Author name: Bhagya

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

Question 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में .इकाई अंक की क्या संभावना है-
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
हल:
(i) 9801 – चूंकि 9801 में इकाई का अंक 1 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है।

(ii) 99856 – चूंकि इस संख्या में इकाई का अंक 6 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 4 . या 6 हो सकता है।

(iii) 998001 – चूंकि इसमें इकाई का अंक 1 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है।

(iv) 657666025 – चूँकि इस संख्या का इकाई का अंक 5 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई का अंक भी 5 होगा ।

प्रश्न 2.
बिना गणना किये वह संख्या बताएं जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है –
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441
हल :
नियम: जिन संख्याओं में इकाई के अंक 2,3,7 या 8 होते हैं, वे संख्याएँ कभी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती हैं ।
(i) 153 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 3 है ।
अतः 153 पूर्ण वर्ग नहीं है ।

(ii) 257 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 7 है।
अत: 257 पूर्ण वर्ग नहीं है ।

(iii) 408 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 8 है।
अत: 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।

(iv) 441 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 1 है ।
अत: 441 पूर्ण वर्ग हो सकती है ।

प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 तथा 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) 100 – 1 = 99
(b) 99 – 3 = 96
(c) 96 – 5 = 91
(d) 91 – 7 = 84
(e) 84 – 9 = 75
(f) 75 – 11 = 64
(g) 64 – 13 = 51
(h) 51 – 15 = 36
(i) 36 – 17 = 19
(j) 19 – 19 = 0
चूँकि संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 100 में से घटाने पर 10 वाँ पद (0) शून्य प्राप्त होता है ।
अत: \(\sqrt {100}\) = 10

(ii) 169
(a) 169 – 1 = 168
(b) 168 – 3 = 165
(c) 165 – 5 = 160
(d) 160 – 7 = 153
(e) 153 – 9= 144
(f) 144 – 11 = 133
(g) 133 – 13 = 120
(h) 120 – 15 = 105
(i) 105 – 17= 88
(j) 88 – 19 = 69
(k) 69 – 21 = 48
(l) 48 – 23 = 25
(m) 25 – 25 = 0
चूँकि संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 169 में से घटाने पर 13 वाँ पद 0 शून्य प्राप्त होता है ।
अत: \(\sqrt {169}\) = 13

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्नांकित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए –
(i) 729
(ii) 400
(ii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
हल:
(i) 729
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3² × 3² × 3²
= (3 × 3 × 3)²
= (27)²
अत: \(\sqrt {729}\) = 27

(ii) 400
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 2² × 5²
= (2 × 2 × 5)²
= (20)²
अत: \(\sqrt {200}\) = 20

(iii) 1764
1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2² × 3² × 7²
= (2 × 3 × 7)²
= (42)²
अत: \(\sqrt {1764}\) = 42

(iv) 4096
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2² × 2² × 2² × 2² × 2² × 2²
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)²
= (64)²
अत: \(\sqrt {4096}\) = 64

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाये । इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) 252
(ii) 180
(iii) 1008
(iv) 2028
(v) 1458
(vi) 768
हल :
(i) 252
252 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: यदि 7 का एक जोड़ा बनाते हैं तब संख्या 252 पूर्ण वर्ग हो जायेगी ।
अत: 252 में 7 का गुणा करने पर-
252 × 7 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{7 \times 7}\)
= 1764 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
और \(\sqrt {1764}\) = 2 × 3 × 7
= 42.

(ii) 180
180 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 180 में 5 का गुणा करने पर-
180 × 5 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
= 900 (पूर्ण वर्ग संख्या )
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 5
और \(\sqrt {900}\) = 2 × 3 × 5
= 30.

(iii) 1008
1008 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7.

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1008 में 7 का गुणा करने पर-
1008 × 7 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{7 \times 7}\)
= 7056 (पूर्ण वर्ग संख्या)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
तथा \(\sqrt {7056}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.

(iv) 2028
2028 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{13 \times 13}\) × 3

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 3 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2028 में 3 का गुणा करने पर-
2028 × 3 =\(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{13 \times 13}\) (पूर्ण वर्ग संख्या)
= 6084
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 3
और ∴ \(\sqrt {6084}\) = 2 × 3 × 13 = 78

(v) 1458
1458 = \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 2

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 2 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1458 में 3 का गुणा करने पर-
1458 × 2 = \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{2 \times 2}\) (पूर्ण वर्ग संख्या)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 2
अत: \(\sqrt {2916}\) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

(vi) 768
768 = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 × 2 × 3

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 3 का जोड़ा नहीं है।
अत: 768 में 3 का गुणा करने पर-
768 × 3 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 3
\(\sqrt {2304}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 252
(ii) 2925
(iii) 396
(iv) 2645
(v) 2800
(vi) 1620
हल:
(i) 252
252 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
इसलिए, 252 में 7 का भाग दिया जाय, तो
252 ÷ 7 = 36
= \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
और \(\sqrt {36}\) = 6

(ii) 2925
2925 = \(\underline{5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 13

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 13 का जोड़ा नहीं है।
इसलिए, 2925 में 13 का भाग दिया जाय, तो
2925 ÷ 13 = 225
= \(\underline{5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 13 और
\(\sqrt {225}\) = 15

(iii) 396
396 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 11

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 11 का जोड़ा नहीं है।
अत: 396 में 11 का भाग देने पर-
396 ÷ 11 = 36 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 11
और \(\sqrt {36}\) = 2 × 3 = 6

(iv) 2645
2645 = \(\underline{23 \times 23}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2645 में 5 का भाग देने पर-
2645 ÷ 5 = 529 = 23 × 23
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
और \(\sqrt {529}\) = 23.

(iv) 2800
2800 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2800 में 7 का भाग देने पर-
2800 ÷ 7 = 400 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: सबसे छोटी संख्या = 7
और \(\sqrt {400}\) = 2 × 2 × 5 = 20

(iv) 1620
1620 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1620 में 5 का भाग देने पर-
1620 ÷ 5 = 324 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
और \(\sqrt {324}\) = 2 × 2 × 3
\(\sqrt {324}\) = 18

प्रश्न 7.
एक राष्ट्रीय विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राहत कोष में 2401 रुपए दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपए दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, विद्यार्थियों में कुल संख्या = x
प्रत्येक विद्यार्थी ने दान में दिए = ₹ x

अतः x × x = 2401 (∵ कुल दान में रु. दिये)
x² = 2401
x = \(\sqrt{2401}\)
= \(\sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7}\)
x = 7 × 7 = 46
अत: कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 49

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाये जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो । पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, पंक्तियों की संख्या = x
तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या =x

∴ कुल पौधों की संख्या= x × x = 2025
∴ x² = 2025
x = \(\sqrt{2025}\) = \(\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5}\)
∴ x = 5 × 3 × 3 = 45
अतः पंक्तियों की संख्या = 45 तथा
प्रत्येक पंक्ति में पौधे की संख्या = 45

प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
4,9 व 10 का ल. स. प.
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= 180

180 का अभाज्य गुणनखण्ड = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5
इस गुणनखण्ड में 5 का जोड़ा नहीं है।
∴ 180 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
अतः 180 को पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए 5 का गुणा किया जाये, जिससे 180 के गुणनखण्ड में 5 का जोड़ा बन जायेगा ।
∴ 180 × 5 = 900 (यह पूर्ण वर्ग संख्या है)
= \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: अभीष्ट सबसे छोटी वर्ग सख्या = 900

प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए, जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाये।
हल :
8, 15 व 20 का ल. स. प.
= 2 × 2 × 2 × 3 × 5
= 120

अत: इनके जोड़ा बनाने के लिए 120 में 2,3 व 5 का गुणा करना पड़ेगा।
अत: संख्या = 120 × 2 × 3 × 5
= 3600 ⇒ \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: पूर्ण वर्ग संख्या = 3600
जो कि, क्रमशः प्रत्येक 8, 15, 20 से पूर्णतः विभाजित भी होगी ।
अभीष्ट सबसे छोटी वर्ग संख्या = 3600

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

नोट: संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए मुख्य संख्या को उचित रूप से दो संख्याओं में इस प्रकार विभाजित करेंगे कि उनका योग मुख्य संख्या हो, तब निम्नांकित प्रकार से उसको हल करेंगे। जैसे संख्या का वर्ग ज्ञात करना है,
तो
x² = (a + b)²
= (a + b)(a + b)
x² = a(a + b) + b(a + b)

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए-
(i) 32
(ii) 35
(iii) 86
(iv) 93
(v) 71
(vi) 46.
हल:
(i) 32
32² = (30 + 2)²
= (30 + 2) (30 + 2)
= 30(30 + 2) + 2(30 + 2)
= 30 × 30 + 30 × 2 + 2 × 30 + 2 × 2
= 900 + 60 + 60 + 4 = 1024.
अतः 32² = 1024.

(ii) 35
35² = (30 + 5)²
= 30(30 + 5) + 5(30 + 5)
= 30 × 30 + 30 × 5 + 5 × 30 + 5 × 5
= 900 + 150 + 150 + 25 = 1225
अतः 35² = 1225.

(iii) 86
86² = (80 + 6)²
= 80(80 + 6) + 6(80 + 6)
= 80 × 80 + 80 × 6 + 6 × 80 + 6 × 6
= 6400 + 480 + 480 + 36 = 7396
अतः 86² = 1225.

(iv) 93
93² = (90 + 3)²
= (90 + 3) (90 + 3)
= 90 × 90 + 90 × 3 + 3 × 90 + 3 × 3
= 8100 + 270 + 270 + 9
= 8649
अतः 93² = 8649.

(v) 71
71² = (70 + 1)²
= 70(70 + 1) + 1(70 + 1)
= 70 × 70 + 2 × 70 × 1 + 1 × 1
= 4900 + 140 + 1 = 5041
अतः 71² = 5041.

(vi) 46
46² = (40 + 6)²
= 40(40 + 6) + 6(40 + 6)
= 40 × 40 + 40 × 6 + 6 × 40 + 6 × 6
= 1600 + 240 + 240 + 36
= 2116
अतः 46² = 2116.

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य है-
(i) 6
(ii) 14
(iii) 16
(iv) 18.
हल:
(i) 6
m² – 1 = 6
m² = 6 + 1 = 7
m² = 7
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 6
m² = 6 – 1 = 5
m² = 5
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 6
∴ m = 3
फिर, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8
तथा, m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10
अतः त्रिक् हैं – 6, 8, 10

(ii) 14
m² – 1 = 14
m² = 14 + 1 = 15
m² = 15
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 14
m² = 14 – 1 = 13
m² = 13
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 14
∴ m = 7
फिर, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
तथा, m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
अतः त्रिक् हैं – 14, 48, 50

(iii) 16
m² – 1 = 16
m² = 16 + 1 = 17
m² = 17
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 16
m² = 16 – 1 = 15
m² = 15
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 16
∴ m = 8
फिर, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
तथा, m² + 1 = 8² + 1 = 64 + 1 = 65
अतः त्रिक् हैं – 16, 63, 65

(iv) 18
m² – 1 = 18
m² = 18 + 1 = 19
m² = 19
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 18
m² = 18 – 1 = 17
m² = 17
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 18
∴ m = 9
फिर, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
तथा, m² + 1 = 9² + 1 = 81 + 1 = 82
अतः त्रिक् हैं – 18, 80, 82

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Intext Questions

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों का सुमेलन कीजिए

हल:
इनका सुमेलन निम्न प्रकार है-

उत्तर:
1. (c), 2. (d), 3. (b), 4. (a).

(इन्हें कीजिए। – पृष्ठ 44)

प्रश्न 1.
कोई एक चतुर्भुज, माना ABCD, लीजिए (आकृति के अनुसार)। एक विकर्ण खींचकर, इसे दो त्रिभुजों में बाँटिए। आप छः कोण 1,2,3,4,5 और 6 प्राप्त करते हैं। त्रिभुज के कोण-योग वाले गुणधर्म का उपयोग कीजिए और तर्क कीजिए कि कैसे ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D की मापों का योगफल 180° + 180° = 360° हो जाता है।

हल :
माना कि ABCD एक चतुर्भुज है, जिसका एक विकर्ण AC है।
अतः ∠1 + ∠4 = ∠A
तथा ∠2 + ∠5 = ∠C
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180* होता है। इस प्रकार
ΔABC में, ∠4 + ∠5 + ∠B = 180° ….(1)
तथा, ΔACD में, .
∠1 + ∠2 + ∠D = 180° …..(2)

अब समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
(∠4 + ∠5 + ∠B) + (∠1 + ∠2 + ∠D) = 180° + 180°
⇒ (∠1 + ∠4) + ∠B + (∠2 + ∠5) + ∠D = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[∵ ∠1 + ∠4 = ∠A तथा ∠2 + ∠5 = ∠C]
अतः ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D कि मापों का योगफल 180° + 180° = 360° हो जाता है।

प्रश्न 2.
किसी चतुर्भुज ABCD की गत्ते वाली चार सर्वांगसम प्रतिलिपियाँ लीजिए, जिनके कोण आकृति (i) में दर्शाए गए हैं। इन प्रतिलिपियों को इस प्रकार से व्यवस्थित कीजिए, जिससे ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, एक ही बिन्दु पर मिलें जैसा कि आकृति (ii) में दर्शाया गया है।

आप ∠1, ∠2, ∠3 तथा ∠4 के योगफल के बारे में क्या कह सकते हैं?
हल :
चूंकि एक चतुर्भुज के चारों कोणों की मापों का योगफल 360 होता है, अत: चतुर्भुज ABCD में,
∠A + ∠B + ∠C+ ∠D = 360
∴ m∠1+ m∠2+ m∠3+ m∠4 = 360°

प्रश्न 3.
चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए (आकृति के अनुसार)।माना इसके अभ्यंतर में कोई बिन्दु P स्थित है।
P को शीर्षों A, B, C तथा D से जोडिए।आकृति में, ΔPAB पर विचार कीजिए।हम देखते हैं कि x = 180° – m∠2 – m∠3; इसी प्रकार APBC, से y = 180° – m∠4 – m∠5, ΔPCD से z = 180° – m∠6 – m∠7 और ΔPDA, w = 180° – m∠8 – m∠1 इसका उपयोग करके कुल माप m∠1 + m∠2 + … + m∠8, ज्ञात कीजिए। क्या यह आप को परिणाम तक पहुंचाने में सहायता करता है? याद रखिए, ∠x + ∠y + ∠z + ∠w = 360° है।

हल :
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
अतः x = 180° – ∠2 – ∠3 …..(1)
y = 180° – ∠4 – ∠5 …..(2)
z = 180° – ∠6 – ∠7 …..(3)
w = 180° – ∠8 – ∠1 …..(4)

(1), (2), (3) तथा (4) को जोड़ने पर,
x + y + z + w = 720° – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8)
परन्तु x + y + z + w = 360°
∴ 360° = 720° – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8)
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8
= 720° – 360° = 360°
इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।

प्रश्न 4.
ये सभी चतुर्भुज उत्तल (Convex) चतुर्भुज थे। यदि चतुर्भज उत्तल नहीं होते तो क्या होता? चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए। इसे दो त्रिभुजों में बाँटिए और अंतःकोणों का योगफल ज्ञात कीजिए। (आकृति देखें) ।

हल:
चतुभुज ABCD में BD को मिलाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। कोणों को चिह्नित कर नाम दिया।

चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों के योग 180° होता है, अतः
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 180° + 180°
⇒ ∠1 + (∠2 + ∠6) + ∠5 + (∠3 + ∠4) = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
अतः अंतःकोणों का योग 360° है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 47)

प्रश्न 1.
एक सम षड्भुज लीजिए (आकृति के अनुसार)

(i) बाह्य कोणों x, y, z, p, q तथा r की मापों का योग क्या है?
(ii) क्या x = y = z = p = q = r है? क्यों?
(iii) प्रत्येक की माप क्या है?
(a) बाह्य कोण
(b) अन्तःकोण
(iv) इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ:
(a) एक सम अष्टभुज
(b) एक सम 20 भुज
हल:
(i) चूँकि समषड्भुज बाह्य कोण x तथा अन्त:कोण a रैखिक युग्म बनाता है और रैखिक युग्म के कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + ∠a = 180°
इसी प्रकार, y + ∠a = 180°
z + ∠a = 180°
p + ∠a = 180°
q + ∠a= 180°
r + ∠a = 180°
दोनों पक्षों के कोणों को जोड़ने पर,
(∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + (∠a + ∠a + ∠a + ∠a + ∠a + ∠a) = 180° × 6 = 1080°
⇒ (∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + (6 – 2) × 180° = 1080°
⇒ (∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + 720° = 1080°
⇒ ∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r = 1080° – 720° = 360°
अतः बाह्य कोणों की मापों का योग 360° होता है।

(ii) हाँ, x = y = z = p = q = r; क्योंकि इनमें से प्रत्येक 180° – a के बराबर है।

(iii) (a) प्रत्येक बाह्य कोण = \(\frac{360°}{6}\) = 60°
(ii) प्रत्येक अन्तःकोण = \(\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}\),
जहाँ n = 6,
= \(\frac{(6-2) \times 180^{\circ}}{6}\) = \(\frac{4 \times 180^{\circ}}{6}\)
= 4 × 30° = 120°

(iv) (a) एक सम,अष्टभुज के सन्दर्भ में, n = 8 लेने पर
प्रत्येक अंत:कोण = \(\frac{(8-2) \times 180^{\circ}}{8}\) = \(\frac{6 × 180°}{8}\) = 135°
और प्रत्येक बाह्य कोण = 180° -135° = 450
(b) एक सम 20 भुज के सन्दर्भ में, n = 20 लेने पर
प्रत्येक अंत:कोण = \(\frac{(20-2) \times 180^{\circ}}{8}\)
= 18 × 9° = 162°

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 49)

प्रश्न 1.
समान सर्वांगसम त्रिभुजों के कटे हुए भाग लीजिए जिनकी भुजाएँ 3 cm, 4 cm, 5 cm हैं। इन्हें व्यवस्थित कीजिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

आपको एक समलम्ब प्राप्त होता है। (निरीक्षण कीजिए) यहाँ पर कौन-सी भुजाएँ समान्तर हैं? क्या असमान्तर भुजाएँ बराबर माप की होनी चाहिए?
इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर आप दो और समलम्ब प्राप्त कर सकते हैं। उनको ढूंढ़िए और अकी आकृतियों की चर्चा कीजिए।
हल:
दी गयी आकृति में भुजा AB || DC । दिए गये समलम्ब चतुर्भुज में असमान्तर भुजा AD = 4 cm तथा BC =3cm, अतः असमान्तर भुजाएँ बराबर नहीं है।
दिए गए समान त्रिभुजों के समूह से दो समलम्ब चतुर्भुज इस प्रकार प्राप्त हो सकते हैं-

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 51)

प्रश्न 1.
दो अलग-अलग चौड़ाई वाली गत्ते की आयताकार पट्टियाँ लीजिए (आकृति के अनुसार)

एक गत्ते की पट्टी को समतल पर रखिए और इसके किनारों के अनुदिश रेखाएँ खींचिए।
अब दूसरी पट्टी को खींची गई रेखाओं के ऊपर तिरछी दिशा में रखिए और इसका उपयोग करते हुए दो और रेखाओं को खींचिए।
हल:

इन चार रेखाओं से बनी बंद आकृति चतुर्भुज है [आकृति (ii)]
यह समान्तर रेखाओं के दो युग्मों से मिलकर बनी है। यह एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।

प्रयास कीजिए। (पृष्ठ 52)

प्रश्न 1.
30° – 60° – 90° कोणों वाले दो समान सेट-स्क्वे यर लीजिए। अब इन्हें आपस में इस प्रकार मिलाकर रखिए जिससे एक समांतर चतुर्भुज बन जाए (आकृति के अनुसार)। क्या यह ऊपर बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करता है?

हल:
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD लेते हैं।

समान्तर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण AC खींचते हैं।
हम देखते हैं कि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
क्योंकि त्रिभुज ABC और ADC में ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 और AC उभयनिष्ठ है इसलिए, ASA सर्वांगसमता कसौटी
द्वारा –
∆ ABC ≃ ∆CDA
अत:
AB = DC और BC = AD

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 54)

प्रश्न 1.
m∠R = m∠N = 70°, दर्शाने के उपरान्त क्या आप किसी अन्य विधि से m∠I और m∠G को ज्ञात कर सकते हैं?
Img 15
हल:
यह दिया गया है कि एक समान्तर चतुर्भुज RING में, m∠R = 70°
चूँकि RI ∥ GN और RG एक प्रतिच्छेदक है जो इनको क्रमशः R और G पर प्रतिच्छेदित करता है इसलिए
∠R + ∠G = 180° [अंतःसम्मुख कोण]
⇒ 70° + ∠G = 180°
⇒ ∠G = 180° – 70°
= 110°

अन्यविधि : RG|| IN तथा RI प्रतिच्छेदक है, जो क्रमश: R और I पर प्रतिच्छेदित करता है, इसलिए
∠R + ∠I = 180° [अन्तःसम्मुख कोण]
⇒ 70° + ∠I = 180°
⇒ ∠I = 180° – 70° = 110°
अतः ∠I = ∠G = 110°

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 55)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज (मान लीजिए ABCD) का एक कटा हुआ भाग लीजिए (देखें आकृति)। माना इसके विकर्ण \(\overline{\mathrm{AC}}\) तथा \(\overline{\mathrm{DB}}\) एक-दूसरे को ‘O’ पर प्रतिच्छेद करते हैं। C को A पर रखकर एक तह (Fold) के द्वारा \(\overline{\mathrm{AC}}\) का ‘मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए। क्या मध्य-बिन्दु O ही है? क्या यह दर्शाता है कि विकर्ण \(\overline{\mathrm{DB}}\), विकर्ण \(\overline{\mathrm{AC}}\) को बिन्दु ‘O’ पर समद्विभाजित करता है? अपने मित्रों के साथ इसकी चर्चा कीजिए। इस क्रियाकलाप को यह ज्ञात करने के लिए दोहराएँ कि \(\overline{\mathrm{DB}}\) का मध्य-बिन्दु कहाँ पर स्थित होगा?
हल:
C को A पर रखने पर हम पाते हैं कि \(\overline{\mathrm{AC}}\) का मध्य बिन्दु O है जो विकर्ण AC तथा BD का प्रतिच्छेदक बिन्दु है। अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 61)

प्रश्न 1.
एक राजमिस्त्री एक पत्थर की पट्टी बनाता है। वह उसे आयताकार बनाना चाहता है। कितने अलगअलंग तरीकों से उसे यह विश्वास हो सकता है कि यह आयताकार है?
हल :
राजमिस्त्री को निम्नलिखित अलग-अलग तरीकों से यह विश्वास हो सकता है कि उसने जो पत्थर की पट्टी बनाई है वह आयताकार है-
(i) यदि इसका प्रत्येक कोण 90° का हो।
(ii) यदि इसके विकर्ण बराबर हो।।
(iii) यदि इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों।

प्रश्न 2.
वर्ग को आयत के रूप में परिभाषित किया गया था जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। क्या हम इसे समचतुर्भुज के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जिसके कोण बराबर माप के हों? इस विचार को स्पष्ट कीजिए।
हल :
हम समचतुर्भुज के रूप में वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज, जिसके कोण बराबर माप के हों, वर्ग है; क्योंकि कोण बराबर होते ही समचतुभुज का प्रत्येक कोण \(\frac{360°}{4}\) = 90° होगा। इस प्रकार सभी भुजाएँ बराबर लम्बाई की तथा सभी कोण 90 माप के हो जाते हैं। अतः यह एक वर्ग है।

प्रश्न 3.
क्या एक समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो सकते हैं? क्या इसकी सभी भुजाएँबराबर हो सकती हैं? वर्णन कीजिए।
हल :
हाँ, जब समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो जाते हैं, तब वह या तो आयत या वर्ग होता है। परन्तु जब समलम्ब की सभी भुजाएँ बराबर हो जाती हैं, तब वह या तो समचतुर्भुज होता है या वर्ग होता है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.3

प्रश्न 1.
इन प्रयोगों में आप जो परिणाम देख सकते हैं, उन्हें लिखिये
(a) पहिये को घुमाना,
(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना ।

हल :
(a) पहिये को घुमाने पर परिणाम है-
A,B,C,D

(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर परिणाम है
HT, HH, TH, TT.

(i) HT – पहले सिक्के पर Head तथा दूसरे सिक्के पर Tail.
(ii) HH – दोनों सिक्कों पर Head.
(iii) TH – पहले सिक्के पर Tail तथा दूसरे पर Head.
(iv) TT – दोनों सिक्कों पर Tail.

प्रश्न 2.
जब एक पासे को फेंका जाता है, तब निम्नलिखित घटना से प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए-
(i) (a) एक अभाज्य संख्या,
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं

(ii) (a) 5 से बड़ी एक संख्या
(b) 6 से बड़ी संख्या नहीं ।
हल:
(i) (a) अभाज्य संख्या प्राप्त करने की घटना के परिणाम – 2, 3, 5.
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं के परिणाम – 1, 4, 6.
(ii) (a) 5 से बड़ी संख्या के परिणाम – 6
(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं के परिणाम अर्थात् 6 से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना का परिणाम- 1, 2, 3, 4, 5.

प्रश्न 3.
ज्ञात कीजिए-
(a) [प्रश्न 1(a)] में सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता ।

(b) अच्छी प्रकार से फेंटी हुई 52 तार्थों की एक गड्डी में से एक इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता ।
(c) एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता

हल :
(a) सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)
(b) 1 इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{42}{52}\) = \(\frac{1}{13}\)
(:. गड्डी में 4 इक्के होते हैं)
(c) आकृति में, लाल सेब = 4
हरे सेब =3
कुल सेब = 7
1 लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता = 4

प्रश्न 4.
10 पृथक् पर्चियों पर 1 से 10 तक संख्याएँ लिखी हुई हैं (1 पर्ची पर एक संख्या), उन्हें एक बॉक्स में रखकर अच्छी प्रकार से मिला दिया जाता है । बॉक्स के अन्दर से बिना देखे एक पर्ची निकाली जाती है । निम्नलिखित की प्रायिकता क्या है ?
(i) संख्या 6 प्राप्त करना ।
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करना ।
(ii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करना ।
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करना ।
हल :
(i) संख्या 6 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{10}\)
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
(iii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{10}\) = \(\frac{2}{5}\)
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{9}{10}\)

प्रश्न 5.
यदि आपके पास 3 हरे त्रिज्यखण्ड, 1 नीला त्रिज्यखण्ड तथा 1 लाल त्रिज्यखण्ड वाला एक घूमने वाला पहिया है, तो एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? ऐसा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है, जो नीला न हो ?
हल :

हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{हरे रंगों की संख्या}{कुल रंगों की संख्या}\) = \(\frac{3}{5}\)
एक ऐसा त्रिज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता, जो नीला नहीं है = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 6. प्रश्न 2 में दी हुई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(b) एक ऐसी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता, जो अभाज्य नहीं हैं = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(c) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
(d) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त नहीं करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती InText Questions

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 64)

प्रश्न 1.
अरशद के पास एक चतुर्भुज ABCD की पाँच माप हैं। ये माप AB = 5 cm, ∠A = 50°, AC = 4 cm, BD = 5 cm और AD = 6 cm हैं। क्या वह इन मापों से एक अद्वितीय चतुर्भुज बना सकता है? अपने उत्तर के कारण दीजिए।
उत्तर:
दिए गए आँकड़ों से वह चतुर्भुज ABCD नहीं बमा सकता है, क्योंकि दिए गए प्रश्न में चतुर्भुज ABCD के बिन्दु C को निर्धारित करने के लिए कोई भी मान नहीं दिया गया है।

पृष्ठ 66

प्रश्न (i).
हमने देखा कि एक चतुर्भुज को पाँच मापों से एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना की जा सकती है। क्या आप सोचते हैं कि चतुर्भुज की किन्हीं पाँच मापों से ऐसी रचना की जा सकती है?
उत्तर:
एक चतुर्भुज के बनाने के लिए निम्नलिखित में से किन्हीं पाँच मापों का होना आवश्यक है-
(i) जब चार भुजाएँ और एक विकर्ण दिया हुआ हो।
(ii) जब दो विकर्ण और तीन भुजाएँ दी गई हो।
(iii) जब दो आसन्न भुजाएँ और तीन कोण दिए गए
(iv) जब तीन भुजाएँ और इनके बीच के दो कोण दिए गए हों।
(v) जब अन्य विशिष्ट गुण जात हों।

प्रश्न (ii).
क्या आप एक समान्तर चतुर्भुज BATS की रचना कर सकते हैं, जिसमें BA = 5 cm, AT = 6 cm और AS = 6.5 cm हों? क्यों?
उत्तर:
दिया है-
BA = 5 cm
AT = 6 cm
AS = 6.5 cm

हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,
अत: चतुर्भुज BATS में,
BA = ST = 5 cm.
AT = BS = 6 cm.

रचना-
(i) सर्वप्रथम BA = 5 cm खींचा
(ii) बिन्दु B से 6 cm तथा बिन्दु A से 6.5 cm के चाप लगाये जो बिन्दु S पर काटते हैं।
(iii) बिन्दु से 5 cm तथा बिन्दु A से 6 cm के चाप लगाया, जो बिन्दु T पर काटते हैं।
(iv) B को S से तथा T को S और A से मिलाया। BATS अभीष्ट चतुर्भुज है।

प्रश्न (iii).
क्या आप एक समचतुर्भुज (Rhombus) ZEAL की रचना कर सकते हैं, जिसमें ZE = 3.5 cm, विकर्ण EL = 5cm है? क्यों?
उत्तर:
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। अत: चतुर्भुज ZEAL में प्रत्येक भुजा = ZE = 3.5 cm तथा विकर्ण EL = 5 cm.
अत: चतुर्भुज ZEAL की रचना की जा सकती है।

प्रश्न (iv).
एक विद्यार्थी एक चतुर्भुज PLAY की रचना करने का प्रयास करता है, जिसमें PL = 3 cm, LA = 4 cm, AY = 4.5 cm, PY = 2 cm और LY = 6 cm, है, परन्तु वह इसकी रचना नहीं कर सका। कारण बताइए।
[संकेत-एक कच्ची आकृति की सहायता से चर्चा कीजिए।
उत्तर:
यहाँ दिए गए आँकड़ों द्वारा खींची गई रफ आकृति दी गई है। इसके अनुसार,

(iv) , अत: ∆PLY की रचना सम्भव नहीं है। अतः वह रचना नहीं कर पाया।

पृष्ठ 68

प्रश्न 1.
पाठ्यपुस्तक की पृष्ठ-संख्या 68 पर दिए गए उदाहरण-2 में क्या हम पहले AABD खींचकर उसके बाद चतुर्थ बिन्दु C को ज्ञात करके चतुर्भुज की रचना कर सकते हैं?
उत्तर:
हम जानते हैं कि त्रिभुज की रचना के लिए त्रिभुज की तीन मापों का होना आवश्यक है, लेकिन प्रश्न में AABD की दो माप AD और BD दी गयी हैं। अत: इस प्रकार चतुर्भुज की रचना नहीं की जा सकती है।

प्रश्न 2.
क्या आप एक चतुर्भुज PQRS की रचना कर सकते हैं, जिसमें PQ = 3 cm, RS = 3 cm, PS = 7.5 cm, PR = 8 cm और SQ = 4 cm हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
दिए गए आंकड़ों के आधार पर चतुर्भुज PQRS की रचना नहीं कर सकते, क्योंकि AQSP नहीं बना सकते, क्योंकि

पृष्ठ 69

प्रश्न 1.
यदि हमें M पर 75° माप के स्थान पर 100° की माप दी गई हो, तो क्या आप पाठ्य-पुस्तक की पृष्ठ संख्या 68 पर दिए गए उदाहरण 3 में बताए गए चतुर्भुज MIST की रचना कर सकते हैं?
उत्तर:
हाँ, M पर 75° की माप के स्थान पर 100° की माप लेकर चतुर्भुज MIST की रचना की जा सकती है।

प्रश्न 2.
क्या आप एक चतुर्भुज PLAN की रचना कर सकते हैं, यदि PL = 6 cm, ∠A = 9.5 cm, ∠P = 75°, ∠L = 150° और ∠A = 140° हैं?
उत्तर:
क्योंकि ∠P = 75°, ∠L = 150° और ∠A = 140°
∠P + ∠L + ∠A = 75° + 150° + 140° = 365°
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।
अत: चतुर्भुज PLAN की रचना सम्भव नहीं है।

प्रश्न 3.
एक समान्तर चतुर्भुज में दो आसन्न भुजाओं की लम्बाइयाँ दी हुई हैं। क्या हमें रचना करने के लिए अभी भी कोणों की मापों की आवश्यकता है जैसा कि पाठ्य-पुस्तक के उदाहरण-3(पृष्ठ 68) में दिया है?
उत्तर:
प्रश्न में दी गई मापों से समान्तर चतुर्भुज की रचना सम्भव नहीं है। एक अद्वितीय चतुर्भुज प्राप्त करने के लिए चतुर्भुज में पाँच मापों की आवश्यकता होती है, लेकिन इस प्रश्न के अनुसार एक समान्तर चतुर्भुज की केवल दो आसन्न भुजाओं की लम्बाइयाँ दी गई हैं, अत: इस समान्तर चतुर्भुज की रचना करने के लिए कोणों की मापों की आवश्यकता है।

पृष्ठ 71

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में पृष्ठ संख्या 70 पर दिए गए उदाहरण-4 में हमने सर्वप्रथम BC रेखा खींची। इसके स्थान पर दूसरे अन्य प्रारम्भ बिन्दु और कौन-से हो सकते
उत्तर:
BC खींचने के स्थान पर रेखा AB अथवा रेखा CD से चतुर्भुज की रचना आरम्भ की जा सकती है।

प्रश्न 2.
हमने अभी तक चतुर्भुजों की रचना के लिए कोई पाँच मापों का प्रयोग किया। क्या एक चतुर्भुज की रचना करने के लिए पाँच मापों के अलग-अलग समुच्चय (अभी तक देखी गईं मापों के अतिरिक्त) हो सकते हैं?
निम्नलिखित समस्याएँ प्रश्नों के उत्तर देने में आपकी सहायता कर सकती हैं
(i) चतुर्भुज ABCD जिसमें AB = 5 cm, BC = 5.5 cm, CD = 4 cm, AD = 6 cm और ∠B = 80° हैं।
(ii) चतुर्भुज PQRS, जिसमें PQ = 4.5 cm, ∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 80° और ∠S = 110° हैं।
आप स्वयं कुछ और उदाहरणों की रचना कीजिए और एक चतुर्भुज की रचना के लिए आंकड़ों की पर्याप्तता/ अपर्याप्तता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) दिए गए आँकड़ों से चतुर्भुज की रचना हो सकती है।
(ii) दिए गए आँकड़ों से चतुर्भुज नहीं खींच सकते हैं।

प्रयास कीजिए। (पृष्ठ 72)

प्रश्न 1.
आप एक आयत PQRS की रचना कैसे करेंगे, यदि आप केवल PQ और QR की लम्बाई जानते हैं?
ज्ञात है:
आयत की भुजा PQ तथा QR की लम्बाई हम जानते हैं कि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,
अत: PQ = SR तथा QR = PS तथा ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°.

रचना-
(i) रेखा PQ खींचा।
(ii) बिन्दु P पर PS लम्बाई का तथा बिन्दु Q पर QR लम्बाई का लम्ब डाला।
(iii) S को P तथा R से तथा R को Q से मिलाया।
(iv) PORS अभीष्ट आयत है।

प्रश्न 2.
एक पतंग EASY की रचना कीजिए, यदि AY = 8 cm, EY = 4 cm और SY = 6 cm हैं (आकृति देखें)। रचना के दौरान आपने पतंग के कौन-से गुणों का प्रयोग किया है?

दिया है-
AY = 8 cm, EY = 4 cm तथा SY = 6 cm.
या AE = EY = 4 cm तथा AS = SY = 6 cm.

AO = OY ………..(i)
AY = AO + OY
⇒ AY= AO + AO […(i) से।]
⇒ AY = 2AO
⇒ 8 = 2AO
⇒ AO = = 4 cm
तथा OY = 4 cm

रचना-
(i) कोई भी उपयुक्त लम्बाई लेकर रेखा PQ खींची।
(ii) PQ पर कोई बिन्दु O लिया।
(iii) O से PQ पर OY = 4 cm तथा OA = 4 cm लम्बाई के लम्ब डाले।
(iv) बिन्दुYसे PQ पर EY = 4cm तथा SY = 6cm का चाप काटा।
(v) Y को E तथा 5 से तथा A को E तथा 5 से मिलाया।
(vi) EASY अभीष्ट पतंग है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.2

प्रश्न 1.
किसी शहर के युवा व्यक्तियों के एक समूह का यह जानने के लिए एक सर्वे किया गया कि वे किस प्रकार का संगीत पसन्द करते हैं । इनसे प्राप्त आंकड़ों को संलग्न पाई चार्ट में दर्शाया गया है । इस पाई चार्ट से अग्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

(i) यदि 20 व्यक्ति शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं, तो कुल कितने युवा व्यक्तियों का सर्वे शास्त्रीय मनोरंजन किया गया था?
(ii) किस प्रकार का संगीत सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा लोक संगीत पसन्द किया जाता है?
(iii) यदि कोई कैसेट कम्पनी 1000 सी.डी. (C.D.) बनाये, तो वह प्रत्येक प्रकार की कितनी सी.डी. बनायेगी?
हल :
शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं = 20 व्यक्ति,
परन्तु पाई चार्ट में दिया है कि संगीत पसन्दं करते हैं = 10%
माना x युवा व्यक्तियों का सर्वे किया है ।
तब, का 10% = 20
x × \(\frac { 10 }{ 100 }\) = 20
⇒ x = 20 × 100
⇒ \(\frac{20 \times 100}{10}\)
⇒ x = 200
अत: 200 व्यक्ति शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं।

(ii) सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा मनोरंजन संगीत पसन्द किया जाता है। (40%)

(iii) (a) शास्त्रीय संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{10 \times 1000}{100}\) = 100

(b) लोक संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{30 \times 1000}{100}\) = 300

(c) मनोरंजक संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{40 \times 1000}{100}\) = 400

(d) उपशास्त्रीय संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{20 \times 1000}{100}\) = 200

प्रश्न 2.
360 व्यक्तियों के एक समूह से तीन ऋतुओं- वर्षा, सर्दी और गर्मी में से अपनी मनपसन्द ऋतु के लिए मतदान करने को कहा गया । इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न चित्र में दर्शाया गया है-

(i) किस ऋत को सबसे ऋतु अधिक मत मिले ?
(ii) प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण ज्ञात कीजिए ।
(iii) इस सूचना को दर्शाने के लिए शीत एक पाई चार्ट खींचिए।
हल :
(i) शीत ऋतु को सबसे अधिक मत (150) मिले।

(iii) पाई चार्ट-

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सूचना को दर्शाने वाला एक पाई चाट खींचिए। यह सारणी व्यक्तियों के एक समूह द्वारा पसन्द किये जाने वाले रंगों को दर्शाती है-

हल :
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण ज्ञात करने की सारणी –

पाई चार्ट-

प्रश्न 4.
संलग्न पाई चार्ट एक विद्यार्थी द्वारा किसी परीक्षा में हिन्दी, अंग्रेजी, गणित, सामाजिक विज्ञान और विज्ञान में प्राप्त किये गये अंकों को दर्शाता है । यदि उस विद्यार्थी द्वारा प्राप्त किए गएं कुल अंक 540 थे, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

(i) किस विषय में उस विद्यार्थी ने 105 अंक प्राप्त किये?
(संकेत- 540 अंकों के लिए केन्द्रीय कोण 360° है।)
अत: 105 अंकों के लिए केन्द्रीय कोण क्या होगा?
(ii) उस विद्यार्थी ने गणित में हिन्दी से कितने अधिक 9 अंक प्राप्त किए ?
(iii) जाँच कीजिए कि क्या सामाजिक विज्ञान और गणित में प्राप्त किए गए अंकों का योग विज्ञान और हिन्दी में प्राप्त किये गये अंकों के योग से अधिक है।
(संकेत : केवल केन्द्रीय कोणों पर ध्यान दीजिए ।)
हल :

(i) विद्यार्थी ने हिन्दी विषय में 105 अंक प्राप्त किये ।
(ii) गणित में प्राप्तांक = 135
तथा हिन्दी में प्राप्तांक – 105
प्राप्तांकों में अन्तर = 135 – 105 = 30
गणित में हिन्दी से 30 अंक अधिक प्राप्त किये ।

(iii) सामाजिक विज्ञान तथा गणित में प्राप्तांकों का योग = 97.5 + 135 = 232.5 अंक
विज्ञान तथा हिन्दी में प्राप्तांकों का योग = 120 + 105 =225
अंक अत: सामाजिक विज्ञान तथा गणित में प्राप्त किए गए अंकों का योग हिन्दी और विज्ञान में प्राप्त किए गए अंकों के योग से अधिक है।

प्रश्न 5.
किसी छात्रावास में विभिन्न भाषाएँ बोलने वाले विद्यार्थियों की संख्या दी गई है । इन आंकड़ों को एक पाई चार्ट द्वारा प्रतिक

हल:
त्रिज्यखण्ड के केन्द्रीय कोण की सारणी-

पाई चार्ट-

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन InText Questions

पृष्ठ 73-74

प्रश्न 1.
एक चित्रालेख (pictograph) –

(i)जुलाई के महीने में कितनी कारों का उत्पादन हुआ ?
(ii)किस महीने में कारों का अधिकतम उत्पादन हुआ?
हल :
(i) जुलाई में 250 कारों का उत्पादन हुआ।
(i) सितम्बर में कारों का अधिकतम उत्पादन 400 हुआ।

प्रश्न 2.
एक-दण्ड आलेख (bar graph) :

(i) इस दंड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?
(ii) किस वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या में अधिकतम वृद्धि हुई?
(iii) किस वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम है?
(iv) बताइए कि यह सत्य है या असत्य : “2005-2006 में विद्यार्थियों की संख्या 2003-04 की संख्या की दुगुनी है।”
हल :
(i) इस दण्ड आलेख में विभिन्न शैक्षिक वर्षों में कक्षा VIII के छात्रों की संख्या दी गई है।
(i)विद्यार्थियों की संख्या में अधिकतम वृद्धि वर्ष 2004-05 में हुई।
(iii)विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम शैक्षिक वर्ष 2007-08 में है।
(iv) यह कथन असत्य है।

प्रश्न 3.
द्वि-दण्ड आलेख (double bar graph) : .

(i) इस द्वि-दण्ड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?
(ii) किस विषय में विद्यार्थी के प्रदर्शन में सबसे अधिक सुधार हुआ है?
(iii) किस विषय में प्रदर्शन में गिरावट आई है?
(vi) किस विषय में प्रदर्शन समान रहा है?
हल :
(i) वर्ष 2005-05 और 2006-07 में एक विद्यार्थी द्वारा विभिन्न विषयों में प्राप्तांकों की सूचना दण्ड आलेख में दी गई है।
(ii) विद्यार्थी के प्रदर्शन में अधिकतम सुधार गणित में हुआ है।
(iii) अंग्रेजी में प्रदर्शन में गिरावट हुई है।
(iv) हिन्दी में प्रदर्शन एक-सा रहा है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए। (पृष्ठ 75)

प्रश्न 1.
यदि हम एक-दण्ड आलेख के दण्डों में से किसी एक की स्थिति बदल दें, तो क्या प्रदर्शित जानकारी में कोई बदलाव या परिवर्तन होगा? क्यों?
हल :
नहीं, सूचना में दण्डों की स्थिति बदलने से प्रदर्शित जानकारी में कोई परिवर्तन नहीं बनेगा।

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 75)

दी हुई सूचना को निरूपित करने के लिए एक उपयुक्त आलेख खाचिए।

प्रश्न 1.

हल :
दिए गए आँकड़ों का दण्ड आलेख खींचने के लिए X-अक्ष पर महीने और Y-अक्ष पर बेची गई घड़ियों की संख्या को अंकित करेंगे। हमें 6 गणितीय आँकड़े दिए गए है, अत: हम क्षैतिज रेखा पर समान दूरी पर 6 बिन्दु लगाएँगे और इन बिन्दुओं पर समान मोटाई के आयत खींचेंगे।

प्रश्न 2.

हल :
दिए गए आँकड़ों को दण्ड आलेख द्वारा अंकित करने के लिए X-अक्ष पर पसन्द और Y-अक्ष पर बच्चों की संख्या दिखायेंगे। स्कूल A, B और C के पैदल व साइकिल से आनेवाले दोनों बिन्दुओं के आँकड़े दिए गए हैं। अत: क्षैतिज रेखा पर दो बिन्दु लेंगे तथा प्रत्येक बिन्दु पर समान चौड़ाई के तीन आयत खींचेंगे। इनकी ऊँचाई गणितीय आँकड़ों का संगत चित्रानुसार होगी।

प्रश्न 3.
8 सर्वश्रेष्ठ क्रिकेट टीमों द्वारा ODI में जीतने का प्रतिशत:

हल:
X-अक्ष पर टीम और Y-अक्ष पर उनकी जीत का प्रतिशत अंकित करते हैं। चैम्पियन ट्रॉफी से वर्ल्ड कप 2006 तक के प्रतिशत को बिन्दु अंकित रेखा से तथा 2007 में ODI के प्रतिशत को गहरी रेखा से दर्शाते हैं।

पृष्ठ 76

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह से यह बताने को कहा गया है कि वे किस पशु को सबसे अधिक घर में पालना पसन्द करेंगे। इसके परिणाम नीचे दिए गए हैं:
कुत्ता, बिल्ली, बिल्ली, मछली, बिल्ली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, कुत्ता, कुत्ता, कुत्ता, बिल्ली, गाय, मछली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, कुत्ता, बिल्ली, बिल्ली, कुत्ता, खरगोश, बिल्ली, मछली, कुत्ता।

उपर्युक्त के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल :
हम मिलान चिन्ह का प्रयोग करके आँकड़ों को बारम्बारता सारणी में रखेंगे

पृष्ठ 78

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी का अध्ययन कीजिए और उसके नीचे दिए हुए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) वर्ग-अन्तरालों की माप क्या है?
(ii) किस वर्ग की सबसे अधिक बारम्बारता है?
(iii) किस वर्ग की सबसे कम बारम्बारता है?
(iv) वर्ग-अन्तराल 250-275 की उच्च सीमा क्या है?
(v) किन दो वर्गों की बारम्बारता एक ही है?
हल:
(i) वर्ग-अन्तरालों की माप 25 है।
(ii) वर्ग 200-225 की बारम्बारता सबसे अधिक है।
(iii) वर्ग 300-325 की सबसे कम बारम्बारता है।
(iv) वर्ग-अन्तराल 250-275 की उच्च सीमा 275 है।
(v) वर्ग 150-175 और 225-250 की बारम्बारता एक जैसी है।

प्रश्न 2.
अन्तरालों 30-35, 35-40 इत्यादि का प्रयोग करते हुए एक कक्षा के 20 विद्यार्थियों के भारों (kg में) के निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए:
40, 38, 33, 48, 60, 53, 31, 46, 34, 36, 49, 41, 55, 49, 65, 42, 44, 47, 38, 39
हल :
बारम्बारता बंटन निम्नांकित प्रकार से बनेगा :

पृष्ठ 79

प्रश्न 1.
इस आयत चित्र के दण्ड़ों से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) कितने अध्यापकों की आयु 45 वर्ष या उससे अधिक है परंतु 50 वर्ष से कम है?
(ii)35 वर्ष से कम आयु वाले अध्यापकों की संख्या कितनी है?
हल :
(i) 5 अध्यापक
(ii) 35 वर्ष से कम आयु वाले अध्यापकों की संख्या = 4 + 5 + 6 = 15

पृष्ठ 80

प्रश्न 1.
आयत चित्र को देखिए और अके नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) इस आयत चित्र के द्वारा क्या सूचना दी जा रही है?
(ii) किस वर्ग में अधिकतम लड़कियाँ हैं?
(iii) कितनी लड़कियों की लम्बाई 145 cm या उससे अधिक है?
(iv) यदि हम लड़कियों को निम्नलिखित तीन श्रेणियों में विभाजित करें, तो प्रत्येक श्रेणी में कितनी लड़कियाँ होंगी?
150 cm या उससे अधिक – समूह A
140 cm या उससे अधिक परन्तु 150 cm से कम – समूह B
140 cm से कम – समूह C
हल :
(i) इस आयत चित्र के द्वारा कक्षा VII की लड़कियों की ऊँचाई (cm) के बारे में सूचना है।
(ii) 140-145 वर्ग में लड़कियाँ अधिकतम हैं।
(iii) 145 cm या उससे अधिक लम्बाई सात लड़कियों की है।
(iv) 2 + 1 = 3 लड़कियाँ समूह A के हैं।
7+ 4 = 11 लड़कियों समूह B के हैं।
1 + 2 + 3 = 6 लड़कियाँ समूह C के हैं।

पृष्ठ 83

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पाई चार्टी में से प्रत्येक (आकृति) आपकी कक्षा के बारे में एक भिन्न प्रकार की सूचना देता है। इनमें से प्रत्येक सूचना को निरूपित करने वाले वृत्त का भाग ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) पाई-चार्ट से स्पष्ट है,
लडकियों की संख्या = \(\frac{50%}{100%}\) = \(\frac{\frac{50}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{50}{100}\) = वृत्त का \(\frac{1}{2}\) भाग

लड़कों की संख्या = \(\frac{50%}{100%}\) = \(\frac{\frac{50}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{50}{100}\) = वृत्त का \(\frac{1}{2}\) भाग

(ii) पाई-चार्ट से स्पष्ट है,
पैदल आनेवालों की संख्या = \(\frac{40%}{100%}\) = \(\frac{\frac{40}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{40}{100}\) = वृत्त का \(\frac{2}{5}\) भाग

बस अथवा कार से आनेवालों की संख्या = \(\frac{40%}{100%}\) = \(\frac{\frac{40}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{40}{100}\) = वृत्त का \(\frac{2}{5}\) भाग

साइकिल से आने वालों की संख्या = \(\frac{20%}{100%}\) = \(\frac{\frac{20}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{20}{100}\) = वृत्त का \(\frac{1}{5}\) भाग

(iii) पाई-चार्ट से स्पष्ट है,
गणित पसन्द करने वाले विद्यार्थी = \(\frac{(100-15)%}{100%}\) = \(\frac{\frac{85}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{85}{100}\) = वृत्त का \(\frac{17}{20}\) भाग

गणित नापसन्द करने वाले विद्यार्थी = \(\frac{15%}{100%}\) = \(\frac{\frac{15}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{15}{100}\) = वृत्त का \(\frac{3}{20}\) भाग

प्रश्न 2.
दिए हुए पाई चार्ट के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i)किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं?
(ii) किन दो प्रकार के कार्यक्रमों को देखनेवालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखनेवालों की संख्या के बराबर है?
टी.वी. पर विभिन्न प्रकार के चैनलों को देखनेवालों की संख्या
हल :
उपर्युक्त पाई चार्ट से स्पष्ट है-
(i) मनोरंजन के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं।
(ii)समाचार और ज्ञानप्रद कार्यक्रमों को देखनेवालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखनेवालों की संख्या के बराबर है।

पृष्ठ 85

प्रश्न 1.
नीचे दिए गए आंकड़ों के लिए एक पाई चार्ट खींचिए :
एक बच्चे द्वारा एक दिन में व्यतीत किया गया समय निम्नांकित प्रकार है:
सोना – 8 घण्टे
स्कूल – 6 घण्टे
गृहकार्य – 4 घण्टे
खेल – 4 घण्टे
अन्य – 2 घण्टे
हल :
इन आँकड़ों को पाई चार्ट में दर्शाते हैं। केन्द्र पर कुल कोण 360° के तथा त्रिज्यखण्ड कोण 360° के भाग होंगे।

हम नीचे दर्शाए अनुसार पाई चार्ट बनाएँगे :

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 86)

निम्नलिखित आँकड़ों को दर्शाने के लिए किस प्रकार का आलेख उपयुक्त रहेगा ?

प्रश्न 1.
किसी राज्य के खाद्यान्न का ज्पादन :

हल :
दण्ड आलेख।

प्रश्न 2.
व्यक्तियों के एक समूह के भोजन की पसन्द :

हल :
वृत्त आलेख या पाई चार्ट।

प्रश्न 3.
किसी फैक्ट्री के श्रमिकों के एक समूह की दैनिक आय:

हल :
आयत चित्र।

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 88-89)
प्रश्न 1.
यदि आप एक स्कूटर चलाना प्रारम्भ करें, तो सम्भव परिणाम क्या हैं?
हल :
स्कूटर चलाने के सम्भावित परिणाम होंगे
(i) स्कूटर चलेगा
(ii) स्कूटर नहीं चलेगा।

प्रश्न 2.
जब एक पासे (dice) को फेंका जाता है, तो सम्भव छः परिणाम क्या है?
हल :
एक पासे को फेंकने पर सम्भावित परिणाम पासे पर अंकित 1,2,3,4,5,6 में से कोई एक होगा।

प्रश्न 3.
जब आप पहिए को घुमाएंगे,तो सम्भावित परिणाम क्या होंगे (आकृति) ? इनकी सूची बनाइए।
[यहाँ परिणाम का अर्थ है कि वह त्रिज्यखण्ड, जहाँ पर सूचक (Pointer) घुमाने पर रुकेगा।]

हल :
पहिए को घुमाने के सम्भावित परिणाम होंगे-
(i) पहिया Aत्रिज्यखण्ड पर रुक सकता है।
(ii) पहिया B त्रिज्यखण्ड पर रुक सकता है।
(iii) पहिया C त्रिज्यखण्ड पर रुक सकता है।

प्रश्न 4.
आपके पास एक थैला है और उसमें भिन्न-भिन्न रंगों की पांच एक जैसी गेंदें हैं (आकृति) आप बिना देखे इसमें से एक गेंद निकालते हैं। प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए।

हल :
एक थैला, जिसमें W, R, B,Gऔर Y गेंदें हैं। उनमें से निकलने वाली गेंद W, R, B,G और Y में से कोई एक होगी।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 89)

प्रश्न 1.
एक पासे को फेंकने पर :

• क्या पहले खिलाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग अधिक है?
• क्या उसके बाद खेलने वाले खिलाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग कम है?
• मान लीजिए कि दूसरा खिलाड़ी 6 प्राप्त कर लेता है। क्या इसका अर्थ यह है कि तीसरे खिलाड़ी द्वारा 6 प्राप्त करने का कोई संयोग नहीं है?

हल :
जब हम पासे को अनेकों बार फेंकते हैं, तो प्रत्येक बार 1 अथवा 2 अथवा 3 अथवा 4 अथवा 5 अथवा 6 में से 6 प्राप्त करने की सम्भावना समान अर्थात् 1/6 रहती है। इसलिए प्रत्येक खिलाड़ियों की दशा में 6 प्राप्त करने का संयोग समान है।

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 91)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि आप पहिए को घुमाते हैं-

(i) इस पहिए पर एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या और हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त न होने के परिणामों की संख्या लिखिए।
(ii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(iii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दिए गए पहिए में एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या = 5
और एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त नहीं करने के परिणामों की संख्या = 3
(ii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता = = \(\frac{5}{8}\)
(iii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त नहीं होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.4

प्रश्न 1.
बताइए, कश्चन सत्य हैं या असत्य
(a) सभी आयत वर्ग होते हैं ।
(b) सभी सम चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज होते हैं ।
(c) सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं ।
(d) सभी वर्ग समान्तर चतुर्भुज नहीं होते हैं ।
(e) सभी पतंगें सम चतुर्भुज होती हैं ।
(f) सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं ।
(g) सभी समान्तर चतुर्भुज समलम्ब होते हैं ।
(h) सभी वर्ग समलम्ब होते हैं ।
हल :
(a) असत्य
(b) सत्य
(c) सत्य
(d) असत्य
(e) असत्य
(f) सत्य
(g) सत्य
(h) सत्य

प्रश्न 2.
उन सभी चतुर्भुजों की पहचान कीजिए, जिनमें-
(a) चारों भुजाएँ समान लम्बाई की हो ।
(b) चार समकोण हो ।
हल : (a) समचतुर्भुज और वर्ग →
(b) वर्ग और आयत →

प्रश्न 3.
बताइए कैसे एक वर्ग –
(i) एक चतुर्भुज
(ii) एक समान्तर चतुर्भुज
(iii) एक सम चतुर्भुज
(iv) एक आयत है।
हल :
(i) एक वर्ग में चार भुजाएँ होती हैं।
(ii) एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं ।
(iii) एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं तथा विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ।
(iv) एक वर्ग के सभी कोण समकोण होते हैं ।

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज का नाम बताइए जिसके विकर्ण :
(i) एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हों,
(ii) एक दूसरे पर लम्ब-समद्विभाजक हों,
(iii) बराबर हो ।
हल :
(i) समान्तर चतुर्भुज, सम चतुर्भुज, वर्ग, आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।
(ii) समचतुर्भुज और वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को लम्ब-समद्विभाजित करते हैं ।
(iii) वर्ग और आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रश्न 5.
बताइए एक आयत उत्तल चतुर्भुज है।
हल :
किसी आयत में जब हम इसके बिन्दुओं को मिलाते हैं, तो इसके दोनों विकर्ण अभ्यतंर में स्थित होते हैं तथा इसके प्रत्येक कोण 180° से कम होते है।

प्रश्न 6.
ABC एक समकोण त्रिभुज है। ‘0’ समकोण की सम्मुख भुजा का मध्यबिन्दु है । बताइए कैसे ‘0’ बिन्दु A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है ? (बिन्दुओं में चिह्नित अतिरिक्त भुजाएं आपकी सहायता के लिए खींची गई हैं।)
हल :

AD || BC तथा AB || CD की रचना की ।
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।
∴ OA = OB = OC.
अत: O, बिन्दु A, B तथा C से समान दूरी पर है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3

प्रश्न 1.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किये गये गुण द्वारा पूरा कीजिए।

(i) AD = ……………….
(ii) ∠DCB = ………..
(iii) OC = ………….
(iv) m ∠DAB + m ∠CDA = …………
हल :
(i) AD = BC (∵ समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं ।)
(ii) ∠DCB = ∠DAB (∵ समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं ।)
(iii) OC = OA (∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण । एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।)
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 180°. (∵ समान्तर चतुर्भुज में दो आसन्न अन्तःकोणों का योग 180° होता है।)

प्रश्न 2.
निम्नांकित समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात के मानों को ज्ञात कीजिए:

हल :
(i) समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं।
अत: ∠D = ∠B तथा ∠A = ∠C
∴ y = 100°

समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग = 180° होता है ।
∴ ∠A + ∠B = 180°
z + 100° = 180°
z = 180° – 100° = 80°
∴ z = 80°

परन्तु. ∠C = ∠A
∴ x = 80°
अतः x = 80°, y = 100° तथा z = 80°

(ii) समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
∴ 50° + x = 180°
∴ x = 180°- 50° = 130°

अतः ∠x = 130°
परन्तु ∠x = ∠y
∠y = 130° (संगत कोण हैं)

तथा ∠x = ∠z
∠z = 130°
अतः x = 130°, y = 130° तथा z = 130°

(iii) ∠AOB = ∠COD शीर्षाभिमुख कोण है

90° = x
∴ x = 90°
∵ x + y + 30° = 180° (∵ ∆ COD के अन्त:कोणों का योग = 180° है)
⇒ 90° + y + 30° = 180°
⇒ y + 120° = 180°
⇒ y = 180° – 120° = 60°
∴ y = 60°
∵ एकान्तर कोण, y = z
∴ z = 60°
अतः x = 90°, y = 60° तथा z = 60°

(iv) समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं ।

∴ ∠D = ∠B
∠D = 80°
अत: आसन्न अन्त:कोण हैं।
परन्तु, ∠A + ∠B = 180°
x + 80° = 180°
∴ x = 180°- 80° = 100°
अत: x = 100°

∵ AB || CD
z = ∠B (संगत कोण).
∴ z = 80°
अतः x = 100°, y = 80° तथा z = 80°

(v)
∵ ∠D = ∠B
∴ y = 112°
परन्तु, ∆ ACD में,
⇒ x + y + 40° = 180°
⇒ x + 112° + 40° = 180°
⇒ x + 152° – 180°
∴ x = 180° – 152° = 28°
अत: x = 28°

∵ CD || AB तथा AC तिर्यक् रेखा है
∴ x = z (एकान्तर कोण)
28° = z
∴ z = 28°
अतः x = 28°, y = 112° तथा z = 28°

प्रश्न 3.
क्या एक चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज हो सकता है, यदि:
(i) ∠D + ∠B = 180° ?
(ii) AB = DC = 8 सेमी, AD = 4 सेमी और BC = 4.4 सेमी ?
(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65° ?
हल :
(i) ∠D+ ∠B = 180° वर्ग में यह कथन सत्य है, क्योंकि वर्ग के प्रत्येक अन्त:कोण का मान 90° होता है, परन्तु अन्य समान्तर चतुर्भुज में सम्भव नहीं है।

(ii) यह समान्तर चतुर्भुज नहीं हो सकता है: क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती है।
लेकिन यहाँ, AD ≠ BC

(iii) नहीं, क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं।
अत: यहाँ ∠A ≠ ∠C.

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए, जो समान्तर चतुर्भुज न झे, परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों की माप बराबर हो ।
हल :

पतंग ABCD में,
AB = AD तथा CB = CD है|
यह पतंग ABCD समान्तर चतुभुज नहीं है।
लेकिन, ∠ABC = ∠ADC
अतः इसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

प्रश्न 5.
किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है । समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है-दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है।
अत: दो आसन्न कोण 3x तथा 2x हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
∵ ∠A + ∠B = 180°
⇒ 3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
x = \(\frac { 180° }{ 5 }\)
अतः ∠A = 3x = 3 × 36° = 108°
तथा ∠B = 2x = 2 × 36° = 72°

∵ समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते है।
अत: ∠C = ∠A = 108° तथा ∠D = ∠B = 72°
अत: ∠A= 108°, ∠B = 72°, ∠C= 108° तथा ∠D = 72°

प्रश्न 6.
किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर है। इस चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं ।
∠A = ∠C
और ∠B = ∠D

∵ समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है ।
∵ ∠A + ∠B = 180°

परन्तु, ∠A = ∠B
∠A + ∠A = 180°
∠2A = 180°
∠A = \(\frac{180°}{2}\) = 90°
अत: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
अतः प्रत्येक कोण 90° का होगा ।
अत: हम कह सकते हैं कि यह समान्तर चतुर्भुज, एक आयत या वर्ग होगा ।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति HOPE एकसमान्तर चतुर्भुज है। और कोणों की माप ज्ञात कीजिए । ज्ञात करने में प्रयोग किये गये गुणों को बताइए।
हल :
HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है।
∆ HOP में,
∠HOP = 180° – 70° = 110°
अत: ∠HOP = 110°
समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

अत: ∠EHO + ∠HOP = 180°
40° + z + 110° = 180°
150° + z = 180°
∠z = 180°- 150° = 30°
∠z = 30°

अब, AHOP में,
∠z + ∠y + ∠HOP = 180°
30° + ∠y + 110° = 180°
140° + ∠y = 180°
∠y = 180°- 140°- 40°
∠y = 40°

अब, समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∠HEP = ∠HOP
∠x = 110°
अतः ∠x = 110°
∠y = 40°, ∠z = 30°

प्रश्न 8.
निम्नांकित आकृतियों GUNS और RUNS समान्तर चतुर्भुज हैं । तथा । ज्ञात कीजिए । (लम्बाई cm में )-

हल :
(i)GUNS एक समान्तर चतुर्भुज है । समान्तर चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजाएँ समान होती है। अत: GU = SN अत: 3y-1326
अतः ∴ GU = SN
अतः 3y – 1 = 26
⇒ 3y = 26 + 1
⇒ 3y = 27
⇒ y = \(\frac{27}{3}\) = 9
∴ y = 9

तथा 3x = 18
⇒ x = \(\frac{18}{3}\)
∴ x = 6
अत: x = 6 तथा y = 9

(ii) RUNS एक समान्तर चतुर्भुज हैं । समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।
अतः OS = OU
तथा OR = ON
OS = OU
⇒ y + 7 = 20
⇒ y = 20 – 7
∴ y = 13

अब, ON = OR
⇒ x + y = 16
⇒ x + 13 = 16
⇒ x = 16 – 13
∴ x = 3
अत: x = 3 तथा y = 13

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज है,* का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
RISK तथा CLUE समान्तर चतुर्भुज हैं।

(i) समान्तर चतुर्भुज RISK में,
∠K + ∠S = 180°
⇒ 120° + ∠S = 180°
⇒ ∠S = 180°- 120° = 60°
अत: ∠S = 60°

अब, समान्तर चतुर्भुज CLUE में,
हम जानते हैं कि सम्मुख कोण समान होते हैं ।
∴ ∠L = ∠E
∴ ∠E = 70°

∆EOS में,
∆ के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠E + ∠O + ∠S = 180°
⇒ 70° + x + 60° = 180°
⇒ 130° + x = 180°
⇒ ∠x = 180° – 130° = 50°
अतः x = 50°

प्रश्न 10.
बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समान्तर 80 हैं?

हल :
समलम्ब में, अन्तः आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
अत: ∠M + ∠L = 180°
⇒ 100° + 80° = 180°
∴ 180° = 180°
इसलिए, KLMN एक समलम्ब है ।
⇒ \(\overline{\mathrm{NM}}\) || \(\overline{\mathrm{KL}}\).

प्रश्न 11.
निम्न आकृति में m∠C ज्ञात कीजिए, यदि \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DC}}\).

हल :
दिया है, AB || DC
अतः, आसन्न अन्त:कोणों का योग = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180°
⇒ 120°+ ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 120° = 60°
अतः ∠C = 60°.

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में s ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात | कीजिए । यदि \(\overline{\mathrm{SP}}\).\(\overline{\mathrm{RQ}}\) है । (यदि आप m∠R ज्ञात करते है, तो क्या m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है।)

हल :
दिया है, SP || RQ. अत: अन्तः आसन्न कोणों का योग = 180°
∴ ∠P + ∠Q = 180°
⇒ ∠P + 130° = 180°
⇒ ∠P = 180° – 130° = 50°
∴ ∠P = 50°

अब, ∠R + ∠S = 180°
∠S + 90° = 180°
∠S = 180° – 90° = 90°
∠S = 90°
अत:, ∠P = 50° तथा ∠S = 90°

हाँ, m∠P ज्ञात करने की अन्य विधि भी है।
∴ चतुर्भुज में चारों कोणों का योगफल 360° होता है।
m∠P + m∠Q + m∠R + m∠S = 360°
⇒ m∠P + 130° + 90° + 90° = 360°
⇒ m∠P = 360° – 310°
∴ m∠P= 50°

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों में x का मान ज्ञात कीजिए-

हल :
(a) बहुभुज के बाह्य कोणों का योग = 360°
∴ ∆ABC में,

125° + 125° + x = 360°
250° + x = 360°
∴ x = 360° – 250° = 110°
अतः x = 110°

(b) ABCDE एक पंचभुज है।

दिया है, अन्त:कोण, ∠B = 90°
बाह्य कोण, ∠B = 90°
बाघ कोण, ∠D = 90°
बहुभुज के बाझ कोणों का योग = 360°
अत: x + 90° + 60° + 90° + 70° = 360°
⇒ x +310° = 360°
⇒ x = 360°- 310° = 50°
∴ x = 50°

प्रश्न 2.
एक समबहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप ज्ञात कीजिए, जिसकी-
(i) भुजाएँ
(ii) 15 भुजाएँ हों।
हल :
भुजाओं वाले एक समबहुभुज के प्रत्येक कोण की माप = 360°
(i) n = 9, प्रत्येक बाह्य कोण की माप = \(\frac{360°}{9}\) = 40°

(ii) n = 15, प्रत्येक बाह्य कोण की माप = \(\frac{360°}{15}\) = 24°

प्रश्न 3.
एक समबहुभुज की कितनी भुजाएं होंगी, यदि एक बाह्य कोण की माप 24° हो ?
हल :
भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप = 360°
अतः
24° = \(\frac{360°}{n}\)

कैंची गुणा करने पर,
24°n = 360°
∴ n = \(\frac{360°}{24}\) = 15
अतः भुजाओं की संख्या, n = 15

प्रश्न 4.
एक समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि इसका प्रत्येक अन्त:कोण 165 का हो।
हल :
हम जानते हैं कि n भुजाओं वाले समबहुभुज के प्रत्येक अन्त:कोण का मान =\(\frac{(n-2) \times 1800^{\circ}}{n}\)
अतः \(\frac{(n-2) \times 1800^{\circ}}{n}\) = \(\frac{165}{1}\)

कैंची गुणा करने पर, 180°n – 360° = 165°n
पक्षान्तरण करने पर, 180°n – 165°n = 360°
15°n = 360°
∴ n = 24°
अतः समबहुभुज की भुजाओं की संख्या, n = 24

प्रश्न 5.
(a) क्या ऐसा समबहुभुज सम्भव है, जिसके. प्रत्येक बाह्य कोण की माप 22 हो ?
(b) क्या यह किसी समबहुभुज का अन्तःकोण हो सकता है? क्यों ?
हल :
(a) n भुजाओं वाले समबहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप \(\frac{360°}{n}\)
\(\frac{22°}{1}\) = \(\frac{360°}{n}\)

कैंची गुणा करने पर, 22°n = 360°
∴ n = \(\frac{360°}{22}\) = \(\frac{180°}{24}\)

लेकिन भुजाओं की संख्या कभी भिन्न में सम्भव नहीं है।
अतः ऐसा समबहुभुज सम्भव नहीं है, जिसका प्रत्येक बाह्य कोण 22° का हो ।

(b) n भुजाओं वाले समबहुभुज के प्रत्येक अन्त:कोण की माप = \(\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}\)
अत: \(22^{\circ}=\frac{(n-2) 180^{\circ}}{n}\)
⇒ \(\frac{22^{\circ}}{1}=\frac{180^{\circ} n-360^{\circ}}{n}\)
कैंची गुणा करने पर, 180°n – 360° = 22°n
पक्षान्तरण करने पर, 180°n – 22°n = 360°
⇒ 158°n = 360°
⇒ n = \(\frac{360°}{158°}\) = \(\frac{180°}{79°}\)

अतः n = \(\frac{180°}{79°}\)
अत: यह भी सम्भव नहीं है, क्योंकि भुजाओं की संख्या भिन्न में नहीं हो सकती है।

प्रश्न 6.
(a) किसी समबहुभुज में कम-से-कम कितने अंश का अन्तःकोण सम्भव है ? क्यों ?
हल :
समबहुभुज में कम-से-कम 3 भुजाएँ होनी चाहिए। अत: कम-से-कम अंश का अन्त:कोण
\(\frac{(3-2) \times 180^{\circ}}{3}\) = \(\frac{1 × 180°}{3}\) = 60°
अतः सम्भव अन्त:कोण = 60°

(b) किसी समबहुभुज में अधिक-से-अधिक कितने अंश का बाह्य कोण सम्भव है?
हल :
कम-से-कम अंश का अन्त:कोण = 60°
इसलिए, ज्यादा-से-ज्यादा अंश का बाह्य कोण = 180° – 60° = 120°

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.1

प्रश्न 1.
यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं-

प्रत्येक का वर्गीकरणं निम्नलिखित आधार पर कीजिए
(a) साधारण वक्र
(b) साधारण बंद वक्र
(c) बहुभुज
(d) उत्तल बहुभुज
(e) अवतल बहुभुज
हल :
(a) साधारण वक्र – 1, 2, 5, 6, 7
(b) साधारण बन्द वक्र – 1, 2, 5, 6, 7
(c) बहुभुज – 1, 2, 4
(d) उत्तल बहुभुज – 2
(e) अवतल बहुभुज – 1, 4.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं
(a) एक उत्तल चतुर्भुज
(b) एक समषड्भुज
(c) एक त्रिभुज
हल :
(a) एक उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं।

(b) एक समषड्भुज में 9 विकर्ण होते हैं।

(c) त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं होता है ।

प्रश्न 3.
उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योगफल क्या है ? यदि चतुर्भुज उत्तल न हो, तो क्या यह गुण लागू होगा?
हल :

ABCD एक उत्तल चतुर्भुज है और B तथा D को मिलाते हैं। हमें दो त्रिभुज, ∆ABD, तथा ∆BCD प्राप्त होते हैं।
एक त्रिभुज के अन्तःकोषों का योग = 180°
इसी प्रकार दूसरे त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग = 180°
अत: दोनों त्रिभुजों के अन्त:कोणों का योग = 180° + 180° = 360°
अत: उत्तल चतुर्भुज ABCD के कोणों का योग = 360°

अब माना, PQRS एक अवतल चतुर्भुज है । P और R को मिलाते हैं।
हमें दो त्रिभुज, ∆PQR तथा ∆PRS प्राप्त होते हैं ।
अब ∆PQR के कोणों का योग = 180°
तथा ∆PRS के कोणों का योग = 180°
अतः अवतल चतुर्भुज के कोणों का योग, = 180° + 180° = 360°
अत:, यदि चतुर्भुज उत्तल न हो, तो भी यह गुण लागू होता है ।

प्रश्न 4.
तालिका की जाँच कीजिए : (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बाँटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए ।)

एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो?
(a) 7
(b) 8
(c) 10
(d) n
हल :
(a) बहुभुज के कोणों का योग = (n – 2) × 180°
n = 7, कोणों का योग = (7 – 2) × 180° = 5 × 180°
अतः योग = 900°

(b) n = 8, कोणों का योग = (8 – 2) × 180°
= 6 × 180° = 1080°
अतः योग = 1080°

(c) n = 10, कोणों का योग = (10 – 2) × 180°
= 8 × 180° = 1440°
अत: योग = 1440°

(d) n = n, कोणों का योग = (n – 2) × 180°

प्रश्न 5.
सम बहुभुज क्या है? एक सम बहुभुज का नाम बताइये, जिसमें-
(i) 3 भुजाएँ
(ii) 4 भुजाएँ
(iii) 6 भुजाएं हों।
हल :
सम बहुभुज-वह बहुभुज, जिसकी सभी भुजाएँ. एवं सभी कोण समान होते हैं, उसे सम बहुभुज कहते हैं ।
(a) 3 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम-समबाहु त्रिभुज
(b) 4 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम-वर्ग
(c) 6 भुजाएँ वाले सम बहुभुज का नाम-समषट्भुज

प्रश्न 6.
निम्नलिखित आकृतियों में (कोणों की माप) ज्ञात कीजिए

हल :
(a) ABCD एक चतुर्भुज है, जिसके चारों कोणों का योग = 360°

अतः ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D = 360°
⇒ 50° + 130° + 120° + x = 360°
⇒ 300° + x = 360°
⇒ x = 360° – 300 = 60°
अत: , x = 60°

(b) चतुर्भुज ABCD के अन्त:कोण का मान अन्त:कोण ∠A = 180° – 90° = 90°
अत: ∠A = 90°

अब, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
90° + 60° + 70° + x = 360°
⇒ 220° + x = 360°
x = 360° – 220° = 140°
अतः x = 140°

(c) अन्त:कोण ∠A= 180° – 70°
∠A = 110°

अन्त:कोण ∠E = 180° – 60°
∠E = 120°
A अब, पंचभुज ABCDE के अन्त:कोणों का योग = (n – 2) × 180°
= (5 – 2) × 180° = 3 × 180° = 540°

अत: ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D + ∠E = 540°
⇒ 110° + x + 30 + x + 120° = 540°
⇒ 2x + 260° = 540°
⇒ 2x = 540° – 260°
⇒ 2x = 280°
∴ x = \(\frac{280}{2}\) = 140°
अत: x = 140°

(d) ABCDE एक समपंचभुज है।
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = x
समपंचभुज के कोणों का योग = (5 – 2) × 180°
= 3 × 180°
= 540°

∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540
⇒ x + x + x + x = 540°
5x = 540°
∴ x = \(\frac{540°}{5}\) = 108°

अतः x = 108°

प्रश्न 7.
(a) x + y + z ज्ञात कीजिए।

(b) x + y + z + w ज्ञात कीजिए।

हल :
(a) बहुभुज के बा कोणों का योग = 360°
x, y, z, बहिष्कोण हैं ।
x + y + z = 360°

(b) बाह्य कोणों का योग = 360°
x, y, z, w बहिष्कोण हैं।
x + y + z + w = 360°