Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.1
प्रश्न 1.
यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं-
प्रत्येक का वर्गीकरणं निम्नलिखित आधार पर कीजिए
(a) साधारण वक्र
(b) साधारण बंद वक्र
(c) बहुभुज
(d) उत्तल बहुभुज
(e) अवतल बहुभुज
हल :
(a) साधारण वक्र – 1, 2, 5, 6, 7
(b) साधारण बन्द वक्र – 1, 2, 5, 6, 7
(c) बहुभुज – 1, 2, 4
(d) उत्तल बहुभुज – 2
(e) अवतल बहुभुज – 1, 4.
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं
(a) एक उत्तल चतुर्भुज
(b) एक समषड्भुज
(c) एक त्रिभुज
हल :
(a) एक उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं।
(b) एक समषड्भुज में 9 विकर्ण होते हैं।
(c) त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं होता है ।
प्रश्न 3.
उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योगफल क्या है ? यदि चतुर्भुज उत्तल न हो, तो क्या यह गुण लागू होगा?
हल :
ABCD एक उत्तल चतुर्भुज है और B तथा D को मिलाते हैं। हमें दो त्रिभुज, ∆ABD, तथा ∆BCD प्राप्त होते हैं।
एक त्रिभुज के अन्तःकोषों का योग = 180°
इसी प्रकार दूसरे त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग = 180°
अत: दोनों त्रिभुजों के अन्त:कोणों का योग = 180° + 180° = 360°
अत: उत्तल चतुर्भुज ABCD के कोणों का योग = 360°
अब माना, PQRS एक अवतल चतुर्भुज है । P और R को मिलाते हैं।
हमें दो त्रिभुज, ∆PQR तथा ∆PRS प्राप्त होते हैं ।
अब ∆PQR के कोणों का योग = 180°
तथा ∆PRS के कोणों का योग = 180°
अतः अवतल चतुर्भुज के कोणों का योग, = 180° + 180° = 360°
अत:, यदि चतुर्भुज उत्तल न हो, तो भी यह गुण लागू होता है ।
प्रश्न 4.
तालिका की जाँच कीजिए : (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बाँटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए ।)
एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो?
(a) 7
(b) 8
(c) 10
(d) n
हल :
(a) बहुभुज के कोणों का योग = (n – 2) × 180°
n = 7, कोणों का योग = (7 – 2) × 180° = 5 × 180°
अतः योग = 900°
(b) n = 8, कोणों का योग = (8 – 2) × 180°
= 6 × 180° = 1080°
अतः योग = 1080°
(c) n = 10, कोणों का योग = (10 – 2) × 180°
= 8 × 180° = 1440°
अत: योग = 1440°
(d) n = n, कोणों का योग = (n – 2) × 180°
प्रश्न 5.
सम बहुभुज क्या है? एक सम बहुभुज का नाम बताइये, जिसमें-
(i) 3 भुजाएँ
(ii) 4 भुजाएँ
(iii) 6 भुजाएं हों।
हल :
सम बहुभुज-वह बहुभुज, जिसकी सभी भुजाएँ. एवं सभी कोण समान होते हैं, उसे सम बहुभुज कहते हैं ।
(a) 3 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम-समबाहु त्रिभुज
(b) 4 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम-वर्ग
(c) 6 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम-समषट्भुज
प्रश्न 6.
निम्नलिखित आकृतियों में (कोणों की माप) ज्ञात कीजिए
हल :
(a) ABCD एक चतुर्भुज है, जिसके चारों कोणों का योग = 360°
अतः ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D = 360°
⇒ 50° + 130° + 120° + x = 360°
⇒ 300° + x = 360°
⇒ x = 360° – 300 = 60°
अत: , x = 60°
(b) चतुर्भुज ABCD के अन्त:कोण का मान अन्त:कोण ∠A = 180° – 90° = 90°
अत: ∠A = 90°
अब, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
90° + 60° + 70° + x = 360°
⇒ 220° + x = 360°
x = 360° – 220° = 140°
अतः x = 140°
(c) अन्त:कोण ∠A= 180° – 70°
∠A = 110°
अन्त:कोण ∠E = 180° – 60°
∠E = 120°
A अब, पंचभुज ABCDE के अन्त:कोणों का योग = (n – 2) × 180°
= (5 – 2) × 180° = 3 × 180° = 540°
अत: ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D + ∠E = 540°
⇒ 110° + x + 30 + x + 120° = 540°
⇒ 2x + 260° = 540°
⇒ 2x = 540° – 260°
⇒ 2x = 280°
∴ x = \(\frac{280}{2}\) = 140°
अत: x = 140°
(d) ABCDE एक समपंचभुज है।
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = x
समपंचभुज के कोणों का योग = (5 – 2) × 180°
= 3 × 180°
= 540°
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540
⇒ x + x + x + x = 540°
5x = 540°
∴ x = \(\frac{540°}{5}\) = 108°
अतः x = 108°
प्रश्न 7.
(a) x + y + z ज्ञात कीजिए।
(b) x + y + z + w ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) बहुभुज के बा कोणों का योग = 360°
x, y, z, बहिष्कोण हैं ।
x + y + z = 360°
(b) बाह्य कोणों का योग = 360°
x, y, z, w बहिष्कोण हैं।
x + y + z + w = 360°