सेंमी०³
= 240π सें०मी०³ उत्तर
दोनों शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 100π : 240π
= 5 : 12 उत्तर

प्रश्न 9.
गेहूं की एक ढेरी 10.5 मी० व्यास और ऊंचाई 3 मी० वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
शंक्वाकार ढेरी का व्यास (d) = 10.5 मी० = \(\frac{105}{10}=\frac{21}{2}\)
शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}\) मी० = \(\frac{21}{4}\) मी०
शंक्वाकार ढेरी की ऊंचाई (h) = 3 मी०
∴ शंक्वाकार ढेरी का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\) मी०³
= \(\frac{693}{8}\) मी०³ = 86.625 मी०³
अतः गेहूं का आयतन = 86.625 मी०³ उत्तर

अतः गेहूं को ढ़कने के लिए 99.825 मी०² केनवास की आवश्यकता पड़ेगी। उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.4

प्रश्न 1.
5 सें०मी० तथा 3 सें०मी० त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 सें०मी० है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :

माना O व O’ केंद्र वाले दो वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः 3 सें०मी० व 5 सें०मी० हैं।
∴ O’A = 5 सें०मी, OO’ = 4 सें०मी
समकोण त्रिभुज AOO’ में,
AO’² = AO² + OO’²
⇒ (5)² = AO² + (4)²
⇒ AO² = 25 – 16
⇒ AO² = 9
⇒ AO = 3
अतः उभयनिष्ठ जीवा AB है अर्थात 2AO या 2 × 3 = 6 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएं वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
हल :

दिया है : AB तथा CD वृत्त की दो समान जीवाएं हैं, O वृत्त का केंद्र है। AB तथा CD, P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है:
(i) AP = PD
(ii) PB = CP
रचना : OM ⊥ AB, ON ⊥ CD खींचिए। OP को मिलाओ।
प्रमाण: AM = MB = \(\frac{1}{2}\) AB [∵ वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है]
इसी प्रकार CN = ND = \(\frac{1}{2}\)CD [वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है]
⇒ AM = ND तथा MB = CN …..(i) [∵ AB = CD दिया है]
अब ΔOMP तथा ΔONP में,
OM = ON [एक वृत्त की समान जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
∠OMP = ∠ONP [∵ प्रत्येक 90°]
OP = OP [उभयनिष्ठ]
∴ ΔΟΜΡ ≅ ΔΟΝΡ [समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ MP = PN ….. (ii) [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
AM + MP = ND + PN
⇒ AP = PD [इति सिद्धम]
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर,
MB – MP = CN – PN
⇒ PB = CP [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएं वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल :

दिया है : केंद्र O वाले वृत्त की दो समान जीवाएं AB तथा CD वृत्त के अंदर परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेदित होती हैं।
सिद्ध करना है : ∠OEB = ∠OED
रचना : O से OL ⊥ AB तथा OM ⊥ CD खींचिए।
प्रमाण : ∵ AB = CD [दिया है]
⇒ OL = OM [समान जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]
ΔOEL तथा ΔOEM में,
OL = OM [प्रमाणित]
OE = OE [उभयनिष्ठ]
∠OLE = ∠OME [प्रत्येक = 90°]
∴ ΔOEL ≅ ΔOEM [समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता]
∴ ∠OEL = ∠OEM [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
या ∠OEB = ∠OED [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेंद्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को, जिनका केंद्र O है, A,B,C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB =CD है (आकृति अनुसार)।

हल :

दिया है : दो संकेंद्री वृत्त जिनका केंद्र O है। एक रेखा इन्हें A, B, C तथा D बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : AB = CD
रचना : O से OL ⊥ AD खींचिए।
प्रमाण : बड़े वृत्त में,
OL ⊥ AD
∴ AL = LD …(i) [∵ केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उसे समद्विभाजित करता है]
इसी प्रकार छोटे वृत्त में,
OL ⊥ BC
∴ BL = LC …(ii) [∵ केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उसे समद्विभाजित करता है]
समीकरण (ii) को (i) में से घटाने पर,
AL – BL = LD – LC
⇒ AB = CD [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 मी० त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियां रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 मी० हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है ?
हल :
माना तीन लड़कियां रेशमा, सलमा तथा मनदीप एक वृत्त की परिधि पर क्रमशः बिंदु A, B तथा C पर खड़ी हैं। वृत्त की त्रिज्या 5 मी० है।
प्रश्नानुसार AB = BC = 6 मी०
AC = ? OA, OB तथा OC को मिलाओ।
AB = BC [दिया है]
∴ बिंदु B, AC के लंबार्धक पर स्थित है।
OA = OC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
∴ बिंदु O, AC के लंबार्धक पर स्थित है।
∴ OB, AC का लंबार्धक है जो AC को D बिंदु पर प्रतिच्छेदित करती है।
∴ AD = DC
∴ AC = 2 AD
माना OD = x मी०

तो DB = (5 – x) मी०
समकोण ΔOAD में,
AD² = OA² – OD²
= (5)² – (x)² …….(i)
समकोण ΔABD में,
AD² = AB² – DB²
= (6) – (5 – x)²
समीकरण (i) तथा (ii) की तुलना से,
(5)² – (x)² = (6)² – (5 – x)²
या 25 – x² = 36 – (25 + x² – 10x)
या 25 – x² = 36 – 25 – x² + 10x
या -10 x = 36 – 25 – 25
या -10x = -14
या x = \(\frac{14}{10}\) = 1.4 मी०
अतः OD = 1.4 मी०
अब AD² = (5)² – (x)²
= 25 – (1.4)²
= 25 – 1.96 = 23.04
AD = \(\sqrt{23.04}\) = 4.8 मी०
⇒ AC = 2AD = 2 × 4.8 = 9.6 मी०
अतः रेशमा व मनदीप के मध्य की दूरी = 9.6 मी० उत्तर

प्रश्न 6.
20 मी० त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड वृत्त की परिधि पर एक-दूसरे से बराबर दूरी पर बिंदु A, B व C पर बैठे हैं। इसलिए ABC समबाहु त्रिभुज है। वृत्त की त्रिज्या 20 मी० है। A से AL ⊥ BCखींचिए। क्योंकि त्रिभुज समबाहु है इसलिए यह लंब केंद्र O में से भी गुजरता है।
माना समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा = 2x मी० है
तो BL = \(\frac{\mathrm{BC}}{2}=\frac{2 x}{2}\) = x मी० [∵ OL ⊥ BC है]
समकोण ΔABL में

OL = AL – AO = (\(\sqrt{3}\)x – 20) मी०
समकोण ΔOBL में

OB² = OL² + BL²
(20)² = (\(\sqrt{3}\)x – 20) + (x)²
400 = 3x² + 400 – 40\(\sqrt{3}\)x + x²
4x² – 40\(\sqrt{3}\)x = 0
4x (x – 10\(\sqrt{3}\)) = 0
⇒ 4x = 0
⇒ x = \(\frac{0}{4}\) = 0 जो कि संभव नहीं है।
या x – 10\(\sqrt{3}\) = 0
x = 10\(\sqrt{3}\)
∴ BC = 2 BL = 2 × 10\(\sqrt{3}\) = 20\(\sqrt{3}\) मी०
अतः प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई = 20\(\sqrt{3}\) मी० उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.3

प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है ?
हल :

(1) स्थिति (i) में वृत्तों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसलिए इस अवस्था में इनके उभयनिष्ठ बिंदु 0 हैं।
(2) स्थिति (ii) में वृत्तों का उभयनिष्ठ बिंदु A है। इसलिए इस अवस्था में इनके उभयनिष्ठ बिंदु 1 हैं।
(3) स्थिति (iii) में वृत्तों के उभयनिष्ठ बिंदु B और C हैं। इसलिए इस अवस्था में इनके उभयनिष्ठ बिंदु 2 हैं।
इसलिए वृत्तों के युग्म खींचने पर इनके अधिक से अधिक 2 उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं।

प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल :

रचना के चरण :

1. तीन बिंदु A, B तथा C वृत्त की परिधि पर लीजिए।
2. AB तथा BC को मिलाइए।
3. AB तथा BC के लंब समद्विभाजक PQ तथा RS खींचे, जो एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब, O वृत्त का केंद्र है।

प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल :

दिया है :
दो वृत्त जिनके केंद्र O तथा P हैं। एक-दूसरे को A व B बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : OP, AB का लंब समद्विभाजक है।
रचना : OA, OB, PA व PB को मिलाओ। माना OP, AB को M पर प्रतिच्छेदित करती है।
प्रमाण : ΔOAP और ΔOBP में,
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
PA = PB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
OP = OP [उभयनिष्ठ]
∴ ΔOAP ≅ ΔOBP [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
या ∠AOP = ∠BOP [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अर्थात ∠AOM = ∠BOM ………(i)
अब ΔAOM और ΔBOM में,
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
∠AOM = ∠BOM [समीकरण (i) से]
और OM = OM [उभयनिष्ठ]
∴ ΔΑΟΜ ≅ ΔBOM [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
या AM = BM [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(ii)
तथा ∠AMO = ∠BMO [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(iii)
परंतु ∠AMO + ∠BMO = 180° [रैखिक युग्म]
∴ ∠AMO = ∠BMO = 90° ….(iv)
∴ OM अर्थात OP, AB का लंब समद्विभाजक है। [समीकरण (ii) और (iv) से]
[इति सिद्धम]

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.6

[नोट-जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।]

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सें०मी० और उसकी ऊंचाई 25 सें०मी० है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 सें०मी०³ = 1 लीटर)
हल :
यहां पर,
बेलनाकार बर्तन की ऊंचाई (h) = 25 सें०मी०
बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि = 132 सें०मी०
⇒ 2πr = 132
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 132
या r = \(\frac{132 \times 7}{2 \times 22}\) = 21 सें०मी०
∴ बेलनाकार बर्तन का आयतन (V) = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 25 सें०मी०³
= 34650 सें०मी०³
अतः बर्तन में जितने लीटर पानी आ सकता है = \(\frac{34650}{1000}\) लीटर
= 34.65 लीटर उत्तर

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 सें०मी० है और बाहरी व्यास 28 सें०मी० है। इस पाइप की लंबाई 35 सें०मी० है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 सें०मी०³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल :
यहां पर,
बेलनाकार पाइप का अंतः व्यास (d) = 24 सें०मी०
बेलनाकार पाइप की अंतः त्रिज्या (r) = \(\frac{24}{2}\) = 12 सें०मी०
बेलनाकार पाइप का बाह्य व्यास (D) = 28 सें०मी०
बेलनाकार पाइप की बाह्य त्रिज्या (R) = \(\frac{28}{2}\) = 14 सें०मी०
बेलनाकार पाइप की लंबाई (h) = 35 सें०मी०
इस प्रकार पाइप में लगी लकड़ी का आयतन (V) =
बाह्य आयतन – आंतरिक आयतन = πh (R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) × 35 [(14)² – (12)²] सें०मी०³
= 110 [196 – 144] सें०मी०³
= 110 × 52 = 5720 सें०मी०³
1 सें०मी०³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 ग्राम
अतः 5720 सें०मी०³ पाइप का द्रव्यमान = 5720 × 0.6 ग्राम = 3432 ग्राम
= 3.432 किलोग्राम उत्तर

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 सें०मी० और चौड़ाई 4 सें०मी० वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊंचाई 15 सें०मी० है और (ii) व्यास 7 सें०मी० वाले वृत्तीय आधार और 10 सें०मी० ऊंचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल :
यहां पर,
आयताकार आधार वाले डिब्बे की लंबाई (l) = 5 सें०मी०
आयताकार आधार वाले डिब्बे की चौड़ाई (b) = 4 सें०मी०
आयताकार आधार वाले डिब्बे की ऊंचाई (h) = 15 सें०मी०
∴ आयताकार आधार वाले डिब्बे का आयतन (V) = l × b × h = 5 × 4 × 15 = 300 सें०मी०³
बेलनाकार डिब्बे की ऊंचाई (h) = 10 सें०मी०
बेलनाकार डिब्बे के आधार का व्यास (d) = 7 सें०मी०
बेलनाकार डिब्बे के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) = सें०मी०
∴ बेलनाकार डिब्बे का आयतन (V) = πr²h
\(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 10 सें०मी०³
= 385 सें०मी०³
∵ 385 > 300 ∴ बेलनाकार डिब्बे की धारिता अधिक है।
अतः बेलनाकार डिब्बे की धारिता जितनी अधिक है = 385 – 300 सें०मी०³
= 85 से०मी०³ उत्तर

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सें०मी०² है और उसकी ऊंचाई 5 सें०मी० है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) बेलन का आयतन (70 = 3.14 लीजिए)।
हल :
(i) यहां पर,
बेलन की ऊंचाई (h) = 5 सें०मी०
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 सें०मी०²
⇒ 2πrh = \(\frac{942}{10}\) सें०मी०²
या 2 × 3.14 × r × 5 = \(\frac{942}{10}\)
या \(\frac{2 \times 314 \times r \times 5}{100}\) = \(\frac{942}{10}\)
या \(\frac{314 r}{10}\) = \(\frac{942}{10}\)
या r = \(\frac{942}{10} \times \frac{10}{314}\) = 3 सें०मी०
अतः बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 3 सें०मी० उत्तर

(ii) बेलन का आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 सें०मी०³
= 3.14 × 45 = 141.3 सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 5.
10m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए है। यदि पेंट कराने की दर ₹ 20 प्रति मी०² है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) आधार की त्रिज्या,
(iii) बर्तन की धारिता।
हल :
(i) बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय = ₹ 2200
बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने की दर = ₹ 20 प्रति मी०²
अतः बेलनाकार बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= \(\frac{2200}{20}\) मी०²
= 110 मी०² उत्तर

(ii) बेलनाकार बर्तन की गहराई (h) = 10 मी०
बेलनाकार बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 मी०²
⇒ 2πrh = 110
या 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
या \(\frac{440}{7}\)r = 110
या r = \(\frac{110 \times 7}{440}=\frac{7}{4}\) मी० = 1.75 मी०
अतः बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या (r) = 1.75 मी० उत्तर

(iii) बेलनाकार बर्तन का आयतन (V) = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) × 10 मी०³ = 96.25 मी०³
अतः बेलनाकार बर्तन की धारिता = 96.25 किलोलीटर (∵ 1 मी०³ = 1 kl) उत्तर

प्रश्न 6.
ऊंचाई 1 मी० वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ? [B.S.E.H. March, 2020]
हल :
यहां पर,
बेलनाकार बर्तन की ऊंचाई (h) = 1 मी०
बेलनाकार बर्तन की धारिता = 15.4 लीटर
बेलनाकार बर्तन का आयतन (V) = \(\frac{154}{10 \times 1000}\)मी०³

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मि०मी० है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मि०मी० है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 सें०मी० है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
पेंसिल का व्यास (d) = 7 मि०मी०
पेंसिल की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) मि०मी० = \(\frac{7}{20}\) सें०मी०
पेंसिल की लंबाई (h) = 14 सें०मी०
अतः पेंसिल का आयतन (V) = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{20} \times \frac{7}{20}\) × 14 सें०मी०³
= \(\frac{539}{100}\) सें०मी०³
= 5.39 सें०मी०³
ग्रेफाइट के सिक्के का व्यास (d) = 1 मि०मी०
ग्रेफाइट के सिक्के की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{1}{2}\) मि०मी० = \(\frac{1}{20}\) सें०मी०
ग्रेफाइट के सिक्के का आयतन (V) = πr₁²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{1}{20} \times \frac{1}{20}\) × 14 सें०मी०³
= \(\frac{11}{100}\) सें०मी०³
= 0.11 सें०मी०³
इस प्रकार पेंसिल में लगी लकड़ी का आयतन = 5.39 – 0.11 = 5.28 सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सें०मी० व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 सें०मी० ऊंचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है ?
हल :
यहां पर,
बेलनाकार कटोरे का व्यास (d) = 7 सें०मी०
बेलनाकार कटोरे की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) सें०मी०
कटोरे में सूप की ऊंचाई (h) = 4 सें०मी०
कटोरे में सूप का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 4
= 154 सें०मी०³
1 रोगी को दिया जाने वाला सूप = 154 सें०मी०³
250 रोगियों को दिया जाने वाला सूप = 154 × 250 सें०मी०³
= 38500 सें०मी०³
= \(\frac{38500}{1000}\) = 285 लीटर (∵ 1000 सें०मी०³ = 1 लीटर)
अतः अस्पताल में प्रतिदिन जितने लीटर सूप तैयार होता है = 38.5 लीटर उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.2

प्रश्न 1.
याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएं बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएं उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल :
दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र O तथा O’ हैं। AB व CD दो समान जीवाएं हैं।
सिद्ध करना है : ∠AOB = ∠CO’D

ΔAOB तथा ΔCO’D में,
OA = O’C [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
OB = O’D [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
AB = CD [दिया है]
ΔAOB ≅ ΔCO’D [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
∠AOB = ∠CO’D [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
[इति सिद्धम]

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएं उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएं बराबर होती हैं।
हल :
दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र O तथा O’ हैं। दो जीवाएं AB और CD इस प्रकार हैं कि ∠AOB = ∠CO’D.
सिद्ध करना है : जीवा AB = जीवा CD.

ΔAOB तथा ΔCO’D में,
OA = O’C [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
OB = O’D [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
∠AOB ≅ ∠CO’D [दिया है]
∴ ΔAOB = ΔCO’D [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
∴ जीवा AB = जीवा CD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
[इति सिद्धम]

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.1

प्रश्न 1.
खाली स्थान भरिए :
(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के ………………….. में स्थित है।
(ii) एक बिंदु, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……………… में स्थित होता है।
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का …………….. होता है।
(iv) एक चाप ……………………… होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखंड एक चाप तथा ……………………….. के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे …………….. भागों में विभाजित करता है।
उत्तर :
(i) अभ्यंतर
(ii) बहिर्भाग
(iii) व्यास
(iv) अर्द्धवृत्त
(v) जीवा
(vi) तीन।

प्रश्न 2.
लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए।
(i) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएं होती हैं।
(ii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दोगुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
उत्तर :
(i) सत्य : क्योंकि वृत्त की परिधि पर स्थित सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं, जिसे वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।
(ii) असत्य : क्योंकि वृत्त की परिधि पर अनेक बिंदु होते हैं जिन्हे मिलाने से अपरिमित जीवाएं प्राप्त की जा सकती हैं।
(iii) असत्य : क्योंकि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट देने पर प्रत्येक भाग समान चाप कहलाता है।
(iv) सत्य : क्योंकि व्यास सबसे बड़ी जीवा होती है, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दोगुनी होती है।
(v) असत्य : क्योंकि चाप और दो त्रिज्याओं के बीच का क्षेत्र (केंद्र को चाप के बिंदु से मिलाने वाला) त्रिज्यखंड कहलाता है। आकृति में OAB त्रिज्यखंड है।

(vi) सत्य : क्योंकि वृत्त एक बिंदु का बिंदुपथ होता है, जो एक तल में स्थित होता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Exercise 11.2

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 750 और AB + AC = 13 cm हो।
हल :
रचना के चरण-

1. एक किरण BX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड BC = 7 cm लीजिए।
2. बिंदु B पर ∠YBX = 75° बनाओ।
3. BY से BD = 13 cm काटो।
4. D को C से मिलाओ।
5. CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करें।
6. A को C से मिलाइए।
7. इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 cm, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 cm हो। [B.S.E.H. 2017, 2018, 2020]
हल :
रचना के चरण-

1. एक किरण BX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड BC = 8 cm लीजिए।
2. अब बिंदु B पर ∠YBC = 45° बनाओ।
3. BY से BD = 3.5 cm काटो।
4. D को C से मिलाओ।
5. CD का लंब समद्विभाजक RS खींचो जो BY को A पर प्रतिच्छेद करता है।
6. A को C से मिलाइए।
7. इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 cm, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 cm हो।
हल :
रचना के चरण-

1. एक किरण QX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड QR = 6 cm लीजिए।
2. बिंदु Q पर ∠YQX = 60° बनाओ।
3. YQ को Y’ तक आगे बढ़ाकर QY’ में से QS = 2 cm काटो।
4. R को S से मिलाओ।
5. RS का लंब समद्विभाजक AB खींचिए जो QY को P पर काटे।
6. P को R से मिलाइए।
7. इस प्रकार PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y =30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 cm हो।
हल :
रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड PQ = 11 cm खींचिए।
2. P पर एक किरण PL खींचिए जिससे कि ∠LPQ = \(\frac{1}{2}\) × 30° = 150
3. Q पर, एक किरण QM खींचिए जिससे कि ∠MQP = \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45० जो PL को X पर काटे।
4. PX का लंब समद्विभाजक AB खींचिए जो PQ को Y पर प्रतिच्छेद करे।
5. QX का लंब समद्विभाजक CD खींचिए जो PQ को Z पर प्रतिच्छेद करे।
6. XY तथा Xz को मिलाओ।
7. इस प्रकार XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm और कर्ण तथा अन्य भुजा का योग 18 cm है।
हल :
रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड BC = 12 cm खींचिए।
2. बिंदु B पर ∠YBC = 90° बनाओ तथा BD = 18 cm काटो।
3. DC को मिलाओ।
4. अब DC का लंबार्धक PQ खींचो जो DB को A पर प्रतिच्छेद करे।
5. AC को मिलाओ।
6. इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Exercise 11.1

प्रश्न 1.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :

रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से चाप DE लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर E तथा F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. अब K से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
6. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 90° का है।

सत्यापन- रचना से EA = AD = ED
∴ AED एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः ∠EAD = 60° …….(i)
इसी प्रकार, AE = EF = FA
⇒ AEF एक समबाहु त्रिभुज है।
∠EAF = 60°
क्योंकि AC, ∠EAF का समद्विभाजक है।
∴ ∠EAC = \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30° …….(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
∠CAB = ∠EAC + ∠EAD
= 30° + 60° = 90°

प्रश्न 2.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :

रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से चाप DE लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ। अब परकार कुछ अधिक खोलकर E तथा F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
4. अब K से गुजरती हुई एक किरण AL खींचो। ∠LAB का माप 90° होगा।
5. अब M तथा D से चापें लगाओ जो परस्पर N पर काटें।
6. अब N से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
7. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 45° का है।

सत्यापन- रचना में ∠LAB = 90° है और AC, ∠LAB का समद्विभाजक है।
∠CAB = \(\frac{1}{2}\)∠LAB = \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45°

प्रश्न 3.
निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए- [B.S:E.H. March, 2018]
(i) 30°
(ii) \(22 \frac{1^{\circ}}{2}\)
(iii) 15°
हल :
(i) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर D व E से चापें लगाओ जो परस्पर F पर काटें।
5. F में से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
6. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 30° का है।

(ii) रचना के चरण- [B.S.E.H. March, 2019]

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर D व E से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए। इस प्रकार ∠HAB = 30° का होगा।
6. अब D व L से चापें लगाओ जो परस्पर M पर काटें।
7. M से गुजरती हुई किरण AF खींचिए। इस प्रकार ∠FAB = 15° का होगा।
8. अब N तथा L से चापें लगाओ जो परस्पर P पर काटें।
9. P में से गुजरती हुई किरण AC खींचिए।
10. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो \(22 \frac{1^{\circ}}{2}\) का है।

(iii) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर D व E से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए। इस प्रकार ∠HAB = 30° का होगा।
6. अब F व D से चापें लगाओ जो परस्पर L पर काटें।
7. L में से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 15° का है।

प्रश्न 4.
निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए-
(i) 750
(ii) 105° [March, 2020]
(iii) 135°
हल :
(i) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर E व F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए।
6. बिंदु L व E से चापें लगाओ जो परस्पर N पर प्रतिच्छेद करें।
7. N से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 75° का है।
9. ∠CAB को चाँदे से नापने पर पता चलता है कि यह 75° का है।

(ii) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर E व F से चापें लगाओ जो परस्पर G पर काटें।
5. G से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए।
6. बिंदु F तथा L से चापें लगाओ जो परस्पर M पर काटें।
7. M से गुजरती हुई किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 105° का है।
9. इस कोण को चाँदे से नापने पर पता चलता है कि यह 105° का है।

(iii) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ। इसी प्रकार E से EF तथा F से FG चाप लगाओ।
4. अब परकार को पहले से अधिक खोलकर E व F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K में से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए।
6. बिंदु L तथा G से चापें लगाओ जो परस्पर M पर काटें।
7. अब M से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 135° का है।
9. ∠CAB को चाँदे से नापने पर पता चलता है कि यह 135° का है।

प्रश्न 5.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल :
रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड BC = 5.5 cm खींचिए।
2. B और C को केंद्र मानकर BC = 5.5 cm त्रिज्या की परकार खोलकर दो चापें लगाएँ जो परस्पर A पर प्रतिच्छेद करें।
3. A को B व C से मिलाओ।
4. इस प्रकार ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

सत्यापन-क्योंकि रचना द्वारा AB = BC = CA = 5.5 cm
⇒ ∠C = ∠B = ∠A = 60°
∴ ΔABC समबाहु त्रिभुज है।