Author name: Bhagya

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 15 प्रायिकता Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 15 प्रायिकता

→ गणित की एक शाखा, जिसे ‘प्रायिकता का सिद्धांत’ (Theory of Probability) कहते हैं, में अनिश्चितता के मापन का प्रावधान है। इस सिद्धांत में हम ऐसी स्थितियों (या प्रयोगों या घटनाओं पर ध्यान देते हैं जिनमें कोई विशेष परिणाम निश्चित नहीं होता है, किंतु वह अनेक संभाव्य परिणामों में से एक हो सकता है।

→ किसी घटना E की प्रायिकता, जिसे P (E) से दर्शाते हैं, निम्न सूत्र से प्राप्त होती है :

→ किसी घटना के घटने की प्रायिकता 0 से 1 के बीच (जिसमें 0 व 1 सम्मिलित हैं) होती है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी

→ आंकड़े एक निश्चित उद्देश्य से एकत्रित किए गए तथ्यों या अंकों को आंकड़े कहा जाता है।

→ सांख्यिकी : सांख्यिकी अध्ययन का वह क्षेत्र है जिसमें आंकड़ों के प्रति प्रस्तुतिकरण, विश्लेषण तथा निर्वचन पर विचार किया जाता है।

→ सांख्यिकी आंकड़ों का निरूपण सांख्यिकी आंकड़ों को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित प्रकार के आलेखों या आरेखों का उपयोग किया जाता है-

• आयत-चित्र,
• बारंबारता बहुभुज,
• बारंबारता वक्र,
• दंड आरेख,
• चित्रालेख,
• पाइ चार्ट या वृत्तीय आरेख ।

→ अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्य (समांतर माध्य) : सांख्यिकी आंकड़ों का आदर्श मापक ‘माध्य’ होता है क्योंकि माध्य अथवा औसत ज्ञात करने के लिए सभी आंकड़ों को निरूपित किया जाता है। इसे द्वारा प्रकट किया जाता है तथा प्राप्त आंकड़ों का माध्य सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर ज्ञात किया जाता है। यदि n प्रेक्षण x₁, x₂, x₃,…… x_n हो तो
माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots \ldots \ldots+x_n}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\)

→ अवर्गीकृत आंकड़ों के माध्य का परिकलन : इसकी निम्नलिखित दो विधियां हैं-
(a) प्रत्यक्ष विधि : यदि चर x के x₁, x₂, x₃, ……….. x_n अलग-अलग मान हों तथा इनकी संगत बारंबारता f₁, f₂, f₃, ………f_n हो तो
माध्य (\(\bar{x}\)) = \(=\frac{f_1 x_1+f_2 x_2+f_3 x_3+\ldots \ldots \ldots}{f_1+f_2+f_3+\ldots \ldots \ldots}=\frac{\sum_{i=1}^n f_i x_i}{\sum_{i=1}^n f_i}\)

(b) कल्पित माध्य विधि : यदि बारंबारताएं अधिक हों तो गणना कठिन हो जाती है, और तब इस विधि का प्रयोग करते हैं। इस विधि में हम एक स्वेच्छ अचर मान ‘a’ को लेते हैं । (ध्यान रहे कि ‘a’ का मान x का वह मान लेना चाहिए, जो बंटन के मध्य भाग में हो।) ‘a’ के मान को x में से घटाते जाते हैं। घटाने पर प्राप्त मान (x – a) को विचलन मान ‘d’ कहते हैं अर्थात d_i = x_i – a
तो माध्य \(\bar{x}\) = a + \(\bar{d}\), जहां \(\bar{d}=\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
कभी-कभी प्राप्त विचलनों d_i को एक अचर h से भाग देते हैं तथा मान u_i प्राप्त होता है।

→ माध्यक : सबसे मध्य वाले प्रेक्षण का मान माध्यक कहलाता है। यदि n विषम संख्या है, तो माध्यक = \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) वें प्रेक्षण का मान यदि ” सम संख्या है, तो माध्यक = \(\left(\frac{n}{2}\right)\) वें और \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\) वें प्रेक्षणों के मानों का माध्य।

→ बहुलक सबसे अधिक बार आने वाले प्रेक्षण का मान बहुलक कहलाता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Notes Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Notes.

Haryana Board 9th Class Maths Notes Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

→ बिंदु – एक बिंदु (Point) वह है, जिसका कोई भाग नहीं होता।

→ एक रेखा (Line) चौड़ाई रहित लंबाई होती है।

→ एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं ।

→ एक सीधी रेखा ऐसी रेखा है, जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सपाट रूप से स्थित होती है।

→ एक पृष्ठ (Surface) ऐसा पृष्ठ है, जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

→ पृष्ठ के किनारे (Edges) रेखाएँ होती हैं।

→ एक समतल पृष्ठ (Plane surface) ऐसा पृष्ठ है, जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

→ यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत हैं-

• वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
• वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
• पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
• एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं।
• एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

→ यूक्लिड की अभिधारणाएँ निम्नलिखित थीं-

• एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
• एक सांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
• किसी बिंदु को केंद्र मानकर और किसी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
• सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
• यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं, जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 5 Arithmetic Progressions Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 5 Arithmetic Progressions

Introduction
We must have observed that in nature, many things follow a certain pattern, such as the petals of a sunflower, the grains on a maize cob, the holes of a honeycomb, the spirals on a pineapple etc.

Many times we come across certain specific patterns of numbers, e.g.
3, 6, 9, 12, 15, 18, ……..
9, 16, 25, 36, 49, ……..
2, 4, 6, 8, 10, 12, ……..
– 60, – 50, – 40, – 30, – 20, …….. etc.
These patterns are generally known as sequences. Hence, a sequence may be defined as an arrangement of numbers in some definite order and according to some rule.
The various numbers appearing in a sequence are called its terms. For example, in the first sequence 3 is the first term, it is denoted by a₁, 6 is the second term, it is denoted by a₂, 9 is the third term, it is denoted by a, and so on.
Generally, we denoted the terms of a sequence by a₁, a₂, a₃, a₄, …… etc. or x₁, x₂, x₃, x₄, …….. etc.

In general, the number at the place is called the n^th term of the sequences and it is denoted by an is also called the general term of the sequence. In this chapter, we shall study special type of sequence in which succeeding terms are obtained by adding, a field number to the preceding terms.

Arithmetic Progressions
Consider the following patterns :
1. 1, 2, 3, 4, 5, …..
2. 10, 20, 30, 40, 50, ….
3. 90. 80. 70. 60. 50 ……
4. -10.5, -11, -11.5, -12, -12.5, …
Each of the numbers in the pattern is called a term.
We observe that:
In Pattern (1) : each term is 1 more than the term preceding it.
In Pattern (2) : each term is 10 more than the term preceding it.
In Pattern (3) : each term is 10 less than the term preceding it.
In Pattern (4) : each term is 0.5 less than the term preceding it.
So, an arithmetic progression is a list of numbers in which each term is obtained by adding or subtracting a fixed number to the preceding term except the first term.
The fixed number is called the common difference of the AP. It is denoted by d. It can be positive, negative or zero.
So, d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = ….. = a_n – a_n-1
Therefore, the AP with first term a and common difference d is:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …
In other words, sequence a₁, a₂, a₃, …… a_n… is called an arithmetic progression is the difference of a term and preceding term is always constant. This constant is called the common difference of the AP.
Finite AP : An AP containing finite number of terms is called finite AP.
Infinite AP : An AP containing infinite number of terms is called infinite AP.
If a, b, c are in AP, then \(\frac{a+c}{2}\) and b is called arithmetic mean of a and c.

n^th Term of an AP
n^th term of an AP from the start
Let a₁, a₂, a₃, a₄, …… be an AP whose first term is a1 and the common difference is d.
Then a₁ = a = a + (1 – 1)d ……(1)
a₂ = a + d = a + (2 – 1)d … (2)
a₃ = a₂ + d
= (a + d) + d
= (a + 2d)
= a + (3 – 1)d …..(3)
a₄ = a₃ + d
= (a + 2d) + d
= a + 3d
= a + (4 – 1)d ……(4)
Observing the pattern in equations (1), (2), (3), (4), we find that : a_n = a + (n – 1)d
So, the n^th term a_n of the AP with first terma and common difference is given by :
an = a + (n – 1)d
If there are m terms in the AP then am represents the last term which is also denoted by l.
n^th Term of an AP from the end.
(1) If there are m terms in an AP whose first term is a and common difference is d, then
n^th term from the end = a + (m – n)d
(2) If l is the last term of the AP then, n^th term from the end is the n^th term of an AP whose first term is l and common difference is – d.
n^th term from the end = last term + (n – 1) (n – d)
= l – (n – 1)d

Sum of first n terms of an AP
Let a₁, a₂, a₃, …… be an AP whose first term a and common difference is d. Then
a₁ = a, a₂ = a + d, a₃ = a + 2d, a₄ = a + 3d, …… a_n = a + (n – 1)d.
Now, S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + … + a_n-1 + a_n
⇒ S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… [a + (n – 2)d] + [a + (n – 1)d] … (1)
Writing the above series in reverse order, we get
S_n = a + [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] + …… + (a + d) + a …(2)
Adding the corresponding terms of equation (1), and (2), we get
⇒ 2S_n = a + [a + (n – 1)d] + (a + d) + [a + (n – 2d] + … + [a + (n – 1) d] + a
⇒ 2S_n = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] + … + [2a + (n – 1)d]
∵ 2a + (n – 1)d repeats n times.
∴ 2S_n = n[2a + (n – 1)d]
⇒ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
Now, if l is the last term n^th term = n^th term = a + (n – 1)d.
Then
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + a + (n − 1)d]
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
Hence, the sum of the first n terms of AP is given by :
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
or S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
where l = last term.
Important Results:
(i) Three numbers in AP considered as (a – d), a, (a + d).
(ii) Four numbers in AP considered as (a – 3d), (a – d), (a + d), (a + 3d).
(iii) Five numbers in AP considered as (a – 2d), (a – d), a, (a + d), (a + 2d).

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 12 हीरोन सूत्र Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 12 हीरोन सूत्र

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 40 m, 24 m व 32 m हों।
हल :
यहाँ पर
a = 40 m, b = 24 m, c= 32 m
∴ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{40+24+32}{2}=\frac{96}{2}\) = 48 m.
हीरोन के सूत्र द्वारा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{48(48-40)(48-24)(48-32)}\) m²
= \(\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16}\) m²
= \(\sqrt{6 \times 8 \times 8 \times 6 \times 4 \times 4 \times 2 \times 2}\) m²
= 6 × 8 × 4 × 2 = 384 m²

प्रश्न 2.
10 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :
यहाँ पर
a = 10 cm, b = 10 cm, c = 10 cm
∴ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+10+10}{2}=\frac{30}{2}\) = 15 cm
हीरोन के सूत्र द्वारा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)}\) cm²
= \(\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5}\) cm²
= \(\sqrt{3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}\) cm²
= 5 × 5 × √3 cm² = 25√3 cm²

प्रश्न 3.
एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120 m, 80 m और 50 m हैं (देखिए आकृति)। एक मालिन धनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अंदर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है ? एक ओर 3m चौड़े एक फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर ₹ 20 प्रति मीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
a = 120m, b = 80 m, c = 50 m

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{120+80+50}{2} \mathrm{~m}=\frac{250}{2} \mathrm{~m}\)
= 125 m
घास उगाने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{125(125-120)(125-80)(125-50)}\) m²
= \(\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}\) m²
= \(\sqrt{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5 \times 5}\) m²
= 5 × 5 × 5 × 3 \(\sqrt{3 \times 5}\) m²
= 375√15 m²
पार्क का परिमाप = a + b + c = 120 + 80 + 50 = 250 m
बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई = परिमाप – फाटक की लंबाई
= 250 m – 3 m
= 247 m
अतः बाड़ लगाने के लिए कुल व्यय = 20 × 247 = ₹ 4940.

प्रश्न 4.
किसी त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है। उसका परिमाप 300 cm है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :
यहाँ पर त्रिभुज की भुजाओं का अनुपातa : b : c= 3 : 5 : 7
अनुपाती योग = 3 + 5 + 7 = 15
a = \(\frac{3}{15}\) × 300 = 60 cm
b = \(\frac{5}{15}\) × 300 = 100 cm
c = \(\frac{7}{15}\) × 300 = 140 cm
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{300}{2}\) = 150 cm
अतः हीरोन के सूत्र द्वारा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)}\) cm²
= \(\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}\) cm²
= \(\sqrt{2 \times 3 \times 5 \times 5 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 2 \times 5 \times 5 \times 2 \times 5}\) cm²
= 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 5 × √3 = 1500√3 cm²

प्रश्न 5.
कमला के पास 240 m, 200 m और 360 m भुजाओं वाला एक त्रिभुजाकार खेत है, जहाँ वह गेहूँ उगाना चाहती है। इसी खेत से संलग्न 240 m,320 m और 400 m भुजाओं वाला एक अन्य खेत है, जहाँ वह आलू और प्याज उगाना चाहती है (देखिए आकृति)। उसने इस खेत की सबसे लंबी भुजा के मध्य-बिंदु को सम्मुख शीर्ष से जोड़कर उसे दो भागों में विभाजित कर दिया। इनमें से एक भाग में उसने आलू उगाए और दूसरे भाग में प्याज उगाए। गेहूँ, आलू और प्याज के लिए कितने-कितने क्षेत्रफलों (हेक्टेयर में) का प्रयोग किया गया है ? (1 हेक्टेयर = 10000 m² है)
हल :

माना ABC वह खेत है, जहाँ गेहूँ उगाया गया है।
साथ ही, ACD वह खेत है जिसकी भुजा AD के मध्य-बिंदु E को C से जोड़कर इस खेत को दो भागों में विभाजित करती है।
∆ABC के लिए
a = 200 m, b = 240 m, c = 360 m
अतः s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{200+240+360}{2} \mathrm{~m}\) = 400 m
इसलिए गेहूँ उगाने के लिए क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{400(400-200)(400-240)(400-360)}\) m²
= \(\sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40}\) m²
= 16000 √2 m²
= 1.6 × √2
= 1.6 × 1.41 हेक्टेयर
= 2.26 हेक्टेयर (लगभग)

अब, ∆ACD के लिए =
a = 240 m, b = 320m, c = 400 m
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{240+320+400}{2} \mathrm{~m}\) = 480 m

अतः ∆ACD का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{480(480-240)(480-320)(480-400)}\) m²
= \(\sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80}\) m²
= 38400 m² = 3.84 हेक्टेयर
अतः आलू उगाने के लिए क्षेत्रफल = प्याज उगाने के लिए क्षेत्रफल
= \(\frac{3.84}{2}\) = 1.92 हेक्टेयर

प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसमें विकर्ण AC की लंबाई 10 cm तथा Ba D से AC पर खींचे गए लंबों की लंबाइयाँ क्रमशः 7 cm तथा 5 cm हैं।
हल :

आकृति अनुसार,
AC = 10 cm
BE = 7 cm
DF = 5 cm
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (∆ABC + ∆ACD) का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × AC × BE + \(\frac{1}{2}\) × AC × DF
= [\(\frac{1}{2}\) × 10 × 7 + \(\frac{1}{2}\) × 10 × 5] cm²
= (35 + 25) cm² = 60 cm²

प्रश्न 7.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 6 cm, 8 cm, 7 cm व 9 cm हो। पहली दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है।
हल :
माना चतुर्भुज ABCD में

AB = 6 cm, BC = 8 cm, CD = 7 cm व DA = 9 cm
∠B = 90°
समकोण ∆ABC में
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC} \mathrm{C}^2}\)
= \(\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\) = 10 cm

समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × BC
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 8 cm² = 24 cm²
∆ADC के लिए a = 7 cm, b = 9 cm, c = 10 cm
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+10}{2} \mathrm{~cm}=\frac{26}{2}\) = 13 cm

हीरोन सूत्र से
∆ADC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{13(13-7)(13-9)(13-10)}\) cm²
= \(\sqrt{13 \times 6 \times 4 \times 3}\) cm²
= \(\sqrt{13 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3}\) cm²
= 2 × 3 × 26 cm²
= 6√26 cm²

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (∆ABC + ∆ADC) का क्षेत्रफल
= (24 + 6√26) cm²

प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज का परिमाप 24 cm है। इसके एक विकर्ण का माप 8 cm है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :
माना ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण
AC = 8 cm
समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा = \(\frac{24}{4}\) = 6 cm

∆ABC के लिए
a = 6 cm, b = 6 cm, c = 8 cm
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}\) = 10 cm
हीरोन सूत्र से
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{10(10-6)(10-6)(10-8)}\)
= \(\sqrt{10 \times 4 \times 4 \times 2}\) = 8√5 cm²
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 2 × ∆ABC का क्षेत्रफल
= 2 × 8√5 cm²
= 16√5 cm²

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज जिसका आधार 12 cm तथा ऊँचाई 5 cm हो, तो उसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 60 cm²
(B) 30 cm²
(C) 30 m²
(D) 60 m²
उत्तर-
(B) 30 cm²

प्रश्न 2.
10 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 25√2 cm²
(B) 25√5 cm²
(C) 50√3 cm²
(D) 50√2 cm²
उत्तर-
(B) 25√3 cm²

प्रश्न 3.
असमान भुजा 8 cm और बराबर भुजाएँ 5 cm वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(A) 12 cm²
(B) 12 m²
(C) 12 cm
(D) 12 m
उत्तर-
(A) 12 cm²

प्रश्न 4.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल होगा
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a²
उत्तर-
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²

प्रश्न 5.
ABCD एक चतुर्भुज है तथा BD इसके विकर्णों में से एक है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल होगा-

(A) 20 cm²
(B) 15 cm²
(C) 10 cm²
(D) 40 cm²
उत्तर-
(A) 20 cm²

प्रश्न 6.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा जिसकी दो भुजाएँ 18 m और 10 m हैं तथा परिमाप 42 m है ?
(A) 21√11 cm
(B) 21√11 cm²
(C) 21√11 cm³
(D) 21√11 m²
उत्तर-
(D) 21√11 m²

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इसकी सबसे बड़ी भुजा की लंबाई होगी-
(A) 120 cm
(B) 170 cm
(C) 250 cm
(D) 540 cm
उत्तर-
(C) 250 cm

प्रश्न 8.
एक समबाहु त्रिभुज जिसका परिमाप 180 cm है, इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 900√3 cm
(B) 900√3 cm²
(C) 90√3 m
(D) 90√3 m²
उत्तर-
(B) 900√3 cm²

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 9000 cm²
(B) 9000 m²
(C) 9000 cm³
(D) 9000 m³
उत्तर-
(A) 9000 cm²

प्रश्न 10.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लंबाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 9√15 cm³
(B) 9√15 m³
(C) 9√15 cm²
(D) 9√15 m²
उत्तर-
(C) 9√15 cm²

प्रश्न 11.
समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB = 12 cm है। भुजाओं AB तथा AD के संगत शीर्षलंब क्रमशः 6 cm और 8 cm हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। AD का मान होगा-

(A) 4.5 cm
(B) 9 cm
(C) 13.5cm
(D) 18 cm
उत्तर-
(B) 9 cm

प्रश्न 12.
आकृति में ∠ACO = 90°, AC = BC, OA = 12 cm तथा OC = 6.5 cm है। ∆AOB का क्षेत्रफल होगा जबकि AC =10 cm हो-

(A) 30 cm
(B) 60 cm²
(C) 65 cm²
(D) 70 cm²
उत्तर-
(C) 65 cm²

प्रश्न 13.
सानिया के पास एक खेत है, जो एक समचतुर्भुज के आकार का है। वह अपनी एक पुत्री और एक पुत्र से यह चाहती थी कि वे इस खेत पर काम करके अलग-अलग फसलों (या उपजों) का उत्पादन करें। उसने इस खेत को दो बराबर भागों में विभाजित कर दिया। यदि इस खेत का परिमाप 400 m है और एक विकर्ण 160 m है, तो प्रत्येक को खेती के लिए कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
(A) 4800 m²
(B) 9600 m²
(C) 4800 m
(D) 9600 m
उत्तर-
(A) 4800 m²

प्रश्न 14.
एक पार्क चतुर्भुज PQRS के आकार का है, जिसमें ZR = 90%, PQ= 9 m, QR = 12 m, RS = 5 m और PS = 8 m है। इस पार्क का क्षेत्रफल होगा-
(A) 65.5 m²
(B) 65.5 cm²
(C) 65.5 m
(D) 65.5 cm
उत्तर-
(A) 65.5 m²

प्रश्न 15.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल क्या होगा, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है ?
(A) 15.2 m²
(B) 15.2 cm²
(C) 15.2 m
(D) 15.2 cm
उत्तर-
(B) 15.2 cm²

प्रश्न 16.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई होगी-
(A) 12 cm
(B) 12 cm²
(C) 12 m
(D) 12 m²
उत्तर-
(A) 12 cm

प्रश्न 17.
किसी समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र होता है-
(A) समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी
(B) असमांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी
(C) \(\frac{1}{2}\) × समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच
(D) असमांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी की दूरी
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{2}\) × समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी

प्रश्न 18.
6 cm, 8 cm तथा 10 cm भुजाओं वाली त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 18 cm²
(B) 22 cm²
(C) 24 cm²
(D) 12 cm²
उत्तर-
(C) 24 cm²

प्रश्न 19.
एक समकोण त्रिभुज जिसमें समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाई 5 cm तथा 12 cm है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 30 cm²
(B) 60 cm²
(C) 90 cm²
(D) 75 cm²
उत्तर-
(A) 30 cm²

प्रश्न 20.
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र होता है-
(A) \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
(B) आधार × ऊँचाई
(C) 2 × आधार × ऊँचाई
(D) 3 × आधार × ऊँचाई
उत्तर-
(B) आधार × ऊँचाई

प्रश्न 21.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस’ समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
(A) 48 m²
(B) 48 m
(C) 48 cm²
(D) 48 cm
उत्तर-
(A) 48 m²

प्रश्न 22.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है जैसाकि आकृति में दिखाया गया है। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?

(A) 200√6 cm²
(B) 2000√6 cm²
(C) 1000√6 cm²
(D) 400√6 cm²
उत्तर-
(C) 1000√6 cm²

प्रश्न 23.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए शेड III में कितना कागज प्रयुक्त हुआ ?

(A) 256 cm
(B) 256 cm²
(C) 17.92 cm
(D) 17.92 cm²
उत्तर-
(D)17.92 cm²

प्रश्न 24.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 10 cm है तथा समान भुजाओं में से एक भुजा 13 cm है। हीरोन के सूत्र द्वारा इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 60 cm²
(B) 30 cm²
(C) 90 cm²
(D) 45 cm²
उत्तर-
(A) 60 cm²

प्रश्न 25.
एक समचतुर्भुज का परिमाप 24 cm है, उसके एक विकर्ण का माप 8 cm है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 8√5 cm²
(B) 12√5 cm²
(C) 16√5 cm²
(D) 24√5 cm²
उत्तर-
(C) 16√5 cm²

प्रश्न 26.
उस समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या होगी जिसका आधार 30 cm और क्षेत्रफल 120 cm- हो ?
(A) 4 cm
(B) 8 cm
(C) 4 cm²
(D) 8 cm²
उत्तर-
(B) 8 cm

प्रश्न 27.
किसी समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की माप 5 cm और 3.5 cm हैं। उसके एक विकर्ण की माप 6.5 cm हो, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 10√3 cm
(B) 10√3 m
(C) 10√3 cm²
(D) 10√3 m²
उत्तर-
(C) 10√3 cm²

प्रश्न 28.
यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं को दुगुना कर दिया जाए तो उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ जाएगा ?
(A) 100%
(B) 200%
(C) 300%
(D) 400%
उत्तर-
(B) 200%

प्रश्न 29.
एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 60 m, 80 m और 100 m हैं। ₹ 2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस खेत को जोतने पर कितना खर्च आएगा ?
(A) ₹ 60
(B) ₹ 600
(C) ₹ 5000
(D) ₹ 6000
उत्तर-
(D) ₹ 6000

प्रश्न 30.
किसी त्रिभुज का अर्ध-परिमाप क्या होगा यदि उसकी भुजाएँ 40 m, 24 m और 32 m हो?
(A) 3072 m
(B) 96 m
(C) 48 m²
(D) 48 m
उत्तर-
(D) 48 m

प्रश्न 31.
उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होगा जिसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई 5 cm तथा 6 cm है और एक विकर्ण की लंबाई 7 cm है ?
(A) 6√6 cm²
(B) 12√6 cm²
(C) 24√6 cm²
(D) 18√6 cm²
उत्तर-
(B) 12√6 cm²

प्रश्न 32.
एक खेत समलंब के आकार का है, जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल होगा-
(A) 196 m²
(B) 196 m³
(C) 196 m
(D) 196 cm²
उत्तर-
(A) 196 m²

प्रश्न 33.
किसी समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की लंबाइयाँ क्रमशः 51 cm और 37 cm हैं। इसका एक विकर्ण 20 cm हो, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 306 cm²
(B) 612 cm²
(C) 612 m²
(D) 306 m²
उत्तर-
(B) 612 cm²

प्रश्न 34.
एक त्रिभुजाकार प्लेट की भुजाएँ 8 cm, 15 cm और 17 cm हैं। यदि इसका भार 96 ग्राम हो, तो प्लेट का प्रति वर्ग सें०मी० भार क्या होगा ?
(A) 16 gm
(B) 8 gm
(C) 1.6 gm
(D) 0.8 gm
उत्तर-
(C) 1.6 gm

प्रश्न 35.
एक त्रिभुज का परिमाप 270 m है तथा इसकी भुजाओं में अनुपात 12 : 17 : 25 है, तो इसकी सबसे छोटी भुजा होगी-
(A) 60 m
(B) 85 m
(C) 125 m
(D) 270 m
उत्तर-
(A) 60 m

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरणों के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) x = – 5
(ii) y = 2
(iii) 2x = 3
(iv) 5y = 2
हल :
(i) x = – 5 को (1)x + (0)y = – 5, या (1) x + (0). y + 5 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
(ii) y = 2 को (0)x + (1)y = 2 या (0)x + (1)y – 2 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
(iii) 2x = 3 को 2x + (0)y = 3 या 2x + (0)y – 3 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
(iv) 5y = 2 को (0)x + 5y = 2 या (0)x + 5y – 2 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न 2.
समीकरण x + 2y = 6 के चार हल ज्ञात करें।
हल :
यहां पर
x + 2y = 6
x = 6 – 2y
(i) यदि y = 1, तो x = 6 – 2(1) = 6 – 2 = 4
(ii) यदि y = 2, तो x = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2
(iii) यदि y = 0, तो x = 6 – 2(0) = 6 – 0 = 6
(iv) यदि y = – 1, तो x = 6 – 2(- 1) = 6 + 2 = 8
∴ अभीष्ट चार हल हैं : (4, 1), (2, 2), (6, 0), (8, – 1)

प्रश्न 3.
समीकरण 2x + 1 = x – 3 को हल कीजिए और हल को
(i) संख्या रेखा
(ii) कार्तीय तल पर निरूपण कीजिए।
हल :
2x + 1 = x – 3 को हल करने पर यह प्राप्त होता है-
2x – x = – 3 – 1 अर्थात्
x = – 4
(i) संख्या रेखा पर हल के निरूपण को आकृति में दिखाया गया है, जहाँ x = – 4 को एक चर वाला समीकरण माना गया है।

(ii) हम चर x तथा y वाले रैखिक समीकरण के रूप में x = – 4 को x + 0.y = – 4 के रूप में लिख सकते हैं। इसे एक रेखा से निरूपित किया जाता है। अब y के सभी मान मान्य होते हैं, क्योंकि 0.y सदा ही शून्य होता है। फिर भी x को संबंध x = – 4 को अवश्य संतुष्ट करना चाहिए। अतः दिए हुए समीकरण के दो हल x = – 4, y = 0 और x = – 4, y = 2 हैं।
आलेख AB, y-अक्ष के समांतर एक रेखा है जो इसके बाईं ओर 4 एकक की दूरी पर है।
इसी प्रकार, y = 3 या 0.x + 1.y = 3 के प्रकार के समीकरणों के संगत, हम x-अक्ष के समांतर एक रेखा प्राप्त कर सकते हैं।

प्रश्न 4.
आकृति में दिए गए प्रत्येक आलेख को ध्यान से देखिए और नीचे के प्रत्येक आलेख के विकल्पों से आलेख में। दिए गए समीकरण का चयन कीजिए : (a) आकृति (i) के लिए,
(i) x + y = 0 (ii) y = 2x (iii) y = x (iv) y = 2x + 1

(b) आकृति (ii) के लिए,
(i) x + y = 0 (ii) y = 2x (iii) y = 2x + 4 (iv) y = x – 4

(c) आकृति (iii) के लिए,
(i) x + y = 0 (ii) y = 2x (iii) y = 2x + 1 (iv) y = 2x – 4

हल :
(a) आकृति (1) में रेखा पर बिंदु (-1,- 2), (0, 0), (1, 2) हैं। जांच करने पर इस आलेख का संगत समीकरण y = 2x है।
जांध :
y = 2x
(- 1, – 2) के लिए
– 2 = 2 × (- 1)
⇒ – 2 = – 2

y = 2x
(0, 0) के लिए
0 = 2 × 0
⇒ 0 = 0

y = 2x
(1, 2) के लिए
2 = 2 × 1
⇒ 2 = 2

(b) आकृति (ii) में रेखा पर बिंदु (- 2, 0), (0, 4), (1, 6) हैं। जांच करने पर आलेख के बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण y = 2x + 4 को संतुष्ट करते हैं। अतः y = 2x + 4 आकृति (ii) के आलेख का संगत समीकरण है।

जांच :
y = 2x + 4
(- 2, 0) के लिए
0 = 2 × (- 2) + 4
0 = – 4 + 4
⇒ 0 = 0

y = 2x +4
(0, 4) के लिए
4 = 2 × 0 + 4
4 = 0 + 4
⇒ 4 = 4

y = 2x + 4
(1, 6) के लिए
6 = 2 × 1 + 4
6 = 2 + 4
⇒ 6 = 6

(c) आकृति (iii) में, रेखा पर बिंदु (- 1, – 6), (0, – 4), (1, – 2), (2, 0) हैं। जांच करने पर हम कह सकते हैं कि y= 2x – 4 दिए हुए आलेख का संगत समीकरण है।

जांच :
y = 2x – 4
(- 1, – 6) के लिए
– 6 = 2 × (- 1) – 4
– 6 = – 2 – 4
⇒ – 6 = – 6

y = 2x – 4
(0, 4) के लिए
– 4 = 2 × 0 – 4
– 4 = 0 – 4
⇒ – 4 = – 4

y = 2x – 4
(1, – 2) के लिए
– 2 = 2 × 1 – 4
– 2 = 2 – 4
⇒ – 2 = – 2

y = 2x – 4
(2, 0) के लिए
0 = 2 × 2 – 4
0 = 4 – 4
⇒ 0 = 0.

Multiple Chpice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों तो निम्नलिखित में से कौन-सा समीकरण दो चरों वाला रैखिक समीकरण होगा-
(A) ax = 0
(B) by = 0
(C) ax = – c
(D) ax + by + c = 0
उत्तर-
(D) ax + by + c = 0

प्रश्न 2.
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हलों की संख्या होती है-
(A) एक
(B) दो
(C) अपरिमित रूप से अनेक
(D) परिमित
उत्तर-
(C) अपरिमित रूप से अनेक

प्रश्न 3.
दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आलेख होता है-
(A) सरल रेखा
(B) वक्र रेखा
(C) चाप आकार
(D) U आकार
उत्तर-
(A) सरल रेखा

प्रश्न 4.
2x +3y = \(9.3 \overline{5}\) को रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर c का मान होगा-
(A) \(9.3 \overline{5}\)
(B) – \(9.3 \overline{5}\)
(C) 2
(D) 3
उत्तर-
(B) – \(9.3 \overline{5}\)

प्रश्न 5.
समीकरण x – \(\frac{y}{5}\) – 10 = 0 की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर b का मान होगा-
(A) 1
(B) \(\frac{1}{5}\)
(C) – \(\frac{1}{5}\)
(D) – 10
उत्तर-
(C) – \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 6.
समीकरण 4 = 5x – 3y को ax + by + c = 0 के रूप में लिखिए व c का मान बताइए।
(A) 5
(B) – 3
(C) 0
(D) – 4
उत्तर-
(D) – 4

प्रश्न 7.
समीकरण 2x = – 5y का ax + by + c = 0 रूप होगा-
(A) 2x – 5y + 0 = 0
(B) 2x + 5y + 0 = 0
(C) – 2x + 5y + 0 = 0
(D) – 2x – 2y + 0 = 0
उत्तर-
(B) 2x + 5y+ 0 = 0

प्रश्न 8.
समीकरण 3x + 2 = 0 की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर b का मान होगा-
(A) 3
(B) 2
(C) – 2
(D) शून्य
उत्तर-
(D) शून्य

प्रश्न 9.
समीकरण y – 2 = 0 को रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर aव b के मान क्रमशः होंगे-
(A) 0, 1
(B) 0, – 2
(C) 1, – 2
(D) 0, – 1
उत्तर-
(A) 0, 1

प्रश्न 10.
x = – 5 को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) (1)x + (1) y + 5 = 0
(B) (1)x + (0)y + 5 = 0
(C) (1)x + 0(1) – 5 = 0
(D) (1)x + 1(y) – 5 = 0
उत्तर-
(B) (1) x + (0) y + 5 = 0

प्रश्न 11.
5y = 2 को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) (0) (x) + 5 y + 2 = 0
(B) 5x + 5y-2 = 0
(C) (0) x + 5y — 2 = 0
(D) 5x + 5y + 2 = 0
उत्तर-
(C) (0) x + 5y – 2 = 0

प्रश्न 12.
निम्नलिखित विकल्पों में से कौन-सा विकल्प सत्य है- y = 3x + 5 का
(A) एक अद्वितीय हल है
(B) केवल दो हल हैं
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(D) परिमित हल
उत्तर-
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

प्रश्न 13.
समीकरण 2x + y = 7 में x = 1 के लिए y का मान होगा-
(A) 7
(B) 5
(C) 3
(D) 1
उत्तर-
(B) 5

प्रश्न 14.
समीकरण 2x + y = 7 में y = 1 के लिए x का मान होगा-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर-
(D) 3

प्रश्न 15.
समीकरण πx + y = 9 में x = 1 के लिए एका मान होगा-
(A) 9 – 3π
(B) 9 – 2π
(C) 9 – π
(D) 9
उत्तर-
(C) 9 – π

प्रश्न 16.
समीकरण x = 4y का अभीष्ट हल है-
(A) (0, 0)
(B) (4, 1)
(C) (- 4, – 1)
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 17.
निम्नलिखित हलों में से कौन-सा समीकरण x – 2y = 4 का अभीष्ट हल है-
(A) (4, 0)
(B) (0, 2)
(C) (2, 0)
(D) (1, 1)
उत्तर-
(A) (4, 0)

प्रश्न 18.
यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक अभीष्ट हल हो तो k का मान होगा-
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
उत्तर-
(B) 7

प्रश्न 19.
समीकरण 4x + 3y = 12 का अभीष्ट हल है-
(A) (3, 0)
(B) (0, 4)
(C) (A) और (B) दोनों
(D) (A) और (B) दोनों नहीं
उत्तर-
(C) (A) और (B) दोनों

प्रश्न 20.
समीकरण 2x + 5y = 0 का अभीष्ट हल है-
(A) (1, 1)
(B) (2, 2)
(C) (3, 3)
(D) (0, 0)
उत्तर-
(D) (0,0)

प्रश्न 21.
समीकरण 3y + 4 = 0 का अभीष्ट हल है-
(A) (0, \(\frac{-4}{3}\))
(B) (\(\frac{-4}{3}\), 0)
(C) (\(\frac{-4}{3}\), \(\frac{-4}{3}\))
(D) (A) और (C) दोनों
उत्तर-
(D) (A) और (C) दोनों

प्रश्न 22.
यदि x = 2,y = 2 समीकरण x + 2y = k का एक अभीष्ट हल हो तो k का मान होगा-
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
उत्तर-
(C) 6

प्रश्न 23.
यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित हो तो a का मान होगा-
(A) \(\frac{5}{3}\)
(B) \(-\frac{5}{3}\)
(C) \(\frac{3}{5}\)
(D) \(\frac{-3}{5}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{5}{3}\)

प्रश्न 24.
एक नगर में टैक्सी का पहले किलोमीटर का किराया 8 रुपये है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रुपये है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो और कुल किराया रुपये हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण होगा-
(A) 5x – 3 = y
(B) 5x + 3 = y
(C) 5y + 3 = x
(D) 8x + 3 = y
उत्तर-
(B) 5x + 3 = y

प्रश्न 25.
बिन्दु (2, 14) से होकर जाने वाली रेखाओं की संख्या होगी-
(A) केवल एक
(B) दो
(C) चार
(D) अनन्तः अनेक
उत्तर-
(D) अनन्तः अनेक

प्रश्न 26.
निम्न आलेख के लिए उचित समीकरण होगा-

(A) y = x
(B) x + y = 0
(C) y = 2x
(D) 2 + 3y = 7x
उत्तर-
(B) x + y = 0

प्रश्न 27.
निम्न आलेख के लिए उचित समीकरण होगा-

(A) x + y = 0
(B) y = x
(C) y = 2x
(D) y = 2x + 1
उत्तर-
(C) y = 2x

प्रश्न 28.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रुपये अंशदान दिया। इसके लिए उचित रैखिक समीकरण होगा-
(A) x + y = 100
(B) x – y = 0
(C) 2x – y = 100
(D) x – 2y = 0
उत्तर-
(A) x + y = 100

प्रश्न 29.
F = \(\frac{9}{5}\) C + 32 फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण है। यदि तापमान 30°C हो तो फारेनहाइट में तापमान होगा-
(A) 84°F
(B) 86°F
(C) 88°F
(D) 22°F
उत्तर-
(B) 86°F

प्रश्न 30.
F = \(\frac{9}{5}\) C + 32 फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण है। यदि तापमान 95°F हो तो सेल्सियस में तापमान होगा-
(A) 49°C
(B) 42°C
(C) 28°C
(D) 35°C
उत्तर-
(D) 35°C

प्रश्न 31.
प्रश्न 30 की समीकरण में यदि तापमान 0°C हो तो फारेनहाइट में तापमान होगा-
(A) 32°F
(B) – 32°F
(C) 0°F
(D) 41°F
उत्तर-
(A) 32°F

प्रश्न 32.
x-अक्ष का समीकरण होता है-
(A) x = 0
(B) y = 0
(C) (A) और (B) दोनों
(D) (A) और (B) दोनों नहीं
उत्तर-
(B) y = 0

प्रश्न 33.
y-अक्ष का समीकरण होता है-
(A) x = 0
(B) y = 0
(C) (A) और (B) दोनों
(D) (A) और (B) दोनों नहीं
उत्तर-
(A)x = 0

प्रश्न 34.
x = a का आलेख होता है-
(A) x-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(B) x-अक्ष वाली सरल रेखा
(C) y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(D) y-अक्ष वाली सरल रेखा
उत्तर-
(C) y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा

प्रश्न 35.
y=a का आलेख होता है-
(A) y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(B) y-अक्ष वाली सरल रेखा
(C) x-अक्ष वाली सरल रेखा
(D) x-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
उत्तर-
(D) x-अक्ष के समान्तर सरल रेखा

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 7 त्रिभुज Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 7 त्रिभुज

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
सिद्ध करें कि दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हो।
हल :
दिया है : दो त्रिभुज ABC और DEF में ∠B = ∠E, ∠C = ∠F तथा BC = EF.
सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆DEE.
प्रमाण : स्थिति (1) : जब AB = DE हो तो ∆ABC और ∆DEF में
AB = DE [माना]
∠B = ∠E [दिया है]
BC = EF [दिया है]
अतः ∆ABC ≅ ∆DEF [SAS नियम द्वारा]

स्थिति (ii) : जब AB > DE हो तो AB पर एक बिंदु P ऐसा ले कि PB = DE हो।

अब ∆PBC और ∆DEF में,
PB = DE [रचना से]
∠B = ∠E [दिया है]
BC = EF [दिया है]
अतः
∆PBC = ∆DEF [SAS सर्वांगसमता अभिगृहीत द्वारा]
चूँकि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए इनके संगत भाग बराबर होने चाहिएँ। अतः
अतः ∠PCB = ∠DFE
परंतु हमें दिया है कि
∠ACB = ∠DFE
अतः ∠ACB = ∠PCB
परंतु यह तभी संभव है, जब P बिंदु A के साथ संपाती हो।
BA = ED
अतः ∆ABC = ∆DEF [SAS अभिगृहीत द्वारा]

स्थिति (iii) :
जब AB < DE हो तो DE पर एक बिंदु M इस प्रकार ले सकते हैं कि ME = AB हो अब स्थिति (ii) को दोहराते हुए हम सिद्ध कर सकते हैं। AB = DE
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF [इति सिद्धम]

प्रश्न 2.
∆ABC में, ∠A का समद्विभाजक AD, भुजा BC पर लंब है, दर्शाइए कि AB = AC है और ∆ARC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:

दिया है : ∆ABC में ∠A का समद्विभाजक AD, भुजा BC पर लंब है
अर्थात् AD ⊥ BC.
सिद्ध करना है : ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रमाण : ∆ABD और ∆ACD में
∠BAD = ∠CAD [दिया है]
AD = AD [उभयनिष्ठ]
∠ADB = ∠ADC [प्रत्येक 90°]
∴ ∆ABD = ∆ACD [ASA नियम से]
AB = AC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
AB एक रेखाखंड है तथा बिंदु Pऔर Q इस रेखाखंड AB के विपरीत ओर इस प्रकार स्थित है कि इनमें से प्रत्येक A और B से समदूरस्थ है (आकृति अनुसार)। दर्शाइए कि रेखा PQ रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है।

हल :
दिया है : AB एक रेखाखंड है तथा बिंदु P और Q रेखाखंड AB के विपरीत ओर इस प्रकार हैं कि PA = PB तथा QA = QB.
सिद्ध करना है : PQ ⊥ AB तथा PQ रेखाखंड AB को समद्विभाजित करती है।
रचना : माना रेखा PQ रेखाखंड AB को C पर प्रतिच्छेद करती है।
प्रमाण : ∆PAQ और ∆PBQ में,
AP = BP [दिया है]
AQ = BQ [दिया है]
PQ = PQ [उभयनिष्ठ]
अतः ∆PAQ = ∆PBQ [SSS नियम से]
इसलिए ∠APQ = ∠BPQ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः ∆PAC और ∆PBC में, AP = BP [दिया है]
अतः ∠APC = ∠BPC [∠APQ = ∠BPQ प्रमाणित]
PC = PC [उभयनिष्का]
अतः ∆PAC ≅ ∆PBC [SAS नियम से]
इसलिए AC = BC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] ……………..(1)
और ∠ACP = ∠BCP (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠ACP + ∠BCP = 180° (रैखिक युग्म]
इसलिए 2 ∠ACP = 180° ∠ACP = 90° ……………..(2)
समीकरण (1) व (2) से रेखा PQ रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है।

प्रश्न 4.
आकृति में, AB तथा CD का मध्य बिंदू 0 है सिद्ध करें कि AC = BD तथा AC || BD.

हल :
∆OAC तथा ∆OBD में, OA = OB [दिया है]
∠AOC = ∠BOD [शीर्षाभिमुख कोण]
OC = OD [दिया है]
∴ ∆OAC ≅ ∆OBD [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से]
⇒ AC = BD तथा ∠OAC = ∠OBD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
परंतु ∠OAC और ∠OBD एकांतर कोण हैं।
∴ AC || BD
अतः AC = BD तथा AC || BD [इति सिद्धम|

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
हल :
दिया है : एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें AB = AC है।

सिद्ध करना है : ∠B = ∠C
रचना : ∠A का समद्विभाजक खींचे, जो BC से D पर मिलता है।
प्रमाण : ∆BAD और ∆CAD में, AB = AC (दिया है)
∠BAD = ∠CAD (रचना से) AD = AD (उभयनिष्ठ)
अतः ∆BAD = ∆CAD (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता नियम)
इसलिए ∠ABD = ∠ACD (CPCT)
अर्थात् ∠B = ∠C (इति सिद्धम)

प्रश्न 6.
∆ABC की भुजा BC पर D एक ऐसा बिंदु है कि AD = AC है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि AB >AD है।

हल :
∆DAC में,
AD = AC [दिया है]
इसलिए ∠ADC = ∠ACD ……………(1)
[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
क्योंकि, ∠ADC त्रिभुज ABD का एक बहिष्कोण है।
इसलिए
∠ADC > ∠ABD
या ∠ACD > ∠ABD [समीकरण (1) से]
या ∠ACB > ∠ABC
AB > AC [∆ABC में बड़े कोण की सम्मुख भुजा]
या AB > AD [AD = AC]

प्रश्न 7.
PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें PQ = PR तथा भुजा QP को बिंदु S तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि PQ = PS (आकृति अनुसार)। सिद्ध करें कि ∠QRS एक समकोण है।

हल :
यहाँ पर
PQ = PR [दिया है]
∴ ∠PRQ = ∠PQR …………..(1)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
इसी प्रकार
PQ = PS [दिया है]
∴ PR = PS [∵ PQ = PR]
अतः ∠PRS = ∠PSR …………….(2)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (1) व (2) से
∠PRQ + ∠PRS = ∠PQR + ∠PSR
∠QRS = ∠PQR + ∠PSR …………..(3)
परंतु ∠QRS + ∠PQR + ∠PSR = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग]
∠QRS + ∠QRS = 180° [समीकरण (3) से]
2 ∠QRS = 180°
∠QRS = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
अतः ∠QRS एक समकोण है।

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
आकृति में, OA = OB और OD = OC है, तो ∆AOD ≅ ∆BOC किस नियम पर आधारित है ? \

(A) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(B) कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता
(C) भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता
(D) समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
उत्तर-
(A) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता

प्रश्न 2.
क्या आकृति में, ∆ABC और ∆PQR सर्वांगसम है ?

(A) नहीं
(B) हाँ, कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता से
(C) हाँ, भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(D) हाँ, भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से
उत्तर-
(B) हाँ, कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता से

प्रश्न 3.
चतुर्भुज ∆CBD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है, तो ∆ABC = ∆ABD क्योंकि

(A) AC = AD है
(B) AB = AB है
(C) ∠BAC = ∠BAD है
(D) उपरोक्त सभी हैं
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी हैं

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से निर्मित त्रिभुज _____________ होता है।
(A) समकोण त्रिभुज
(B) समबाहु त्रिभुज
(C) अधिक कोण त्रिभुज
(D) समद्विबाहु त्रिभुज
उत्तर-
(A) समकोण त्रिभुज

प्रश्न 5.
एक चतुर्भुज की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिंदु को मिलाकर बनाई गई आकृति ___________ होती है।
(A) समचतुर्भुज
(B) वर्ग
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) आयत
उत्तर-
(C) समांतर चतुर्भुज

प्रश्न 6.
त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के ___________ तथा उसका ___________ होता है।
(A) असमांतर, दुगुना
(B) समांतर, आधा
(C) समांतर, दुगुना
(D) असमांतर, आधा
उत्तर-
(B) समांतर, आधा

प्रश्न 7.
समकोण त्रिभुज में अन्य दो कोणों में से प्रत्येक होता है-
(A) अधिक कोण
(B) न्यून कोण
(C) समकोण
(D) शून्य कोण
उत्तर-
(B) न्यून कोण

प्रश्न 8.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ समान ना हों, तो बड़ी भुजा का सम्मुख कोण ____________ होता है।
(A) बराबर
(B) छोटा
(C) बड़ा
(D) (A) और (B) दोनों
उत्तर-
(C) बड़ा

प्रश्न 9.
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा । पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?

(A) BP = BQ
(B) ∆APB = ∆AQB
(C) AB = AP
(D) ∠AQB = ∠APB
उत्तर-
(C) AB = AP

प्रश्न 10.
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है, तो BC = DE है क्योंकि-

(A) ∆BAC = ∆DAE
(B) ∆ABD = ∆AEC
(C) ∆BAC = ∆ABD
(D) ∆DAE = ∆AEC
उत्तर-
(A) ∆BAC = ∆DAE

प्रश्न 11.
किसी APQR में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?
(A) PQ + QR < RP
(B) QR + RP < PQ (C) RP + PQ > QR
(D) RP + PQ < QR उत्तर- (C) RP + PQ > QR

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है
(B) चतुर्भुज के चार कोणों का योग तीन समकोण होता है
(C) त्रिभुज में दो समकोण बन सकते हैं
(D) त्रिभुज में दो अधिक कोण हो सकते हैं
उत्तर-
(A) त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है

प्रश्न 13.
जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हों, उसे कहा जाता है-
(A) समबाहु त्रिभुज
(B) समद्विबाहु त्रिभुज
(C) विषमबाहु त्रिभुज
(D) समकोण त्रिभुज
उत्तर-
(B) समद्विबाहु त्रिभुज

प्रश्न 14.
जिस त्रिभुज का एक कोण 90° हो, उसे कहा जाता है-
(A) समकोण त्रिभुज
(B) समबाहु त्रिभुज
(C) समद्विबाहु त्रिभुज
(D) विषमबाहु त्रिभुज
उत्तर-
(A) समकोण त्रिभुज

प्रश्न 15.
निम्नलिखित में से कौन-से कोणों वाली त्रिभुज संभव नहीं है ?
(A) तीनों न्यून कोण हों
(B) एक समकोण व दो न्यून कोण हों
(C) तीनों अधिक कोण हों।
(D) तीनों समान कोण 60° के हों
उत्तर-
(C) तीनों अधिक कोण हों

प्रश्न 16.
त्रिभुज ABC में, AB = AC = 5cm है तथा ∠C = 50° हो, तो ∠A का मान होगा-

(A) 50°
(B) 80°
(C) 40°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 80°

प्रश्न 17.
∆PQR में, यदि ∠QPR = ∠PRQ = 50° हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) PQ = QR
(B) QR = RP
(C) PQ = RP
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(A) PQ = QR

प्रश्न 18.
∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° है और AB = AC है, तो ∠B = ∠C होगा-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 45°

प्रश्न 19.
किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है-
(A) 60° का
(B) 45° का
(C) 30° का
(D) 90° का
उत्तर-
(A) 60° का

प्रश्न 20.
निम्नलिखित में से कौन-से कोणों वाली त्रिभुज संभव है ?
(A) 120°, 30°, 50°
(B) 120°, 30°, 30°
(C) 90°, 45°, 60°
(D) 60°, 65°, 70°
उत्तर-
(B) 120°, 30°, 30°

प्रश्न 21.
आकृति में, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है, तो ∠BCD का मान होगा-

(A) 45°
(B) 90°
(C) 135°
(D) 180°
उत्तर-
(B) 90°

प्रश्न 22.
आकृति में, ∆ABC और ∆PQR किस सर्वांगसमता के अंतर्गत सर्वांगसम है ?

(A) भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता
(B) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(C) कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता
(D) समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
उत्तर-
(D) समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता

प्रश्न 23.
∆ABC = ∆PQR है यदि ∆ABC में AB = 4 cm, ∠B = 60°, BC = 5 cm हो और ∆PQR में, PQ = 4 cm, ∠Q = 60° हो, तो QR का मान होगा-
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 1 cm
(D) 9 cm
उत्तर-
(B) 5 cm

प्रश्न 24.
यदि ∆ABC ≅ ∆PQR हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) AB = PQ
(B) BC = QR
(C) CA = RP
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 25.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है
(B) AD कोण A को समद्विभाजित करता है
(C) (A) व (B) दोनों सत्य हैं
(D) (A) व (B) दोनों असत्य हैं
उत्तर-
(D) (A) व (B) दोनों असत्य हैं

प्रश्न 26.
एक त्रिभुज ABC सर्वांगसम है ∆PQR के। यदि AABC में ∠A = 90°, कर्ण BC = 5 cm तथा भुजा AC = 4 cm तथा ∆ PQR में ∠P = 90° तथा भुजा PR = 4 cm हो, तो कर्ण QR का मान होगा-
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 3 cm
(D) 6 cm
उत्तर-
(B) 5 cm

प्रश्न 27.
आकृति में ∆ABC में, ∠ABC = 120° तथा ∠BCA = 30° है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) AC > AB
(B) AC < AB (C) AC = AB (D) AC > AB + BC
उत्तर-
(A) AC > AB

प्रश्न 28.
यदि ∆ABC में, AB = 8 cm, BC = 5 cm है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?

(A) ∠C > ∠A
(B) ∠C < ∠A (C)∠C = ∠A (D) उपरोक्त में से कोई भी नहीं उत्तर- (A) ∠C > ∠A

प्रश्न 29.
किसी त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) AB + BC > AC
(B) BC + AC > AB
(C) AC + AB > BC
(D) AC + AB < BC
उत्तर-
(D) AC + AB < BC

प्रश्न 30.
समकोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा होती है-
(A) लंब
(B) आधार
(C) कर्ण
(D) उपरोक्त में से कोई भी नहीं
उत्तर-
(C) कर्ण

प्रश्न 31.
किसी समकोण त्रिभुज के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) (कण)² = (आधार)² – (लंब)²
(B) (कण)² = (आधार)² + (लंब)²
(C) (कर्ण)² + (आधार)² = (लंब)²
(D) (कण)² + (लंब)² = (आधार)²
उत्तर-
(B) (कण²) = (आधार)² + (लंब²)

प्रश्न 32.
आकृति में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) ∠PSR < ∠PSQ
(B) ∠PSR = ∠PSQ
(C) ∠PSR > ∠PSO
(D) उपरोक्त में से कोई भी नहीं
उत्तर-
(C) ∠PSR > ∠PSQ

प्रश्न 33.
“दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।” यह निम्नलिखित में से सर्वांगसमता का कौन-सा नियम है ?
(A) AAS
(B) ASA
(C) SAS
(D) SSS
उत्तर-
(C) SAS

प्रश्न 34.
किसी वर्ग का विशेष गुण होता है-
(A) प्रत्येक भुजा समान
(B) प्रत्येक कोण समान 90° का
(C) प्रत्येक विकर्ण समान
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(C) प्रत्येक विकर्ण समान

प्रश्न 35.
यदि एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हों, तो सबसे बड़े कोण का मान होगा-
(A) 40°
(B) 60°
(C) 80°
(D) 100°
उत्तर-
(C) 80°

प्रश्न 36.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 110°, 40° एवं 50° हैं। चौथा कोण होगा-
(A) 160°
(B) 80°
(C) 260°
(D) 200°
उत्तर-
(A) 160°

प्रश्न 37.
एक षट्भुज के कोणों का योगफल होता है-
(A) 180°
(B) 360°
(C) 540°
(D) 720°
उत्तर-
(D) 720°

प्रश्न 38.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) त्रिभुज का एक बहिष्कोण अपने किसी एक अंतः अभिमुख कोण से छोटा होता है
(B) त्रिभुज के दो समकोण हो सकते हैं
(C) त्रिभुज का एक बहिष्कोण दो अंतः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है
(D) त्रिभुज के दो अधिक कोण हो सकते हैं
उत्तर-
(C) त्रिभुज का एक बहिष्कोण दो अंतः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है

प्रश्न 39.
“दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हो। निम्नलिखित में से यह सर्वांगसमता के किस नियम की पालना करता है?
(A) ASA
(B) SAS
(C) AAS
(D) RHS
उत्तर-
(A) ASA

प्रश्न 40.
आकृति में, ∆PQR की भुजा QR को S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠P : ∠Q : ∠R = 3 : 2 : 1 और RT ⊥ PR तो ∠TRS का मान होगा-

(A) 60°
(B) 30°
(C) 90°
(D) 120°
उत्तर-
(A) 60°

प्रश्न 41.
एक त्रिभुज का बहिष्कोण 115° का है और एक अंतः अभिमुख कोण 35° का है। अन्य दो कोण होंगे-
(A) 80°, 35°
(B) 80°, 65°
(C) 35°, 65°
(D) 80°, 100°
उत्तर-
(B) 80°, 65°

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
60° के कोण की रचना कीजिए।
हल :

रचना के चरण :
(1) एक किरण AB खींचिए।
(2) A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
(3) परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
(4) E से जाने वाली किरण AC खींचिए।
(5) ∠CAB अभीष्ट कोण है जो 60° का है।

प्रश्न 2.
एक दिए हुए ∠ABC के समद्विभाजक की रचना कीजिए।
हल :
रचना के चरण :
(1) B को केंद्र मानकर तथा कोई त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण BA और BC को क्रमशः E और D पर प्रतिच्छेद करे।
(2) अब D और E को केंद्र मानकर तथा \(\frac{1}{2}\) DE से बड़ी त्रिज्या लेकर चाप लगाइए, जो एक-दूसरे को F पर प्रतिच्छेद करे।
(3) किरण BF खींचिए।
(4) यही किरण BF, कोण ABC का अभीष्ट समद्विभाजक है।

प्रश्न 3.
4.5 cm भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए।
हल :
रचना के चरण :
(1) एक रेखाखंड BC = 4.5 cm खींचिए।
(2) B और C को केंद्र मानकर BC = 4.5 cm त्रिज्या की परकार खोलकर दो चापें जो परस्पर A पर प्रतिच्छेद करें।
(3) A को B व C से मिलाओ।
(4) इस प्रकार ∆ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 5 cm, ∠B = 60° तथा AB + AC = 7.8 cm हो।
हल :
रचना के चरण :
(1) एक किरण BX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड BC = 5 cm लीजिए।

(2) अब बिंदु B पर ∠YBX = 60° बनाओ।
(3) BY से BD = 7.8 cm काटो।
(4) D को C से मिलाओ।
(5) CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करे।
(6)A और C को मिलाइए।
(7) इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 7 cm; ∠B = 45° और AB – AC = 2 cm हो।
हल :
रचना के चरण :

(1) एक किरण BX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड BC = 7cm लीजिए।
(2) अब बिंदु B पर ∠YBC = 45° बनाओ।
(3) BY से BD = 2 cm काटो।
(4) D को C मिलाओ।
(5) CD का लंब समद्विभाजक RS खींचो जो BY को A पर प्रतिच्छेद करता है।
(6) A और C को मिलाइए।
(7) इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें ∠B = 90° तथा ∠C = 60° और AB + BC + CA = 11.5 cm हो।
हल :
रचना के चरण :
(1) एक रेखाखंड PQ = 11.5 cm खींचिए।
(2) P पर एक किरण PL खींचिए जिससे कि ∠LPQ = \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45° हो।
(3) Q पर एक किरण QM खींचिए जिससे कि ∠MQP = \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30° हो जो PL को A पर काटे।
(4) PA का लंब समद्विभाजक XY खींचिए जो PQ को B पर प्रतिच्छेद करे।
(5) AQ का लंब समद्विभाजक RS खींचिए जो PQ को C पर प्रतिच्छेद करे।

(6) AB और AC को मिलाइए।
(7) इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज की रचना करें जिसमें AB = 4 cm, BC = 5 cm तथा BC पर माध्यिका AD = 2.5 cm हो।
हल :
रचना के चरण :
(1) एक रेखाखंड BC = 5 cm खींचिए।
(2) BC का लंब समद्विभाजक खींचे जो BC को D पर काटे।
(3) अब B को केंद्र मानकर 4 cm त्रिज्या की परकार से एक चाप लगाओ।
(4) D को केंद्र मानकर 2.5 cm त्रिज्या की परकार से एक चाप लगाओ। जो चरण (3) की चाप को A पर काटे।
(5) AB और AC को मिलाओ।
(6) ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोण का माप होगा-

(A) 90°
(B) 60°
(C) 450
(D) 180°
उत्तर-
(A) 90°

प्रश्न 2.
आकृति में ∠ABC का मान 60° है इसके समद्विभाजक का मान होगा-

(A) 60°
(B) 30°
(C) 90°
(D) 120°
उत्तर-
(B) 30°

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC का परिमाप 11 cm है, इसमें AB = 3 cm तथा BC = 4 cm हैं, तो CA का मान होगा-
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 2.5 cm
(D) 5 cm
उत्तर-
(B) 4 cm

प्रश्न 4.
105° के कोण के समद्विभाजक का मान होगा-
(A) 50\(\frac{1}{2}\)°
(B) 51\(\frac{1}{2}\)°
(C) 52\(\frac{1}{2}\)°
(D) 53\(\frac{1}{2}\)°
उत्तर-
(C) 52\(\frac{1}{2}\)°

प्रश्न 5.
किसी त्रिभुज में शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा को कहा जाता है-
(A) माध्यिका
(B) लंब समद्विभाजक
(C) कोण समद्विभाजक
(D) कर्ण
उत्तर-
(A) माध्यिका

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज के आधार की लंबाई 5 cm, दो शेष भुजाओं की लंबाई का योग 7.8 cm है तथा इसका आधार कोण 60° है, तो परिमाप होगा-
(A) 2.8 cm
(B) 17.8 cm
(C) 12.8 cm
(D) 15.6 cm
उत्तर-
(C) 12.8 cm

प्रश्न 7.
75° के कोण के समद्विभाजक का मान होगा-
(A) 75°
(B) 150°
(C) 37\(\frac{1}{2}\)°
(D) 45°
उत्तर-
(C) 37\(\frac{1}{2}\)°

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से कौन-सा कोण परकार की सहायता से नहीं बनाया जा सकता है ?
(A) 30°
(B) 22\(\frac{1}{2}\)°
(C) 15°
(D) 20°
उत्तर-
(D) 20°

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में से कौन-सा कोण परकार की सहायता से बनाया जा सकता है ?
(A) 37\(\frac{1}{2}\)°
(B) 20\(\frac{1}{2}\)°
(C) 10\(\frac{1}{2}\)°
(D) 65\(\frac{1}{2}\)°
उत्तर-
(A) 37\(\frac{1}{2}\)°

प्रश्न 10.
किस कोण के समद्विभाजक द्वारा 22\(\frac{1}{2}\)° का कोण प्राप्त होता है ?
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 45°

प्रश्न 11.
जिस त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° हो, उसे कहा जाता है-
(A) समकोण त्रिभुज
(B) अधिक कोण त्रिभुज
(C) समबाहु त्रिभुज
(D) समद्विबाहु त्रिभुज
उत्तर-
(C) समबाहु त्रिभुज

प्रश्न 12.
75° का कोण प्राप्त होता है-
(A) 60° व 90° के समद्विभाजक द्वारा
(B) 60° व 120° के समद्विभाजक द्वारा
(C) 90° व 45° के समद्विभाजक द्वारा
(D) 0° व 90° के समद्विभाजक द्वारा
उत्तर-
(A) 60° व 90° के समद्विभाजक द्वारा

प्रश्न 13.
105° का कोण प्राप्त होता है-
(A) 60° व 90° के समद्विभाजक द्वारा
(B) 60° व 120° के समद्विभाजक द्वारा
(C) 90° व 120° के समद्विभाजक द्वारा
(D) 120° व 0° के समद्विभाजक द्वारा
उत्तर-
(C) 90° व 120° के समद्विभाजक द्वारा

प्रश्न 14.
135° का कोण प्राप्त होता है-
(A) 90° व 180° के समद्विभाजक द्वारा
(B) 90° व 150° के समद्विभाजक द्वारा
(C) 90° व 120° के समद्विभाजक द्वारा
(D) 150° व 180° के समद्विभाजक द्वारा
उत्तर-
(A) 90° व 180° के समद्विभाजक द्वारा

प्रश्न 15.
22\(\frac{1}{2}\)° का कोण प्राप्त किया जा सकता है-
(A) 0° व 30° के समद्विभाजक द्वारा
(B) 0° व 45° के समद्विभाजक द्वारा
(C) 0° व 60° के समद्विभाजक द्वारा
(D) 0° व 90° के समद्विभाजक द्वारा
उत्तर-
(B) 0° व 45° के समद्विभाजक द्वारा

प्रश्न 16.
निम्नलिखित में से कौन-सा कोण सेट-स्क्वायर द्वारा नहीं बनाया जा सकता ?
(A) 30°
(B) 45°
(C) 90°
(D) 75°
उत्तर-
(D) 75°

प्रश्न 17.
किस कोण को समकोण कहा जाता है ?
(A) 0°
(B) 30°
(C) 90°
(D) 180°
उत्तर-
(C) 90°

प्रश्न 18.
निम्नलिखित में से कौन-सा न्यून कोण है ?
(A) 22\(\frac{1}{2}\)°
(B) 90°
(C) 122\(\frac{1}{2}\)°
(D) 182\(\frac{1}{2}\)°
उत्तर-
(A) 22\(\frac{1}{2}\)°

प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से कौन-सा अधिक कोण है ?
(A) 22\(\frac{1}{2}\)°
(B) 90°
(C) 122\(\frac{1}{2}\)°
(D) 62\(\frac{1}{2}\)°
उत्तर-
(C) 122\(\frac{1}{2}\)°

प्रश्न 20.
निम्नलिखित में से कौन-सा शून्य कोण है ?
(A) 90°
(B) 45°
(C) 22\(\frac{1}{2}\)°
(D) 0°
उत्तर-
(D) 0°

प्रश्न 21.
60° व 120° के कोणों के बीच के समद्विभाजक से प्राप्त होने वाला कोण होता है-
(A) 90°
(B) 105°
(C) 75°
(D) 67\(\frac{1}{2}\)°
उत्तर-
(A) 90°

प्रश्न 22.
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है-
(A) 30° का
(B) 45° का
(C) 60° का
(D) 90° का
उत्तर-
(C) 60° का

प्रश्न 23.
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग होता है-
(A) एक समकोण
(B) दो समकोण
(C) तीन समकोण
(D) चार समकोण
उत्तर-
(B) दो समकोण

प्रश्न 24.
एक त्रिभुज ABC में ∠B = 60° तथा ∠C = 45° है तो ∠A का मान होगा-
(A) 60°
(B) 45°
(C) 75°
(D) 30°
उत्तर-
(C) 75°

प्रश्न 25.
समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने की भुजा कहलाती है-
(A) आधार
(B) लम्ब
(C) विकर्ण
(D) कर्ण
उत्तर-
(D) कर्ण

प्रश्न 26.
जिस त्रिभुज में दो भुजाएँ समान हों उसे कहा जाता है-
(A) समद्विबाहु त्रिभुज
(B) विषमबाहु त्रिभुज
(C) समबाहु त्रिभुज
(D) समकोण त्रिभुज
उत्तर-
(A) समद्विबाहु त्रिभुज

प्रश्न 27.
जिस त्रिभुज में तीन भुजाओं की लम्बाइयाँ अलग-अलग हों उसे कहा जाता है-
(A) समद्विबाहु त्रिभुज
(B) विषमबाहु त्रिभुज
(C) समबाहु त्रिभुज
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर-
(B) विषमबाहु

प्रश्न 28.
त्रिभुज निम्नलिखित में से कौन-सा त्रिभुज बनाना सम्भव नहीं है ?
(A) दो न्यून कोणों वाला
(B) एक समकोण वाला
(C) दो अधिक कोणों वाला
(D) एक समकोण व दो न्यून कोणों वाला
उत्तर-
(C) दो अधिक कोणों वाला

प्रश्न 29.
एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 cm तथा लम्ब 5 cm है। इसका परिमाप होगा-
(A) 30 cm
(B) 25 cm
(C) 17 cm
(D) 18 cm
उत्तर-
(A) 30 cm

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 6 रेखाएँ और कोण

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
सिद्ध करें कि यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
हल :
दिया है :
दो रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इससे शीर्षाभिमुख कोणों के दो युग्म
(i) ∠AOC और ∠BOD व
(ii) ∠AOD और ∠BOC प्राप्त होते हैं
सिद्ध करना है :
(i) ∠AOC = ∠BOD
(ii) ∠AOD = ∠BOC

प्रमाण : आकृति अनुसार किरण OA, रेखा CD पर खड़ी है।
∴ ∠AOC + ∠AOD = 180° [रैखिक युग्म अभिगृहीत] …(1)
इसी प्रकार किरण OD, रेखा AB पर खड़ी है।
∴ ∠AOD + ∠BOD = 180° [रैखिक युग्म अभिगृहीत] …(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
⇒ ∠AOC = ∠BOD
इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है ∠AOD = ∠BOC.

प्रश्न 2.
आकृति में, OP, OQ, OR और OS चार किरणें हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360° है।

हल :

किरण OQ को एक बिंदु T तक पीछे बढ़ा दें ताकि TOQ एक रेखा हो (आकृति अनुसार) अब किरण OP रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः ∠TOP + ∠POQ = 180° ………….(1)
रैखिक युग्म अभिगृहीत]
इसी प्रकार, किरण OS रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः ∠TOS + ∠SOQ = 180° …………..(2)
∠SOQ = ∠SOR + ∠QOR है।
अतः समीकरण (2) निम्न हो जाती है :
∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 180° …………..(3)
समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर,
∠TOP + ∠POQ + ∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 360°
∠TOP + ∠TOS = ∠POS ………………(5)
समीकरण (4) व (5) से –
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360° [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों के एक युग्म के समद्विभाजक परस्पर समांतर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों रेखाएँ भी परस्पर समांतर होती हैं।
हल :
दिया है : एक तिर्यक रेखा AD दो रेखाओं PQ और RS को क्रमशः बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करती है। किरण BE, ∠ABQ की समद्विभाजक है और किरण CG ∠BCS की समद्विभाजक है तथा BE || CG है।

सिद्ध करना है : PQ || RS
प्रमाण : क्योंकि किरण BE, ∠ABQ की समद्विभाजक है।
∠ABE = \(\frac{1}{2}\) ∠ABQ
इसी प्रकार किरण CG ∠BCS की समद्विभाजक है।
∠BCG = \(\frac{1}{2}\) ∠BCS ……………..(2)
परंतु, BE || CG है और AD एक तिर्यक रेखा है।
अतः ∠ABE = ∠BCG …………….(3)
[संगत कोण अभिगृहीत] समीकरण (1), (2) व (3) से
\(\frac{1}{2}\)∠ABQ = \(\frac{1}{2}\) ∠BCS अर्थात्
∠ABQ = ∠BCS
परंतु, ये तिर्यक रेखा AD द्वारा रेखाओं PQ और RS के साथ बनाए गए संगत कोण हैं और ये बराबर हैं।
अतः PQ || RS [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
सिद्ध करें कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
हल :
दिया है : एक त्रिभुज ABC जिसके तीन कोण ∠1, ∠2 व ∠3 हैं।
सिद्ध करना है : ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
रचना : बिंदु A से BC के समांतर रेखा DE खींचे जिससे दर्शाए अनुसार दो कोण ∠4 व ∠5 बन जाएँ।
प्रमाण : क्योंकि DE || BC तथा AB तिर्यक रेखा है।
∴ ∠2 = ∠4 (एकांतर कोण) ………………..(1)
इसी प्रकार DE || BC तथा AC तिर्यक रेखा है।
∠3 = ∠5 (एकांतर कोण) ………………..(2)

समीकरण (1) व (2) से
∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠5
परंतु
दोनों ओर ∠1 जोड़ने पर
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠4 + ∠5
∠1 + ∠4 + ∠5 = 180° [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ || RS, ∠MXQ = 135° और ∠MYR= 40° है, तो ∠XMY का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ m से होकर, रेखा PQ के समांतर एक रेखा AB खींचिए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। अब, AB || PQ और PQ || RS है।
अतः AB || RS है।

अब ∠QXM + ∠XMB = 180°
(AB || PQ, तिर्यक रेखा XM के एक ही ओर के अंतः कोण)
परन्तु ∠QXM = 135° है।
इसलिए, 135° + ∠XMB = 180°
अतः ∠XMB = 45° …………..(1)
अब ∠BMY = ∠MYR (AB || RS, एकांतर कोण)
अतः ∠BMY = 40°
(1) और (2) को जोड़ने पर, आपको प्राप्त होगा
∠XMB + ∠BMY = 45° + 40°
अर्थात् ∠XMY = 85°.

प्रश्न 6.
आकृति में, AB || CD और CD || Er है। साथ ही EA ⊥ AB है। यदि ZBEF = 55° है, तो x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।

हल :
क्योंकि AB || CD व CD || EF
∴ AB || EF
परन्तु EA ⊥ AB
EA ⊥ EF
∠BEF + ∠BCA = 90°
55° + z = 90°
z = 90° – 55° = 35°
अब क्योंकि CD || EF (दिया है)
y + 55° = 180° (तिर्यक रेखा के एक ओर के अन्तः कोण)
y = 180° – 55° = 125°
इसी प्रकार
AB || CD (दिया है)। (एकान्तर कोण युग्म)
∠x = ∠y
x = 125°
x = 125°, y = 125°, z = 35°.

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
यदि रैखिक युग्म का एक कोण न्यून कोण हो तो दूसरा __________ कोण होगा।
(A) सम
(B) न्यून
(C) अधिक
(D) समान
उत्तर-
(C) अधिक

प्रश्न 2.
यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करती हों, तो शीर्षाभिमुख कोण __________ होते हैं।
(A) समान
(B) असमान
(C) समकोण
(D) अधिक कोण
उत्तर-
(A) समान

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) रैखिक युग्म बनाने वाले कोण संपूरक होते हैं
(B) यदि दो आसन्न कोण समान हों, तो प्रत्येक कोण 90° का होता है
(C) यदि रैखिक युग्म बनाने वाले कोण बराबर हों, तो इनमें से प्रत्येक कोण 90° का है
(D) यदि दो रेखाएँ आपस में काटती हों तथा शीर्षाभिमुख कोणों का एक युग्म न्यून कोणों से बना हो, तो दूसरा युग्म अधिक कोणों द्वारा बनेगा
उत्तर-
(B) यदि दो आसन्न कोण समान हों, तो प्रत्येक कोण 90° का होता है

प्रश्न 4.
आकृति में, रेखाएँ PQ और RS परस्पर बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 है, तो ∠SOQ का मान होगा-

(A) 105°
(B) 75°
(C) 100°
(D) 80°
उत्तर-
(B) 75°

प्रश्न 5.
आकृति में, OP, OQ, OR और OS चार किरणें हैं तो ∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS का मान होगा-

(A) 180°
(B) 90°
(C) 270°
(D) 360°
उत्तर-
(D) 360°

प्रश्न 6.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° हो और ∠BOD = 40° हो, तो ∠BOE का मान होगा-

(A) 30°
(B) 70°
(C) 40°
(D) 90°
उत्तर-
(A) 30°

प्रश्न 7.
आकृति में, ∠PRQ = 70° है तो ∠PRT का मान होगा-

(A) 70°
(B) 20°
(C) 100°
(D) 110°
उत्तर-
(D) 110°

प्रश्न 8.
आकृति के अनुसार, यदि x + y = w + z हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) AOB एक रेखा है
(B) AOC एक रेखा है
(C) COD एक रेखा है
(D) BOD एक रेखा है
उत्तर-
(A) AOB एक रेखा है

प्रश्न 9.
आकृति में, AB || CD और CD || EF है। साथ ही, EA ⊥ AB है। यदि ∠BEF = 55° है, तो x और y के मान क्रमशः होंगे-

(A) 125° व 35°
(B) 55° व 35°
(C) 35° व 55°
(D) 125° व 55°
उत्तर-
(A) 125° व 35°

प्रश्न 10.
आकृति में, यदि ∠BOC = 50° हो, तो ∠x और ∠y का मान क्रमशः होगा-

(A) 50° व 130°
(B) 130° व 50°
(C) 50° व 40°
(D) 40° व 50°
उत्तर-
(A) 50° व 130°

प्रश्न 11.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : 2 = 3 : 7 है, तो x का मान होगा

(A) 54०
(B) 126°
(C) 180°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 126°

प्रश्न 12.
आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠FGE का मान होगा-

(A) 126°
(B) 36°
(C) 54°
(D) 90°
उत्तर-
(C) 54°

प्रश्न 13.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS का मान होगा-

(A) 20°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 130°
उत्तर-
(C) 60°

प्रश्न 14.
आकृति में, ∆ABC की भुजाओं BA और CB को क्रमशः बिंदुओं D और E तक बढ़ाया गया है। यदि ∠DAC = 135° और ∠ABE = 110° हो, तो ∠ACB का मान होगा-

(A) 110°
(B) 135°
(C) 65°
(D) 115°
उत्तर-
(C) 65°

प्रश्न 15.
आकृति में, यदि ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और 70 क्रमशः ∆XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक है, तो ∠OZY का मान होगा-

(A) 110°
(B) 121°
(C) 122°
(D) 64°
उत्तर-
(A) 32°

प्रश्न 16.
आकृति में, ∆ABC की भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है तथा ∠BAC = 60° व ∠ACD = 110° है तो ∠x का मान होगा-

(A) 110°
(B) 60°
(C) 50°
(D) 70°
उत्तर-
(C) 50°

प्रश्न 17.
किसी त्रिभुज में __________ से अधिक समकोण नहीं हो सकते।
(A) एक
(B) दो
(C) तीन
(D) चार
उत्तर-
(A) एक

प्रश्न 18.
किसी चतुर्भुज में __________ से अधिक समकोण नहीं हो सकते।
(A) एक
(B) दो
(C) तीन
(D) चार
उत्तर-
(B) दो

प्रश्न 19.
चतुर्भुज के चार कोणों का योग __________ होता है।
(A) एक समकोण
(B) दो समकोण
(C) तीन समकोण
(D) चार समकोण
उत्तर-
(D) चार समकोण

प्रश्न 20.
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग होता है-
(A) 90°
(B) 180°
(C) 270°
(D) 360°
उत्तर-
(B) 180°

प्रश्न 21.
आकृति में, x का मान होगा-

(A) 50°
(B) 70°
(C) 120°
(D) 20°
उत्तर-
(C) 120°

प्रश्न 22.
आकृति में QT ⊥ PR, ∠TQR = 40° और ∠SPR = 30° है, तो x का मान होगा-

(A) 30°
(B) 40°
(C) 50°
(D) 90°
उत्तर-
(C) 50°

प्रश्न 23.
आकृति में, POQ एक रेखा है, ∠POR = 4x और ∠QOR = 2x है, तो x का मान होगा-

(A) 15°
(B) 30°
(C) 120°
(D) 60°
उत्तर-
(B) 30°

प्रश्न 24.
आकृति में,∠POR और ∠QOR एक रैखिक युग्म बनाते हैं, यदि a – b = 80° हो, तो ∠a का मान होगा-

(A) 50°
(B) 80°
(C) 70°
(D) 90°
उत्तर-
(C) 130°

प्रश्न 25.
आकृति में, यदि ∠AOC + ∠BOD = 70° हो, तो ∠COD का मान होगा-

(A) 20°
(B) 150°
(C) 70°
(D) 110°
उत्तर-
(D) 110°

प्रश्न 26.
आकृति में, ∠NOP का मान होगा-

(A) 68°
(B) 61°
(C) 51°
(D) 41°
उत्तर-
(B) 61°

प्रश्न 27.
आकृति में, ∠BOD का मान होगा-

(A) 180
(B) 36°
(C) 54°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 36°

प्रश्न 28.
आकृति में, x के किस मान के लिए AOB एक रेखा बनेगी यदि ∠AOC = 4x और ∠BOC = 6x + 30° हो ?

(A) 15°
(B) 60°
(C) 120°
(D) 180°
उत्तर-
(A) 15°

प्रश्न 29.
आकृति में, AB, CD और PQ तीन रेखाएँ हैं जोकि 0 पर संगामी हैं यदि ∠AOP = 5y, ∠QOD = 2y और ∠BOC = 5y हो, तो y का मान होगा-

(A) 15°
(B) 30°
(C) 75°
(D) 150°
उत्तर-
(A) 15°

प्रश्न 30.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा कथन सत्य है
(A) यदि दो आसन्न कोण समान हों तो प्रत्येक कोण 90° का होता है
(B) रैखिक युग्म बनाने वाले कोण संपूरक होते हैं
(C) रैखिक युग्म बनाने वाले दोनों कोण न्यून कोण हो सकते हैं
(D) किसी समतल में दो भिन्न रेखाओं के दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं
उत्तर-
(B) रैखिक युग्म बनाने वाले कोण संपूरक होते हैं

प्रश्न 31.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) यदि दो रेखाएँ एक तिर्यक रेखा के द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं तब संगत कोण बराबर होते हैं
(B) दो रेखाएँ जोकि एक ही रेखा पर लंब हैं, परस्पर लंब होती हैं।
(C) यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो रेखा के एक ओर के आंतरिक कोण समान होते हैं
(D) दो रेखाएँ जोकि एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं
उत्तर-
(D) दो रेखाएँ जोकि एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं

प्रश्न 32.
यदि रैखिक युग्म का एक कोण समकोण हो, तो दूसरा होगा-
(A) न्यून कोण
(B) समकोण
(C) अधिक कोण
(D) ऋजु कोण
उत्तर-
(B) समकोण

प्रश्न 33.
यदि एक किरण एक रेखा पर स्थित हो, तो इस प्रकार निर्मित दो आसन्न कोणों का योग होता है-
(A) 90°
(B) 150°
(C) 180°
(D) 360°
उत्तर-
(C) 180°

प्रश्न 34.
70° के कोण का संपूरक कोण युग्म होगा-
(A) 70°
(B) 20°
(C) 110°
उत्तर-
(C) 110°

प्रश्न 35.
35° के कोण का पूरक कोण युग्म होगा-
(A) 35°
(B) 55°
(C) 145°
उत्तर-
(B) 55°

प्रश्न 36.
निम्नलिखित में से कौन-सा पूरक कोण युग्म है ?
(A) 110°, 70°
(B) 50°, 30°
(C) 150°, 30°
(D) 50°, 40°
उत्तर-
(D) 50°, 40°

प्रश्न 37.
निम्नलिखित में से कौन-सा संपूरक कोण युग्म है ?
(A) 110°, 70°
(B) 50°, 40°
(C) 100°, 70°
(D) 70°, 20°
उत्तर-
(A) 110°, 70°

प्रश्न 38.
दो कोणों का योग 180° हो, तो ऐसे कोण कहलाते हैं-
(A) न्यून कोण
(B) पूरक कोण
(C) संपूरक कोण
(D) प्रतिवर्ती कोण
उत्तर-
(C) संपूरक कोण

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति को देखकर निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए:

(i) बिंदु B का भुज और कोटि क्रमशः __________ और __________ हैं। अतः B के निर्देशांक (__________, __________) हैं।
(ii) बिंदु M के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः __________ और __________ हैं। अतः Mके निर्देशांक (__________, __________) हैं।
(iii) बिंदु L के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः __________और __________ है। अतः L के निदेशाक (__________, __________) हैं।
(iv) बिंदु के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः __________ और __________ हैं। अतः के निर्देशांक (__________, __________) हैं।
हल :
आकृति अनुसार,
(i) बिंदु B का भुज और कोटिं क्रमशः 4 और 3 हैं। अतः B के निर्देशांक (4, 3) हैं।
(ii) बिंदु M के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः – 3 और 4 हैं। अतः M के निर्देशांक (- 3, 4) हैं।
(iii) बिंदु L के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः – 5 और – 4 हैं। अतः L के निर्देशांक (- 5, – 4) हैं।
(iv) बिंदु s के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः 3 और – 4 हैं। अतः S के निर्देशांक (3, – 4) हैं।

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिंदुओं को तल पर आलेखित कीजिए-

हल :
संलग्न आकृति में बिंदुओं की स्थितियाँ बिन्दुओं द्वारा दर्शाई गई हैं जोकि, A (- 2, 5), B(- 1, – 3), C(0, 4) व D(2, – 3) हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्या युग्मों को कार्तीय तल के बिन्दुओं के रूप में आलेखित कीजिए-

हल :
आकृति में बिन्दुओं की स्थितियाँ बिन्दुओं (dots) द्वारा दर्शाई गई हैं जो कि A(- 2, – 3), B(- 3, 7), C(3, – 1) व D(0, – 1.5) हैं।

प्रश्न 4.
बिंदुओं A(2,0), B (2, 2) व C (0, 2) को खींचिए तथा रेखाखंड OA,AB, BC तथा CO को मिलाइए। इससे हमें कौन-सी आकृति प्राप्त होती है?

हल :
बिंदुओं A (2, 0), B (2, 2), C (0, 2) व O (0, 0) को आकृति में दर्शाया गया है। OA, AB, BC तथा CO को मिलाने पर पता चलता है कि OA = AB = BC = CO = 2 इकाई ।
तथा ∠A = ∠B = ∠C = 90°
अतः OABC एक वर्ग है।

प्रश्न 5.
बिंदु (1, – 1) और (3, 3) को कार्तीय तल में खींचिए और इनसे गुजरती हुई एक सरल रेखा खींचिए। अब एक अन्य बिंदु (- 3, 3) खींचकर ज्ञात कीजिए क्या ये सरल रेखा पर है या नहीं।
हल :

कार्तीय तल A (1, – 1) व B (3, 3) बिंदु हैं, जिन्हें मिलाने पर रेखा AB प्राप्त होती है। अब C बिंदु (- 3, 3) खींचा गया है जो आकृति से स्पष्ट होता है कि सरल रेखा पर नहीं है।

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
y-अक्ष से किसी बिन्दु की दूरी को कहा जाता है-
(A) x-निर्देशांक
(B) y-निर्देशांक
(C) शून्य-निर्देशांक
(D) z-निर्देशांक
उत्तर-
(A) x-निर्देशांक

प्रश्न 2.
x-अक्ष से किसी बिन्दु की दूरी को कहा जाता है-
(A) x-निर्देशांक
(B) y-निर्देशांक
(C) शून्य-निर्देशांक
(D) z-निर्देशांक
उत्तर-
(B) y-निर्देशांक

प्रश्न 3.
x-अक्ष और -अक्ष के प्रतिच्छेद बिन्दु को कहा जाता है-
(A) शून्य बिन्दु
(B) x-बिन्दु
(C) y-बिन्दु
(D) मूल बिन्दु
उत्तर-
(D) मूल बिन्दु

प्रश्न 4.
मूल बिन्दु के निर्देशांक होते हैं-
(A) x,0
(B) 0, x-अक्ष
(C) 0,0
(D) xy
उत्तर-
(C) 0,0

प्रश्न 5.
x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक होते हैं-
(A) x, 0
(B) 0, y
(C) 0, 0
(D) x, y
उत्तर-
(A) x, 0

प्रश्न 6.
y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक होते हैं-
(A) x, 0
(B) 0, y
(C) 0, 0
(D) x, y
उत्तर-
(B) 0,

प्रश्न 7.
कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज रेखा को कहा जाता है-
(A) y-अक्ष
(B) शून्य अक्ष
(C) x-अक्ष
(D) मूल-अक्ष
उत्तर-
(C) x-अक्ष

प्रश्न 8.
x-अक्ष कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को कहा जाता है-
(A) y-अक्ष
(B) शून्य अक्ष
(C) x-अक्ष
(D) मूल-अक्ष
उत्तर-
(A) y-अक्ष

प्रश्न 9.
y-निर्देशांक का दूसरा नाम होता है-
(A) कोटि
(B) भुज
(C) चतुर्थांश
(D) मूलांश
उत्तर-
(A) कोटि

प्रश्न 10.
x-निर्देशांक का दूसरा नाम होता है-
(A) कोटि
(B) भुज
(C) चतुर्थांश
(D) मूलांश
उत्तर-
(B) भुज

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति में B का भुज है-
(A) 3
(B) 7
(C) 4
(D) 1

उत्तर-
(C) 4

प्रश्न 12.
प्रश्न 11 की आकृति में M की कोटि है-
(A) 4
(B) 3
(C) – 4
(D) – 3
उत्तर-
(A) 4

प्रश्न 13.
प्रश्न 11 की आकृति में M के निर्देशांक हैं-
(A) (3, 4)
(B) (3, – 4)
(C) (- 3, – 4)
(D) (- 3, 4)
उत्तर-
(D) (- 3, 4)

प्रश्न 14.
प्रश्न 11 की आकृति में L के निर्देशांक हैं-
(A) (5, 4)
(B) (- 5, – 4)
(C) (- 5, 4)
(D) (5, – 4)
उत्तर-
(B) (- 5, – 4)

प्रश्न 15.
प्रश्न 11 की आकृति में विन्दु s के x-निर्देशांक तथा y-निर्देशांक क्रमशः हैं-
(A) 3, 4
(B) – 3, 4
(C) 3, – 4
(D) – 3, – 4
उत्तर-
(C) 3, – 4

प्रश्न 16.
प्रश्न 11 की आकृति में चतुर्थांश-I में स्थित बिन्दु का नाम है-
(A) B
(B) M
(C) L
(D) S
उत्तर-
(A) B

प्रश्न 17.
प्रश्न 11 की आकृति में L बिन्दु किस चतुर्थांश में आता है?
(A) चतुर्थांश I में
(B) चतुर्थांश II में
(C) चतुर्थांश III में
(D) चतुर्थांश IV में
उत्तर-
(C) चतुर्थांश III में

प्रश्न 18.
बिन्दु (- 2, 4) कार्तीय तल के किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
(A) चतुर्थांश I में
(B) चतुर्थांश II में
(C) चतुर्थांश III में
(D) चतुर्थांश IV में
उत्तर-
(B) चतुर्थांश II में

प्रश्न 19.
बिन्दु (3, -1) कार्तीय तल के किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
(A) चतुर्थांश I में ।
(B) चतुर्थांश I में
(C) चतुर्थांश III में
(D) चतुर्थांश IV में
उत्तर-
(D) चतुर्थांश IV में

प्रश्न 20.
निर्देशांक (- 6, 4) में भुज का मान क्या है?
(A) 4
(B) 0
(C) – 6
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(C) – 6

प्रश्न 21.
बिन्दु (- 3, -10) कार्तीय तल के किस चतुर्थांश में स्थित होगा-
(A) चतुर्थांश I में
(B) चतुर्थांश II में
(C) चतुर्थांश III में
(D) चतुर्थांश IV में
उत्तर-
(C) चतुर्थांश III में

प्रश्न 22.
बिन्दु (- 1, 0) स्थित होगा-
(A) धन -अक्ष पर
(B) ऋण -अक्ष पर
(C) धन x-अक्ष पर
(D) ऋण x-अक्ष पर
उत्तर-
(D) ऋण x-अक्ष पर

प्रश्न 23.
निम्नलिखित में से कौन-सा बिन्द्र :-अक्ष पर स्थित होगा-
(A) 1, 0
(B) 0, 2
(C) 0, – 1
(D) 0, 7
उत्तर-
(A) 1, 0

प्रश्न 24.
निम्नलिखित में से कौन-सा बिन्दु x-अक्ष पर स्थित नहीं होगा-
(A) 1, 0
(B) 0, 0
(C) – 1, 0
(D) 0, – 7
उत्तर-
(D) 0, – 7

प्रश्न 25.
बिंदु (- 6, 7) किस चतुर्थांश में स्थित है?
(A) पहले
(B) दूसरे
(C) तीसरे
(D) चौथे
उत्तर-
(B) दूसरे

प्रश्न 26.
निम्नलिखित में से कौन-सा बिन्दु y-अक्ष पर स्थित होगा-
(A) 0, 2
(B) 0, – 1
(C) 0, – 5
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में से कौन-सा बिन्दु y-अक्ष पर स्थित नहीं होगा-
(A) 0, -3
(B) 0, 4
(C) – 4, 0
(D) 0, – 4
उत्तर-
(C) – 4, 0

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच . स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते है।

हल :
दिया है : दो समांतर चतुर्भुज ABCD और ABEF एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB तथा FC के मध्य स्थित हैं।
सिद्ध करना है : ar (|| चतुर्भुज ABCD) = ar (|| चतुर्भुज ABEF)
प्रमाण : त्रिभुजो ADF तथा BCE में,
∠AFD = ∠BEC [संगत कोण]
∠ADF = ∠BCF [संगत कोण]
AF = BE [|| चतुर्भुज की सम्मुख भुजा]
∴ ∆ADF ≅ ∆BCE (कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता)
∴ ar (∆ADF) = ar (∆BCE)
दोनों ओर ABED का क्षेत्रफल जोड़ने पर,
ar (∆ADF) + ar (चतुर्भुज ABED) = ar (∆BCE) + ar (चतुर्भुज ABED)
⇒ ar (|| चतुर्भुज ABEF) = ar (|| चतुर्भुज ABCD) [इति सिद्धम]

प्रश्न 2.
एक ही आधार तथा एक ही समांतर रेखाओं के मध्य वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं।

हल :
दिया है : ABC तथा PBC दो त्रिभुज हैं जो कि एक ही आधार BC तथा समांतर रेखाओं BC तथा AP के मध्य स्थित हैं।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल (∆ABC) = क्षेत्रफल (∆PBC)
रचना : B से, BD || CA खींचे, जोकि D तक बढ़ाई हुई रेखा PA, को प्रतिच्छेद करे तथा C से, CQ || BP खींचे, जो रेखा AP को Q पर प्रतिच्छेद करें।
प्रमाण : यहां पर, BD || CA (रचना से)
तथा BC || DA (दिया है)
∴ BCAD एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार, BCQP एक समांतर चतुर्भुज है।
अब, समांतर चतुर्भुज BCQP तथा समांतर चतुर्भुज BCAD एक ही आधार BC पर तथा एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCQP) = क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCAD) ……………(i)
जैसे कि, हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसको समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बांटते हैं।
तथा
क्षेत्रफल (∆PBC) = \(\frac{1}{2}\) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCQP) ……………(ii)
क्षेत्रफल (∆ABC) = \(\frac{1}{2}\) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCAD) ……………(iii)
अब,
क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCQP) = क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCAD) [∵ (i) से]
⇒ \(\frac{1}{2}\) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCAD) = \(\frac{1}{2}\) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BCQP)
समीकरण (ii) तथा (iii) से,
⇒ क्षेत्रफल (∆ABC) = क्षेत्रफल (∆PBC) [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
समान क्षेत्रफल तथा समान आधार वाले त्रिभुजों के संगत शीर्षलंब भी समान होते हैं।

हल :
दिया है : दो त्रिभुज ABC तथा DEF इस प्रकार हैं कि
(i) क्षेत्रफल (∆ABC) = क्षेत्रफल (∆DEF)
(ii) AB = DE
दो त्रिभुजों के CL तथा FM क्रमागत AB तथा DE पर संगत शीर्षलंब हैं।
सिद्ध करना है : CL = FM
प्रमाण : ∆ABC में, CL भुजा AB पर संगत शीर्षलंब है।
∴ क्षेत्रफल (∆ABC) = \(\frac{1}{2}\) (AB × CL) इसी प्रकार, …………..(i)
क्षेत्रफल (∆DEF) = \(\frac{1}{2}\) (DE × FM) ……………..(ii)
क्षेत्रफल (∆ABC) = क्षेत्रफल (∆DEF) (दिया है)
⇒ \(\frac{1}{2}\) (AB × CL) = \(\frac{1}{2}\) (DE × FM) [(i) तथा (ii) से]
⇒ AB × CL = DE × FM
⇒ DE × CL = DE × FM [∵ AB = DE (दिया है)]
⇒ CL = FM [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों मे विभाजित करती है।

हल :
दिया है : ∆ABC में AD उसकी माध्यिका है।
सिद्ध करना है : ar (∆ABD) = ar (∆ACD)
रचना : शीर्ष A से AN ⊥ BC खींचो।
प्रमाण:
ar (ABD) = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलंब
= \(\frac{1}{2}\) BD × AN
= \(\frac{1}{2}\) × CD × AN (∵ BD = CD)
= \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलंब (∆ACD का)
= ar (∆ACD) [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों की लंबाइयों के गुणनफल का आधा होता है।
हल :

दिया है : समचतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल (समचतुर्भुज ABCD) = =(AC × BD)
प्रमाण : क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण 90° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं
अतः OB ⊥ AC व OD ⊥ AC
अब ar (समचतुर्भुज ABCD) = ar (∆ABC) + ar (∆ADC)
= \(\frac{1}{2}\) × (AC × BO) + \(\frac{1}{2}\) (AC × DO)
= \(\frac{1}{2}\) × AC × (BO + DO)
= \(\frac{1}{2}\) × (AC × BD) [इति सिद्धम]

Multiple choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
एक आकृति का _______________ उस आकृति द्वारा घेरे गए तल के भाग से सम्बन्ध (किसी मात्रक में) एक संख्या होती है।
(A) परिमाप
(B) क्षेत्रफल
(C) आयतन
(D) घेरा
उत्तर-
(B) क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है-
(A) आधार × संगत शीर्षलम्ब .
(B) \(\frac{1}{2}\) × आधार × संगत शीर्षलम्ब
(C) 2 × आधार × संगत शीर्षलम्ब
(D) \(\frac{1}{3}\) × आधार संगत शीर्षलम्ब
उत्तर-
(A) आधार × संगत शीर्षलम्ब

प्रश्न 3.
निम्नांकित में से किस आकृति में दोनों आकृतियाँ एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं-

उत्तर-
(B)

प्रश्न 4.
एक ही आधार वाले और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित समान्तर चतुर्भुज _____________ में बराबर होते हैं।
(A) परिमाप
(B) आयतन
(C) लम्बाई
(D) क्षेत्रफल
उत्तर-
(D) क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
एक ही आधार वाले और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज _____________ में बराबर होते हैं।
(A) परिमाप
(B) आयतन
(C) चौड़ाई
(D) क्षेत्रफल
उत्तर-
(D) क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है-
(A) आधार × संगत शीर्षलम्ब
(B) \(\frac{1}{2}\) × आधार × संगत शीर्षलम्ब
(C) 2 × आधार × संगत शीर्षलम्ब
(D) \(\frac{1}{3}\) × आधार × संगत शीर्षलम्ब
उत्तर-
(B) \(\frac{1}{2}\) × आधार × संगत शीर्षलम्ब

प्रश्न 7.
त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले _____________ त्रिभुजों में विभाजित करती है।
(A) एक
(B) दो
(C) तीन
(D) चार
उत्तर-
(B) दो

प्रश्न 8.
किसी समान्तर चतुर्भुज का आधार और शीर्षलम्ब क्रमशः 16 cm और 8 cm हैं, इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 128 cm²
(B) 128 cm
(C) 64 cm²
(D) 64 cm
उत्तर-
(A) 128 cm²

प्रश्न 9.
आधार 20 cm और शीर्षलम्ब 5 cm वाले समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 100 cm
(B) 100 cm²
(C) 50 cm
(D) 50 cm²
उत्तर-
(B) 100 cm²

प्रश्न 10.
उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होगा जिसका आधार 28.5 cm और संगत शीर्षलम्ब 10 cm है-
(A) 142.5 cm
(B) 142.5 cm²
(C) 285 cm²
(D) 285 cm³
उत्तर-
(C) 285 cm²

प्रश्न 11.
आधार 124 cm और शीर्षलम्ब 10 dm वाले समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 1.24 cm²
(B) 1.24 dm²
(C) 1.24 mm²
(D) 1.24 m²
उत्तर-
(D) 1.24 m²

प्रश्न 12.
उस समान्तर चतुर्भुज का शीर्षलम्ब क्या होगा जिसकी एक भुजा 6.5 cm और क्षेत्रफल 26 cm है ?
(A) 4 cm
(B) 4 cm²
(C) 8 cm
(D) 8 cm²
उत्तर-
(A) 4 cm

प्रश्न 13.
क्षेत्रफल 390 cm² और ऊँचाई 26 cm वाले समान्तर चतुर्भुज का आधार होगा-
(A) 15 cm²
(B) 15 cm
(C) 30 cm²
(D) 30 cm
उत्तर-
(B) 15 cm

प्रश्न 14.
क्षेत्रफल 400 cm² और ऊँचाई 8 cm वाले समान्तर चतुर्भुज का आधार होगा-
(A) 100 cm
(B) 100 cm²
(C) 50 cm
(D) 50 cm²
उत्तर-
(C) 50 cm

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सें०मी०, AE = 8 सें०मी० और CF = 10 सें०मी० है, तो AD का मान होगा-

(A) 0.64 cm
(B) 6.4 cm
(C) 1.28 cm
(D) 12.8 cm
उत्तर-
(D) 12.8 cm

प्रश्न 16.
यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हों तो ar (EFGH) = _________ × ar (ABCD)
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) 2
(D) 3
उत्तर-
(A) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 17.
संलग्न आकृति में-Pऔर Q क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं तो निम्न में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?

(A) ar (APB) = ar (APD)
(B) ar (APB) = ar (BQC)
(C) ar (APB) = ar (BPC)
(D) ar (BQC) = ar (ABQ)
उत्तर-
(B) ar (APB) = ar (BQC)

प्रश्न 18.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों की लम्बाइयों के गुणनफल का ______________.
(A) दो-गुना
(B) तीन-गुना
(C) आधा
(D) एक-तिहाई
उत्तर-
(C) आधा

प्रश्न 19.
समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB = 12 सें०मी० हैं। भुजाओं AB तथा AD के संगत शीर्षलंब क्रमशः 6 सें०मी० तथा 8 सें०मी० हैं जैसे कि आकृति में दिखाया गया है। AD का मान होगा-

(A) 6 cm
(B) 8 cm
(C) 12 cm
(D) 9 cm
उत्तर-
(D) 9 cm

प्रश्न 20.
∆ABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिन्दु है तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा?

(A) ar (BED) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC)
(B) ar (BED) = \(\frac{1}{3}\) ar (ABC)
(C) a (BED) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC)
(D) ar (BED) = \(\frac{1}{5}\) ar (ABC)
उत्तर-
(C) ar (BED) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC)

प्रश्न 21.
समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले ____________ त्रिभुजों में बाँटते हैं।
(A) चार
(B) तीन
(C) दो
(D) आठ
उत्तर-
(A) चार

प्रश्न 22.
संलग्न आकृति में D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
(B) ar (DEF) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC)
(C) ar (BDEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC)
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 23.
संलग्न आकृति में बिन्दु D और E क्रमशः AABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?

(A) DE ⊥ BC
(B) DE || BC
(C) DE = BC
(D) DE ⊥ AB
उत्तर-
(B) DE || BC

प्रश्न 24.
किसी त्रिभुज की ऊँचाई और आधार क्रमशः 8 cm व 3 cm हैं, इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 24 cm
(B) 12 cm
(C) 12 cm²
(D) 24 cm²
उत्तर-
(C) 12 cm²

प्रश्न 25.
त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सूत्र है-

उत्तर-
(B)

प्रश्न 26.
आधार 60 cm और क्षेत्रफल 600 cm² वाले त्रिभुज की ऊँचाई होगी-
(A) 20 cm
(B) 10 cm
(C) 5 cm
(D) 40 cm
उत्तर-
(A) 20 cm

प्रश्न 27.
आधार 80 cm और क्षेत्रफल 0.08 m² वाले त्रिभुज की ऊँचाई होगी-
(A) 10 cm
(B) 20 cm
(C) 10 m
(D) 20 m
उत्तर-
(B) 20 cm

प्रश्न 28.
विकर्णों 80 cm और 60 cm वाले एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 3600 cm²
(B) 9600 cm²
(C) 4800 cm²
(D) 2400 cm²
उत्तर-
(D) 2400 cm²

प्रश्न 29.
त्रिभुज का आधार ज्ञात करने का सूत्र हैक्षेत्रफल

उत्तर-
(B)

प्रश्न 30.
शीर्षलम्ब 10 cm और क्षेत्रफल 0.5 m² वाले त्रिभुज का आधार होगा-
(A) 10 m
(B) 20 m
(C) 10 cm
(D) 20 cm
उत्तर-
(A) 10 m