Class 10

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है-

हल :
(i) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = 3
n = 8
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
7+ (8 – 1) x 3
= 7 + 21 = 28

(ii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = -18
सार्व अंतर (d) = ?
n = 10
a₁₀ = 0
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n – 1)d
a₁₀ = a + (10 – 1)d
0 = -18 + 9(d)
9d = 18
d= 18/9 = 2
अतः सार्व अंतर (d) = 2

(iii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = ?
सार्व अंतर (d) = -3
n = 18
a₁₈= -5
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
a₁₈ = a + (18 – 1)d
-5 = a + 17(-3).
a = -5 +51
a = 46
प्रथम पद (a) = 46

(iv) यहाँ पर
प्रथम पद (a) =-18.9
सार्व अंतर (d) = 2.5
n = ?
a_n = 3.6
a_n= a + (n-1)d
3.6 = -18.9 + (n-1)2.5
3.6 + 18.9 = (n-1)2.5
n-1 = \(\frac{22.5}{2.5}\)
n = 9+ 1
n = 10

(v) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 3.5
सार्व अंतर (d) = 0
n = 105
a₁₀₅ = ? हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
a₁₀₅ = 3.5 + (105 – 1)0
a₁₀₅ = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए-
(i) AP : 10, 7, 4, ……. , का 30वाँ पद है
(A) 97 (B) 77 (C)-77 (D)-87
(ii) AP:-3,\(-\frac{1}{2}\), 2,…….. , का 11वाँ पद है-
(A) 28 (B) 22 . (C)-38 (D) -481/2
हल :
(i) यहाँ पर AP = 10, 7,4,…..
प्रथम पद (a) = 10
सार्व अंतर (a) = 7 – 10 = -3
n = 30
हम जानते हैं कि
a = a + (n-1)d
a₃₀ = a+29d
a₃₀ = 10 + 29(-3)
= 10 – 87 = -77
अतः सही उत्तर = C

(ii) यहाँ पर
AP = -3, \(-\frac{1}{2}\),2, …………
प्रथम पद (a) = -3
सार्व अंतर (d) = \(-\frac{1}{2}-(-3)=-\frac{1}{2}+3=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 11
हम जानते हैं कि
a_n = a+ (n-1)d
a₁₁ = a + 10d
a₁₁ = -3 + 10(5/2)
= -3 + 25 = 22
अतः सही उत्तर = B

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों के पदों को ज्ञात कीजिए-

हल :
(i) हम जानते हैं कि यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हों तो

(ii) यहाँ पर

(iii) यहाँ पर

प्रथम पद (a) = 5
n = 4
a₄ = \(9 \frac{1}{2}=\frac{19}{2}\)
सार्व अंतर (d) = ?
हम जानते हैं कि
a₄ = a + 3d
\(\frac{19}{2}\) = 5 + 3d

(iv) यहाँ पर

प्रथम पद (a) = -4
n = 6
d = ?
a₆ = 6
हम जानते हैं कि
a₆ = a+ 5d
6 = -4 + 5d
5d = 6 +4
d = 10/5 =2
a₂ = a +d=-4 + 2 = -2
a₃ = a + 2d = -4 + 2(2) = -4 + 4 = 0
a₄ = a + 3d =-4 + 3(2) = -4 + 6 = 2
a₅ = a +4d = 4+ 4(2) = –4.+ 8 = 4

(v) यहाँ पर दिया है-

a₂ = 38
a + d = 38 ……….(i)
तथा a₆ = -22
a+ 5d = -22 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
4d = -60
d= \(\frac{-60}{4}\) =-15
d का मान समीकरण (i) में रखने पर, .
a-15 = 38
a = 38+15 = 53
a₁ = 53
a₃ = a + 2d = 53 +2(-15)= 53 -30 = 23
a₄ = a + 3d = 53 + 3(-15)= 53-45 = 8
a₅ = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 – 60 = -7

प्रश्न 4.
AP: 3, 8, 13, 18, ……. का कौन-सा पद 78 है?
हल :
यहाँ पर A.P. = 3, 8, 13, 18, ……..
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (d) = 8 – 3 = 5
a_n = 78
n = ?
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
78 = 3 + (n- 1)5
(n – 1)5 = 78-3
n – 1 = \(\frac{75}{5}\)
n = 15 + 1
n = 16
अतः दी गई AP का 16वाँ पद 78 होगा।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19,…………, 205
(i) 18, 15 1/2, 13….., -47
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 7, 13, 19, ……….., 205
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = 13 – 7 = 6
a_n = 205
n = ?
हम जानते हैं कि
= a+ (n-1)d
205 = 7 + (n-1)6
(n – 1) = \(\frac{205-7}{6}=\frac{198}{6}\) = 33
n = 33 + 1 = 34
अतः दी गई AP में पदों की संख्या = 34

(ii) यहाँ पर
AP = 18,15 1/2, 1….., -47
प्रथम पद (a) = 18
सार्व अंतर (d) = \(\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}=-\frac{5}{2}\)
a_n = -47
n = ?
हम जानते हैं कि
= a_n + (n – 1)d
-47 = 18 + (n-1)(\left(-\frac{5}{2}\right))
(n-1) (\left(-\frac{5}{2}\right))= -47 – 18
(n-1) = -65 x (\(\left(-\frac{2}{5}\right)[/laex])
n-1 = 26
n = 26 + 1 = 27
अतः दी गई AP में पदों की संख्या = 27

प्रश्न 6.
क्या AP : 11, 8, 5, 2,…… का एक पद -150 है? क्यों?
हल :
यहाँ पर
AP = 11, 8, 5, 2, ………..
प्रथम पद (a) = 11
सार्व अंतर (d) = 8-11 = -3
माना दी गई AP का nवाँ पद (a_n) = -150
a+ (n-1)d = -150
11 + (n-1)-3 = -150

क्योंकि n पूर्णांक होना चाहिए।
इसलिए दी गई AP का एक पद -150 नहीं हो सकता।

प्रश्न 7.
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल :
यहाँ पर
a₁₁ = 38
a+ 10d = 38 ……………….(i)
तथा a₁₆ = 73
a + 15d = 73 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
15d – 10d = 73 – 38
5d = 35
d = 35/5 =7
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a+ 10(7) = 38
a = 38 – 70 = -32
अब a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178
अतः AP का 31वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक AP में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
n = 50
a₃ = 12
a+2d = 12 …………….(i)
तथा a₅₀ = 106
a + 49d = 106 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
49d – 2d = 106 – 12
47d = 94
d = [latex]\frac{94}{47}\) = 2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(2) = 12
a = 12 -4 = 8
a₂₉ = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64
अतः AP का 29वाँ पद = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल :
यहाँ पर
a₃ = 4
a+2d = 4 …….(i)
a₉ = -8
a + 8d = -8 ………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
8d – 2d = – 8 – 4
6d = -12
d= -12/6 = -2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(-2) = 4
a = 4 + 4 = 8
माना AP का nवाँ पद (a_n) = 0
a + (n – 1)d = 0
8 + (n – 1)(-2) = 0
(n-1) = \(\frac{-8}{-2}\)
n = 4 + 1 = 5
अतः AP का 5वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = a + 9d + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
d = \(\frac{7}{7}\) =1
अतः AP का सार्व अंतर (d) = 1

प्रश्न 11.
AP: 3, 15, 27, 39,…….. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल :
यहाँ पर
AP = 3, 15, 27, 39, …….
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (a) = 15-3 = 12
माना AP का 7वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है
a_n = a₅₄ + 132
a + (n – 1)d = a+53d+ 132
(n – 1)12 = 53(12) + 132
= 636 + 132 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
n = 64 + 1 = 65 अतः दी गई AP का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
हल :
माना दोनों समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर = d
माना प्रथम समांतर श्रेढ़ी = a, a +d, a+2d, ……………., a + nd
व दूसरी समांतर श्रेढ़ी = a¹, a¹+d, a¹ + 2d, ……………., a¹ + nd
प्रथम समांतर श्रेढ़ी का 100वाँ पद (a₁₀₀) = a + 99d
दूसरी समांतर श्रेढ़ी का 100वाँ पद (a¹_1oo)= a¹ + 99d
a₁₀₀ – a¹₁₀₀ = a-a¹
100 = a – a¹
a – a¹ = 100 …..(i)
इसी प्रकार a₁₀₀₀ – a¹₁₀₀₀ = a – a¹
= 100 [समीकरण (i) से]
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 1000वें पदों का अंतर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल :
हम जानते हैं कि
7 से विभाज्यं तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 105
7 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 994
अतः AP = 105, 112, 119,………, 994
प्रथम पद (a) = 105
सार्व अंतर (a) = 7
a_n = 994
n = ?
हम जानते हैं कि
a_n= a + (n – 1)d
994 = 105 + (n – 1)7
(n – 1) = \(\frac{994-105}{7}\)
n-1 = \(\frac{889}{7}\)
n = 127 + 1
n = 128
अतः तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्याओं की संख्या = 128

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल :
यहाँ पर 10 और 250 के बीच 4 के गुणज = 12, 16, 20, …………., 248
प्रथम पद (a) = 12
सार्व अंतर (a) = 16- 12 = 4
a_n = 248
n = ?
हम जानते हैं कि
= a_n + (n – 1)d
248 = 12 + (n – 1)4
(n-1) = \(\frac{248-12}{4}\)
n-1 = \(\frac{236}{4}\)
n = 59 + 1
n = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60 उत्तर

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67,…….. और 3, 10, 17,…….. के इवें पद बराबर होंगे?
हल :
यहाँ पर
‘प्रथम AP = 63, 65, 67, …………
प्रथम पद (a) = 63
सार्व अंतर (a) = 65 – 63 = 2
nवाँ पद (a.) = a + (n – 1)d
= 63 + (n-1)2
= 63 + 2n-2 = 61 + 2n
तथा दूसरी AP = 3, 10, 17, ………..
प्रथम पद (a¹) = 3
सार्व अंतर (d¹) = 10 – 3 = 7
nवाँ पद (a¹_n) = a¹ + (n-1)d¹
= 3+ (n-1)7
= 3 + 7n – 7 = -4 + 7n
प्रश्नानुसार दोनों AP के n पद समान हैं।
a_n = a_n¹
61 + 2n = -4+7n
7n- 2n = 61 +4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\)
n = 13
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 13वें पद समान होंगे।

प्रश्न 16.
वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल :
यहाँ पर
a = 16
a+2d = 16 ……(i)
a₇ = a₅ + 12
a + 6d = a +4d + 12
a+6d -a-4d = 12
2d = 12
d = 12/2 = 6
d का मान समीकरण (i) में रखने पर, .
a + 2(6) = 16
a = 16 – 12 = 4
अतः अभीष्ट AP = 4, 10, 16, 22, ……….

प्रश्न 17.
AP: 3, 8, 13, …….., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
AP = 3, 8, 13, ……., 253
प्रथम पद (a) = 3
अंतिम पद (1) = 253
सार्व अंतर (d) = 8-3 = 5
अंतिम पद से 20वाँ पद = l- (20 – 1)d
= 253 – 19 x 5
= 253 – 95 = 158

प्रश्न 18.
किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए। हल : माना
AP का प्रथम पद = a
सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
an + ag = 24
(a + 3d) + (a + 7a) = 24
2a+ 10d = 24
a + 5d = 12 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर) ……………..(i)
as + a10 = 44
(a + 5a) + (a + 9d) = 44
2a + 14d = 44
a+7d = 22 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)। …………………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
2d = 10
या d = 10/2 = 5
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 5(5) = 12
a = 12 – 25 = -13
अतः AP के प्रथम तीन पद = -13, -8,-3

प्रश्न 19.
सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रु० के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु० की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु० हो गया?
हल :
यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 5000 रु०
सार्व अंतर (d) = 200 रु०
n = ?
a_n = 7000 रु०
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
7000 = 5000 + (n – 1)200
n-1 = \(\frac{7000-5000}{200}=\frac{2000}{200}\) = 10
n = 10 + 1 = 11.
अतः सुब्बा राव का 11वें वर्ष का वेतन 7000 रु० होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रु० की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 रु० बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 रु० हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 5 रु०
सार्व अंतर (a) = 1.75 रु०
n = ?
a_n = 20.75 रु०
हम जानते हैं कि = a_n + (n-1)d
20.75 = 5 + (n – 1)1.75
n – 1 = \(\frac{20.75-5}{1.75}=\frac{15.75}{1.75}\) = 9
n = 9+ 1 = 10
अतः रामकली की 10वें सप्ताह में साप्ताहिक बचत 20.75 रु० होगी।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.4

प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113, ………, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल :
यहाँ पर AP = 121, 117, 113,…
माना nवाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद है तो
a = 121
d = 117-121 = -4
a_n < 0
n = ?
हम जानते हैं कि a_n < 0
a+ (n-1)d <0
121 + (n-1)(-4) < 0
121-4n+4 <
125 < 4n n > \(\frac{125}{4}\)
n > 31.25
अतः 32वाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना दी गई AP का प्रथम पद =a
तथा सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
a₃ + a₇ = 6
(a +2a) + (a +6a) = 6
2a + 8d = 6
a + 4d = 3 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर) ………….(i)
a₃ x a₇ = 8
(a +2d)(a + 6d) = 8
a² + 6ad + 2ad + 12d² = 8
a²+ 8ad + 12d² = 8
समीकरण (i) से a = 3-4d को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(3-4a)² + 8(3-4d)d + 12d² = 8
9 – 24d + 16d² + 24d – 32d² + 12d² – 8 = 0
4d² + 1 = 0

अतः दी गई AP के प्रथम 16 पदों का योग = 20 व 76

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डडे परस्पर 25cm की दूरी पर हैं (देखिए संलग्न आकृति में)। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डडे की लंबाई 45cm है और सबसे ऊपर वाले डडे की लंबाई 25cm है। यदि ऊपरी और निचले डडे के बीच की दूरी 2 1/2m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?
हल :

यहाँ पर प्रश्नानुसार,
सीढ़ी के दो क्रमागत डंडों के बीच की दूरी = 25cm
सीढ़ी के सबसे निचले व सबसे ऊपरी डंडों के बीच की दूरी = 2.5m = 250cm
सीढ़ी के डंडों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) = 10
दी गई स्थिति अनुसार AP के लिए
a = 45cm
l = 25cm
n = 10
अतः सीढ़ी के डंडों को बनाने के लिए आवश्यक लकड़ी की लंबाई
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{10}{2}\)[45 + 25]
= 5 x 70 = 350cm
= 3.5m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग । के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल : यहाँ पर माना,
मकानों की पंक्ति = H₁, H₂, H₃, ………. , H_x-1, H_x, H_{x + 1}, ………….. , H₄₉
मकान संख्या = 1, 2, 3, ……….. , (x – 1), x, (x + 1), ………. 49
प्रश्नानुसार, 1 + 2 + 3 + …………. + (x – 1) = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3)………..+ 49
1 + 2 + 3 +…… (x – 1) = [1 + 2 + 3 +……….. + (x – 1) + (x), (x + 1)+………. 49]
[1 + 2 + 3 +…. + x] [∵ S_x-1 = S₄₉ – S_x]

x² – x = 49 x 50 – x² – x[दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
2x² = 49 x 50
x² = 49 x 25
(x)² = (7 x 5)²
x = 35

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 1/4 m की चढ़ाई है और 1/2 m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए संलग्न आकृति में)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार,
प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई (l) = 50m
प्रत्येक सीढ़ी की चौड़ाई (b) = \(\frac{1}{4}\) m
पहली सीढ़ी की ऊँचाई (h₁)= \(\frac{1}{4}\)
दूसरी सीढ़ी की ऊँचाई (h₂) = 2 x \(\frac{1}{4} m=\frac{2}{4} m\)
तीसरी सीढ़ी की ऊँचाई (h₃) = 3 x \(\frac{1}{4} m=\frac{3}{4} m\)

= \(\frac{15}{2}\) x 100 = 15 x 50 = 750m

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखंड विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x -5) = 0
⇒ (x – 5)(x + 2) = 0
⇒ x – 5 = 0 या x + 2 = 0
⇒ x = 5 या x = -2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 5 व -2

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0
⇒ x + 2 = 0 या 2x-3 = 0
⇒ x = -2 याx = \(\frac{3}{2}\)
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = -2 व \(\frac{3}{2}\)

(iii) यहाँ पर,
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ x(√2x + 5) + 12 (√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5)(x + √2) = 0
⇒ √2x + 5 = 0 या x + √2 = 0
⇒ x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) या x = -√2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) व -√2

(iv) यहाँ पर,
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0 (दोनों ओर 8 से गुणा करने पर)
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)(4x – 1) = 0
⇒ 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{4}\) या x = \(\frac{1}{4}\)
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{4}\) व \(\frac{1}{4}\)

(v) यहाँ पर,
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1)- 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)(10x – 1) = 0
⇒ 10x – 1= 0 या 10x – 1 = 0
x = 1/10 या x = 1/10
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 1/10 व 1/10

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए-
(i) x² – 45x + 324 = 0
(ii) x² – 55x + 750 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36)(x – 9) = 0
⇒ x – 36 = 0 या x – 9 = 0
⇒ x = 36 या x = 9
अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट हल = 36 व 9

(ii) यहाँ पर,
x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x – 25) = 0
⇒ x – 30 = 0 या x – 25 = 0
⇒ x = 30 या x = 25
अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट हल = 30 व 25

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल :
माना दो संख्याएँ = x तथा
प्रश्नानुसार,
x+y = 27 ………….(i)
xy = 182 ……(ii)
समीकरण (i) से x = 27-y को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(27 – y)y = 182
⇒ 27y – y² = 182
⇒ y² – 27y + 182 = 0
⇒ y² – 14y – 13y + 182 = 0
⇒ y(y – 14) – 13(y – 14) = 0
⇒ (y – 14)(y – 13) = 0
⇒ y – 14 = 0 या y – 13 = 0
⇒ y = 14 या y = 13
यदि y = 14 तो x = 27 – 14 = 13
यदि y = 13 तो x = 27 – 13 = 14
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 13 व 14

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल:
माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x तथा x +1
प्रश्नानुसार
(x)² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14)- 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
⇒ x + 14 = 0 या x – 13 = 0
⇒ x = -14 या x = 13
परंतु x = -14 संभव नहीं है, क्योंकि पूर्णांक धनात्मक है।
अतः अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णाक = 13 व 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है। यदि कर्ण 13cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना,
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
तो समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7)cm
समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13cm
हम जानते हैं कि (आधार)² + (लंब)² = (कर्ण)²
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)²
⇒ x² + x² – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² – 12x + 5x -60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 5) = 0
⇒ x – 12 = 0 या x + 5 = 0
⇒ x = 12 या x = -5
परंतु x = -5 संभव नहीं हैं, क्योंकि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अत ∴ समकोण त्रिभुज का आधार = 12cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (12 – 7)cm = 5cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु० थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या =x
तो विशेष दिन में निर्माण किए गए प्रत्येक बर्तन की लागत= (2x + 3)रु०
प्रश्नानुसार,
x x (2x + 3) = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
⇒ 2x + 15 = 0 या x – 6 = 0
⇒ x = -15/2 या x = 6
परंतु x = -15/2 संभव नहीं है, क्योंकि बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या = 6
विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की लागत = (2 x 6 + 3)रु० = 15 रु०

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं-
(i) (x + 1)- = 2(x – 3)
(ii) – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
(iv) (x – 3)(2x + 1)=x(x + 5)
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
(vii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)
हल :
(i) यहाँ पर,
(x + 1)² = 2(x – 3)
⇒ x² + 1 + 2x = 2x – 6
x² + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
x² + 7 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = 0 और c = 7 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(ii) यहाँ पर,
x² – 2x = (-2) (3 –x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x
⇒ x² – 2x — 2x + 6 = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ar2 + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = -4 और c = 6 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(iii) यहाँ पर,
(x – 2)(x + 1) = (x- 1)(x + 3)
⇒ x² – 2x +x – 2 = x² – x + 3x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x² – x – 2x – 2 + 3 = 0
⇒ -3x + 1 = 0
∵ दिए गए समीकरण की घात एक है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है।

(iv) यहाँ पर,
(x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)
⇒ 2x² – 6x + x -3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
∵दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = -10 और c =-3 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(v) यहाँ पर,
(2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x- 1)
⇒ 2x² – x – 6x + 3 = x² + 5x – x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – x² – 7x-4x + 3 + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = -11 और c = 8 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(vi) यहाँ पर,
x²+ 3x + 1 = (x-2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
⇒ x² – x² + 3x + 4x + 1 – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
∵ दिए गए समीकरण की घात एक है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है।

(vii) यहाँ पर,
(x + 2)³ = 2x(x² – 1)
⇒ (x)³ + (2)³ + 3 x x x 2(x + 2) = 2x³ – 2x
⇒ x³ +8+ 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0 –
⇒ -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
∵ दिए गए समीकरण की घात 3 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है।

(viii) यहाँ पर,
x³ – 4x² – x + 1 = (x -2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = (x)³ – (2)³ – 3 x x x 2(x-2)
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x
⇒ x³ – x³ – 4x² + 6x² – x – 12x + 1 + 8 = 0
⇒ 2x² – 13x +9 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a= 2, b = -13 और c = 9 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528m- है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल :
(i) माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
तो आयताकार भूखंड की लंबाई = (2x + 1)m
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई
= x(2x + 1)m²
= (2x² + x)m²
प्रश्नानुसार,
2x² +x = 528
⇒ 2x² +x – 528 = 0
⇒ 2x² + 33x – 32x – 528 = 0
⇒ x(2x + 33)- 16(2x + 33) = 0
⇒ (2x + 33)(x – 16) = 0
⇒ 2x + 33 = 0 या x – 16 = 0
⇒ x= -33/2 या x = 16
परंतु चौड़ाई ऋणात्मक संभव नहीं है। .
∴ आयताकार भूखंड की लंबाई = (2 x 16 + 1)m = 33m
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = 16m

(ii) माना दो क्रमागत पूर्णांक = x व x +1
प्रश्नानुसार,
x(x + 1) = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
⇒ x² + 18x – 17x – 306 = 0
⇒ x(x + 18)-17(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 17) = 0
⇒ x + 18 = 0 या x – 17 = 0
⇒ x = -18 या x = 17
परंतु -18 संभव नहीं है, क्योंकि पूर्णांक धनात्मक दिया है।
∴ अभीष्ट पूर्णांक = 17 एवं 18

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष पश्चात् रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
3 वर्ष पश्चात् रोहन की माँ की आयु = (x + 26 + 3) वर्ष
= (x + 29) वर्ष
प्रश्नानुसार,
(x + 3) x (x + 29) = 360
⇒ x² + 3x + 29x + 87-360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
⇒ x² + 39x – 7x – 273 = 0
⇒ x(x + 39)-7(x + 39) = 0
⇒ (x + 39)(x – 7) = 0
⇒ x+ 39 = 0 या x-7 = 0
⇒ x = -39 या x = 7
परंतु x = -39 संभव नहीं है, क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष

(iv) माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल = xkm/h
रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 480km/h
सामान्य चाल से 480km दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{480}{x}\)h
दूसरी अवस्था में रेलगाड़ी की चाल = (x – 8)km/n
दूसरी अवस्था में रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac{480}{x-8} \mathrm{~h}\)
प्रश्नानुसार,
\(\frac{480}{x}=\frac{480}{x-8}-3\)
⇒ 480(x – 8) = 480x – 3x(x – 8)
⇒ 480x – 3840 = 480x – 3x² + 24x
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
⇒ x² – 40x + 32x -1280 = 0
⇒ x(x – 40) + 32(x – 40) = 0
⇒ (x – 40)(x + 32) = 0
⇒ x – 40 = 0 या x + 32 = 0
⇒ x = 40 या x =-32
परंतु x = -32 संभव नहीं है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ रेलगाड़ी की सामान्य चाल = 40km/h

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना अनी की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा बीजू की वर्तमान आयु = y वर्ष
धरम की वर्तमान आयु = 2x वर्ष
कैथी की वर्तमान आयु = y/2 वर्ष,
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होंगे,
x – y = 3 ……………..(i)
तथा 2x – \(\frac{y}{2}\) = 30
या 4x – y = 60 …………………. (ii)
समीकरण (1) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होगा,
3x = 57
x = \(\frac{57}{3}\)= 19
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
19-y = 3
या y = 19 – 3 = 16
अतः अनी की वर्तमान आयु = 19 वर्ष
तथा बीजू की वर्तमान आयु = 16 वर्ष

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा।’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या संपत्तियाँ हैं? | भास्कर II की बीजगणित से ।
हल :
यहाँ पर माना पहले मित्र की संपत्ति = x रु०
व दूसरे मित्र की संपत्ति = yरु०
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होंगे,
x + 100 = 26v-100)
x + 100 = 2y– 200
x – 2y = –200 – 100
x – 2y = -300 …………..(i)
y + 10 = 6(x – 10)
y + 10 = 6x – 60
6x – y = 10 + 60
6x – y = 70 ……………(ii)
समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके, इसमें से समीकरण (i) को घटाने पर प्राप्त होगा,

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
40 – 2y = -300
-2y = -300 – 40
y = \(\frac{-340}{-2}\) = 170
अतः पहले मित्र की संपत्ति = 40 रु०
तथा दूसरे मित्र की संपत्ति = 170 रु०

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/n अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल = x km/h
तथा सामान्य चाल से नियत दूरी तय करने में लिया गया समय =y h
सामान्य चाल से तय दूरी = xy km
पहली स्थिति में, चाल = (x + 10) km/h
समय = (7–2)h
दूरी = (x + 10) (y-2)
xy = xy-2x + 10y-20
2x – 10y = -20 ……………….(i)
दूसरी स्थिति में,
चाल = (x — 10) km/h
समय = (v+ 3)h
दूरी = (x-10) (y+3)
xy = xy + 3x- 10y-30
3x – 10y = 30 ………………(ii)
अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(50)- 10y = -20
या -10y = -20 – 100
या y = \(\frac{-120}{-10}\) = 12
अतः रेलगाड़ी द्वारा तय अभीष्ट दूरी = 50 x 12 = 600 km

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = x
तथा पंक्तियों की संख्या = y .
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = xy
पहली स्थिति में, प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = (x + 3)
पंक्तियों की संख्या = (y-1)
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = (x + 3) (y – 1)
xy = xy – x + 3y – 3
x – 3y = -3 ………….. (i)
दूसरी स्थिति में, प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = (x – 3)
पंक्तियों की संख्या = (y+2)
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = (x – 3) (y + 2)
xy = xy + 2x – 3y – 6
2x – 3y = 6. ……………..(ii)
अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,

x का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
9 – 3y = -3
3y = 9 + 3
y = \(\frac{12}{3}\) = 4
अतः कक्षा में विद्यार्थियों की अभीष्ट संख्या = 9×4 = 36

प्रश्न 5.
एक ΔABC में, ∠C = 3 ∠B= 2 (∠A + ∠B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
∠C = 3∠B ……………(i)
तथा ∠C = 2 (∠A+ ∠B) …………………(ii)
हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
दोनों ओर 2 से गुणा करने पर,
2∠A + 2∠B+2∠C = 360°
या 2 (∠A + ∠B) + ∠C = 360°
या ∠C + 2∠C = 360°
⇒ 3∠C = 360° = ∠C= \(\frac{360^{\circ}}{3}\) = 120°
समीकरण (1) से,
3∠B = ∠C ⇒ 3∠B = 120° = ∠B = \(\frac{120^{\circ}}{3}\) =40°
अब ∠A + ∠B + ∠C = 180°
या ∠A + 40° + 120° = 180° ⇒ ∠A+ 160° = 180°
या ∠A = 180° – 160° = 20°
अतः ∠A = 20°, ∠B = 40° और ∠C = 120°

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल :
यहाँ पर
5x – y = 5 …….(i)
x = \(\frac{5+y}{5}\)

3x – y = 3 ……..(ii)
x = \(\frac{3+y}{3}\)

अब ग्राफ पेपर पर बिंदु A(1,0) तथा बिंदु B(0, -5) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करें जो समीकरण (i) को प्रदर्शित करेगी तथा बिंदु C(2, 3) व बिंदु D(0, -3) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करें जो. समीकरण (ii) को प्रदर्शित करेगी।

रेखाओं AB और CD से ‘-अक्ष पर त्रिभुज ABD बनता है जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(1,0), B (0, -5) व D(0,-3) हैं।
ΔABD का क्षेत्रफल = (ΔOAB – ΔOAD) का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) x OA x OB – \(\frac{1}{2}\) x OA x OD
= \(\frac{1}{2}\) x 1 x 5 – \(\frac{1}{2}\) x 1 x 3
=\(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=\frac{2}{2}\) = 1 वर्ग इकाई

प्रश्न 7.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए-
(i) px + gy = p – q
qx – py = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\)= 0
ax + by = a² + b²
(iv) (a-b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x +y) = a² + b²
(v) 152x – 378y =-74
-378x + 152y = -604
हल :
यहाँ पर
या px + qy = p – q
px + qy – (p-q) = 0 …………..(i)
qx – py = p + q
qx – py – (p +q) = 0 ……………(ii)
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

x = 1 तथा y = -1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = -1

(ii) यहाँ पर
ax + by = c.
ax + by – c = 0 …………….(i)
तथा bx + ay = 1 + c
bx + ay – (1 + c) = 0 …………..(ii)
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

(iii) यहाँ पर
\(\frac{1}{a}\)x – \(\frac{1}{b}\)y = 0
या \(\frac{1}{a}\)x – \(\frac{1}{b}\)y + 0.c = 0
तथा ax + by = a² + b²
या ax + by – (a² + b²) = 0
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

x = a तथा y = b
अतः अभीष्ट हल x = a व y = b

(iv) यहाँ पर
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
या (a – b)x + (a + b)y – (a² – 2ab – b²) = 0
तथा (a + b)(x +y) = a² + b²
या (a + b)x + (a + b)y – (a² + b²) = 0
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

(v) यहाँ पर
152x – 378y = -74 …………(i)
तथा -378x + 152y = -604 …………..(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,

या x – y = 1 ………..(iii) [दोनों ओर 530 से भाग देने पर]
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
-226x-226y = -678
x+y = 3 ……………..(iv)
अब समीकरण (iii) व समीकरण (iv) को जोड़ने पर,

या x = 4/2 = 2
x का मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
2 + y = 3
y = 3 – 2 = 1
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = 1

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति में)। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल :

हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए चतुर्भुज ABCD में,
∠A+ ∠C = 180°
4y + 20 – 4x = 180
-4x + 4y = 180-20
-4x + 4y = 160
x-y = -40
∠B + ∠D = 180°
3y – 5 – 7x + 5 = 180°
– 7x + 3y = 180°
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
-15-y = 40
-y = -40 + 15 = – 25
y = 25
∠A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120°
∠B = 3y-5 = 3(25)-5 = 70°
∠C = -4x = -4(-15) = 60°
∠D = -7x + 5
= -7(-15) +5
= 105+5= 110°
अतः अभीष्ट कोण ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60° व ∠D = 110°

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\),1,-2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1,1
हल :
(i) यहाँ पर
p(x) = 2x³ + x² – 5x +2
दिए गए बहुपद की त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से तुलना करने पर प्राप्त होता है-
a = 2, b = 1,c = -5 तथा d = 2
x = \(\frac{1}{2}\) के लिए

x= 1 के लिए
p (1) = 2 (1)³ + (1)² – 5 (1) +2
= 2 + 1 – 5 + 2 = 5 – 5 = 0

x = -2 के लिए
p(-2) = 2 (-2)³ + (-2)² – 5 (-2) + 2
= 2 (-8) + 4 + 10 + 2
= -16 + 16 = 0
अतः \(\frac{1}{2}\), 1 तथा – 2 दिए गए बहुपद p (x) के शून्यक हैं।
माना α = \(\frac{1}{2}\), β = 1 तथा γ = -2 तो

(ii) यहाँ पर
p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2
दिए गए बहुपद की त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से तुलना करने पर प्राप्त होता है-
a= 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2
x = 2 के लिए
p(2) = (2)³ – 4 (2)² + 5 (2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
x= 1 के लिए
p (1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
अतः 2, 1 व 1 दिए गए बहुपद p (x) के शून्यक हैं।
माना α = 2, β = 1 तथा γ = 1 तो
α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = \(\frac{-(-4)}{1}=\frac{-b}{a}\)
ap + By + ya = 2 (1) + (1) (1) + (1) (2)
= 2 + 1 + 2 = 5 = \(\frac{5}{1}=\frac{c}{a}\)
opy = (2) (1) (1) = 2 = \(\frac{-(-2)}{1}=\frac{-d}{a}\)

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7,-14 हों।
हल :
माना त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के तीन शून्यक α, β और γ हैं तो प्रश्नानुसार
α + β + γ = 2 = \(\frac{-(-2)}{1}=\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + γα = -7 = \(\frac{-7}{1}=\frac{c}{a}\)
αβγ = -14 = \(\frac{-14}{1}=\frac{-d}{a}\)
तथा
a = 1, b = -2, c = – 7 तथा d = 14
अतः अभीष्ट बहुपद = 1x³ – 2x² – 7x + 14

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a-b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर दिया गया है (a-b), a तथा (a + b) बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक हैं।
इसलिए
(a – b) + a + (a + b) = \(\frac{-b}{a}\)
a – b + a + a + b = \(\frac{-(-3)}{1}\)
= 3a = 3 a = 1
या इसी प्रकार
(a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = \(\frac{c}{a}\)
a² – ab + a² + ab + a² – b² = \(\frac{1}{1}\)
3a² – b² = 1
= 3(1)² – b² = 1
या -b² = 1 – 3
या -b² = -2
या b² = 2
या b = ±√2
अतः a = 1 तथा b = ±√2

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल : यहाँ पर
p (x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
क्योंकि (2 + √3) तथा (2 – √3)दिए गए बहुपद p (x) के शून्यक हैं।
इसलिए p (x) का एक गुणनखंड – [x-(2 + √3)] [x – (2 – √3)
= (x – 2 – √3) (x – 2 + √3)
= (x – 2)² – (√3)²
= x² + 4 – 4x – 3
= x² – 4x + 1

∴ p (x) = (x2-4x + 1) (x2 – 2x-35)
इस प्रकार p (x) के अन्य दो शून्यक बहुपद x² – 2x – 35 के शून्यक होंगे।
x² – 2x – 35 = x² – 7x+ 5x -35
= x(x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
अतः p (x) के अन्य दो शून्यक = 7 व – 5

प्रश्न 5.
यदि बहुपद 4-63+16×2-25x + 10 को एक अन्य बहुपद -2x+k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
बहुपद = P (x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
भाजक = g (x) = x² – 2x + k
शेषफल = r (x) = (x + a)

अतः (2k-9)x + 10 -(8-)k = x + a
दोनों ओर x के समान घात के गुणांकों की तुलना करने पर
2k – 9 = 1
2k = 1+9
2k = 10
या k = \(\frac{10}{2}\) = 5
तथा या 10 – (8 – k)k = 0
या 10 – (8 – 5) x 5 = a
या 10 – 15 = a
या a = -5
अतः k = 5 तथा a = – 5

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए
(i) x² – 2x -8
(ii) 4s² – 4s +1
(iii) 6x² – 3 -7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल :
(i) यहाँ पर
p(x) = x² – 2x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= (x – 4)+ 2 (x – 4)
= (x-4) (x + 2)
बहुपद p (x) के शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(x-4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0 या x + 2 = 0
x = 4 या x = -2
अतः बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक α = 4 और β = – 2 हैं।
जाँच-
शून्यकों का योग = α + β = 4 + (-2) = 2

(ii) यहाँ पर
p(s) = 4s² – 4s + 1
= 4s² – 2s – 2s +1
= 25 (2s – 1)- 1 (2s – 1)
= (25 — 1) (2s – 1)
बहुपद p (s) के शून्यकों के लिए
p(s) = 0
(2s – 1) (2s – 1) = 0
2s – 1 = 0 या 25 – 1 = 0
s = 1/2 या s = 1/2
अतः बहुपद 4s² – 4x + 1 के शून्यक α = 1/2 और β = 1/2 हैं।
जाँच

(iii) यहाँ पर
p(x) = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x-3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x-3) (3x+ 1)
बहुपद p (x) शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(2x – 3) (3x + 1) = 0
2x – 3 = 0 या 3x + 1 = 0
x = \(\frac{3}{2}\) या x = 5
अतः बहुपद 6x² – 3 – 7x के शून्यक α = \(\frac{3}{2}\), और β = \(\frac{-1}{3}\) हैं।

(iv) यहाँ पर
P(u) = 4u² + 8u
= 4u(u + 2)
बहुपद p(u) के शून्यकों के लिए।
p(u) = 0
4u (u + 2) = 0
4u = 0 या u + 2 = 0
= 0 या u = -2
अतः बहुपद 4u² + 8u के शून्यक α = 0 और β = – 2 हैं।
जाँच शून्यकों का योग = α + β = 0 – 2 = -2

(v) यहाँ पर P(t) = t² – 15
बहुपद p(t) के शून्यकों के लिए p(t) = 0
t² – 15 = 0
t² = 15
t = ±√15
अतः बहुपद t² – 15 के शून्यक α = √15 और β = -√15 हैं।

(vi) यहाँ पर P(x) = 3x² – x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4)+ 1 (3x – 4)
= (3x-4) (x + 1)
बहुपद p (x) के शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(3x – 4) (x + 1) = 0
3x – 4 = 0 या x + 1 = 0
x = \(\frac{4}{3}\) या x = -1
अतः बहुपद 3x² – x – 4 के शून्यक α = \(\frac{4}{3}\) और β = -1 है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं-
(i) \(\frac{1}{4}\), -1
(ii) \(\sqrt{2}, \frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1,1
(v) \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
(vi) 4,1
हल :
(i) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं। .
प्रश्नानुसार, α + β = \(\frac{1}{4}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = -1 = \(\frac{-4}{4}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 4 है तो b = – 1 व c = -4 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = 4x² – x – 4

(ii) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = \(\sqrt{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{3}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\frac{1}{3}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 3 है तो b = – 3√2 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = 3x² – 3√2x + 1

(iii) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 0 = \(\frac{0}{1}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1 है तो b = 0 व c = √5 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² + 0x + √5 = x² + √5

(iv) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 1 = \(\frac{1}{1}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = 1 = \(\frac{1}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a=1 है तो b = -1 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² – x + 1

(v) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = \(\frac{-1}{4}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\frac{1}{4}=\frac{c}{a}\)
यदि a=4 है तो b = 1 व c= 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = 4x² + x + 1

(vi) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक a और B हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 4 = \(\frac{4}{1}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\frac{1}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1 है तो b = -4 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विपात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² – 4x + 1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन. एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x-3, g(x) = x² – 2 .
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) px) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2-x²
हल :
(1) यहाँ पर
p(x) = x³ – 3x² + 5x-3, g(x) = x² – 2
क्योंकि p (x) की घात = 3 व g (x) की घात = 2
इसलिए भागफल q (x) की घात = 3-2 = 1 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी।
माना q(x) = ar + b (भागफल)
तथा r(x) = cx + d (शेषफल)
विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
p(x) = g(x) x q(x) +r(x)
= x³ – 3x²+ 5x – 3 = (x² – 2) (ar + b) + (cx + d)
x³ – 3x² + 5x – 3 = ax³ + bx² – 2ax – 2b + cx +d
x³ – 3x² + 5x -3 = ax³ + bx² + (c – 2a)x – (2b – d)
दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
a = 1 …..(i)
b = -3 ……(ii)
c – 2a = 5 ………..(iii)
2b-d = 3 …….(iv)
a = 1 समीकरण (iii) में रखने पर
c – 2 (1) = 5
c = 5 + 2 = 7
b = – 3 समीकरण (iv) में रखने पर
2 (-3) – d = 3
-d = 3 +6 = 9
d = -9
अतः भागफल = q(x) = ar + b = 1 x – 3
= x – 3
शेषफल = r (x) = cx + d = 7x – 9

(ii) यहाँ पर
p(x) = x⁴ – 3x² + 4x +5
g(x) = x² – x + 1
क्योंकि p (x) की घात 4 तथा g (x) की घात 2 है।
इसलिए भागफल q (x) की घात = 4-2 = 2 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी।
बहुपद माना q(x) = ax² + bx + c
(भागफल) तथा r(x) = dx + e
(शेषफल) विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
px) = g (x) x q (x) +r (x)
x⁴ – 3x² + 4x + 5 = (x² – x + 1) x (ax² + bx + c) + (dx + e)
x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ + bx³ + cx² – ar³ – bx² – cx + ax² + bx + c + dx + e
x⁴ + 0.x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ + (b-a)x³ + (c-b+a)x² + (b-c+d)x + (c+e)
दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
a = 1 ……. (i)
b – a = 0 ⇒ b = a = 1 …(ii)
c – b + a = -3 ⇒ c – 1 + 1 = -3 या c = -3
b – c + d = 4 ⇒ 1 – (-3) + d = 4 ⇒ 4 + d = 4 या d = 4 – 4= 0 …………(iv)
c + e = 5 ⇒ -3 + e = 5 या e = 5 + 3 = 8
a, b, c, da e के मान प्रतिस्थापित करने पर
भागफल = q (x) = ax² + bx + c
= x² + x – 3
शेषफल = r (x) = dx + e = 0.x+ 8 = 8

(iii) यहाँ पर
p(x) = x⁴ – 5x + 6
g(x) = 2 – x² = -x² + 2
क्योंकि p (x) की घात 4 तथा g (x) की घात 2 है।
इसलिए भागफल q (x) की घात = (4-2) = 2 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी।
माना q(x) = ax² + bx + c (भागफल)
तथा r(x) = dx +e (शेषफल)
विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
p(x) = g(x) x q(x) +r(x)
⇒ x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6 = (-x² + 2) (ax² + bx + c ) + (dx + e)
⇒ x⁴+ 0.x³ + 0.2x² – 5x +6 = – ax⁴ – bx³ – cx² + 2ax² + 2bx + 2c + dx + e
⇒ x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6 = -ax⁴ – bx³ + (2a-c)x² + (2b + a)x + (2c + e)

दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
-a = 1 या a= -1 …………..(i)
-b = 0 या b= 0 ………….(ii)
2a – c = 0 ⇒ 2 (-1) – c = 0 ⇒ c = -2 ………….(iii)
2b + d = -5 ⇒ 2 (0) + d= -5 ⇒ d=-5 ……………(iv)
2c +e = 6 ⇒ 2 (-2) + e = 6 ⇒ e = 6 +4 = 10 …………….(v)
अतः भागफल = ax² + bx +c
= (-1) x² + 0.x + (-2)
= -x² – 2
शेषफल = dx + e = 5x + 10

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(ii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल :
(i) यहाँ पर

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य है इसलिए t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखंड है।

(ii) यहाँ पर

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य है इसलिए x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखंड है।

(iii) यहाँ पर

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य नहीं है इसलिए x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
हैं

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल :
क्योंकि दिए गए बहुपद के दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।

इस प्रकार विभाजन एल्गोरिथ्म से
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 = (3x² – 5) (x² + 2x + 1)
= (√3x + √5) (√3x – √15) (x + 1)²
अतः दिए बहुपद के शून्यक हैं = [atex]-\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}}[/latex]; -1 और – 1

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x-2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
बहुपद = p(x) = x³ – 3x² + x + 2
भाजक = g(x) = ?
भागफल = q(x) = x – 2
शेषफल = r(x) = – 2x +4
विभाजन एल्गोरिथ्म अनुसार p(x) = g(x) x q(x) + r(x)


अतः g (x) = x² – 3 + 1

प्रश्न 5.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात (x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(r) = 0
हल :
(i) माना p(x) = 5x² – 5x + 35; g(x) = 5

अतः
q(x) = x² – x + 7
r(x) = 0
घात p(x) = घात q(x)
तथा p(x) = g (x) x q(x) + r(x)
अर्थात् यहाँ पर विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(ii) माना p(x) = x + x² + x + 1; g(x) = x² – 1

अतः q (x) = x + 1 तथा r(x) = 2x +2
q (x) की घात = r(x) की घात

तथा p(x) = g(x) x q(x) + r(x)
अर्थात् यहाँ पर विभाजन एल्गोरिथ्म सन्तुष्ट होता है।

(iii) माना p(x) = x³ + 2x² – x + 2; g(x) =x² – 1

अतः q(x) = x + 2 तथा r(x) = 4
घात r(x) = 0
तथा p(x) = g(x) x q(x) + r(x)
अर्थात् यहाँ पर विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।
नोट- इस प्रश्न के अन्य कई उदाहरण हो सकते हैं।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु० है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु० है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) माना पहेली प्रतियोगिता में भाग लेने वाली कक्षा X की लड़कियों की संख्या =x
पहेली प्रतियोगिता में भाग लेने वाले कक्षा X के लड़कों की संख्या =y
प्रश्नानुसार
x+y = 10 ………. (i)
तथा x = y +4 …………. (ii)
अतः ग्राफीय निरूपण के लिए,
x + 1 = 10
y = 10 -x

x = y + 4

अब हम ग्राफ पेपर पर बिंदु A(4, 6) तथा बिंदु B(7, 3) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करेंगे जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C(6, 2) तथा बिंदु D(2, -2) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करेंगे जो समीकरण (ii) को निरूपित करेगी।

क्योंकि दो रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु B(7, 3) पर काटती हैं। इसलिए रैखिक युग्म के अभीष्ट हल x = 7 व y= 3 हैं।
अतः
लड़कियों की संख्या = 7
लड़कों की संख्या = 3

(ii) माना 1 पेंसिल का मूल्य = x रु०
तथा 1 कलम का मूल्य = y रु०
प्रश्नानुसार
5x + 7y = 50
तथा 7x + 5y = 46
अतः ग्राफीय निरूपण के लिए,
5x + 7y = 50
y = \(\frac{50-5 x}{7}\)

7x + 5y = 46
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)

अब हम ग्राफ पेपर पर बिंदु A(3, 5) तथा बिंदु B(10, 0) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करेंगे जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C(3, 5) तथा बिंदु D(8, -2) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करेंगे जो समीकरण (ii) को निरूपित करेगी।

क्योंकि दो रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु A(3, 5) पर काटती हैं। इसलिए रैखिक युग्म के अभीष्ट हल x = 3 व y = 5 हैं
अतः
1 पेंसिल का मूल्य = 3 रु०
1 कलम का मूल्य = 5 रु०

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\)और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं-
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y+ 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल :
(i) दी गई समीकरणें हैं,
5x-4y + 8 = 0 …… (i)
7x + 6y -9 = 0 ……. (ii)
यहाँ पर a₁= 5, b₁ = -4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}=\frac{-8}{9}\)
क्योकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) ⇒ समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।
इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।

(ii) दी गई समीकरणें हैं,
9x + 3y + 12 = 0 …… (i)
18x+6y+24 = 0 …… (ii)
यहाँ पर a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) ⇒ समीकरण युग्म के अनंत हल हैं।
इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती होगी।

(iii) दी गई समीकरणे हैं,
6x – 3y + 10 = 0…… (i)
2x – y + 9 = 0 …… (ii)
यहाँ पर a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9
क्योंकि 10
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-1}=\frac{3}{1} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{10}{9}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) ⇒ समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर समांतर होंगी।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत-
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x-3y = 8; 4x-6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x-3y = 11; -10x + 6y =-22
(v) \(\frac{4}{3}\)x+2y = 8; 2x +3y = 12
हल :
(i) दी गई समीकरणे हैं, 3x +2y = 5
या 3x + 2y – 5 = 0 ………..(i)
और 2x – 3y = 7
2x – 3y – 7 = 0 ………….(ii)
यहाँ पर a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ =-5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ =-7
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{-3}=\frac{-2}{3} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(ii) दी गई समीकरणे हैं,
2x – 3y = 8
या 2x – 3y – 8 = 0 ………….(i)
और 4x – 6y = 9
या 4x – 6y – 9 = 0 ……. (ii)
यहाँ पर a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = -8
a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = -9
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} ; \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-9}=\frac{8}{9}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दी गई समीकरणे हैं,
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
या \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0 ………..(i)
और 9x – 10y = 14
या 9x – 10y – 14 = 0 ………….(ii)
यहाँ पर a₁ = \(\frac{3}{2}\)
b₁ = \(\frac{5}{3}\)
c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = -10, c₂ =-14
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2 \times 9}=\frac{1}{6}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{3 \times(-10)}=\frac{-1}{6} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(iv) दी गई समीकरणें हैं,
5x – 3y = 11
या 5x – 3y – 11 = 0 ____ (i)
और -10x + 6y = -22
या -10x + 6y + 22 = 0 ………….(ii)
यहाँ पर
a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ =-11
a₂ = -10, b₂ = 6, C₂ = 22
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=\frac{-1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-11}{22}=\frac{-1}{2}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(v) दी गई समीकरणे हैं,
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
\(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 ………..(i)
2x + 3y = 12 2x +3y- 12 = 0 ……. (ii)
यहाँ पर a₁= 4/3, b₁ = 2, c₁ = -8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = -12
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{4}{3 \times 2}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{3} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
हल :
(i) यहाँ पर
x+y-5 = 0 ….(i)
2x +2y – 10 = 0……..(ii)
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
ग्राफीय विधि से हल करने के लिए,
x + y = 5
y = 5 – x

2x +-2y = 10
या y = \(\frac{10-2 x}{2}\)

ग्राफ पेपर पर बिंदु A(0, 5) तथा बिंदु B(5, 0) लेकर मिलाने से रेखा AB प्राप्त करें जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C(1, 4) तथा बिंदु D(4, 1) लेकर मिलाने से CD प्राप्त करें जो समीकरण (ii) को निरूपित करती है।

क्योंकि दोनों रेखाएँ AB और CD एक ही हैं। इसलिए रेखा AB पर स्थित प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल है। अतः इस रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(ii) यहाँ पर
x – y – 8 = 0 ………….(i)
3x – 3y – 16 = 0 ……….(ii)
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ =-3, c₂=-16
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-16}=\frac{1}{2}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) यहाँ पर
2x + y-6 = 0 ……………(i)
4x – 2y – 4 = 0 …………(ii)
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ =-6
a₂ = 4, b₂ = -2, c₂ = -4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
ग्राफीय विधि से हल करने के लिए-
2x + y – 6 = 0
y = 6 – 2x

4x-2y-4 = 0
या y = \(\frac{4 x-4}{2}\)

ग्राफ पेपर पर बिंदु A(0, 6) तथा बिंदु B(3, 0) लेकर मिलाने से रेखा AB प्राप्त करें जो समीकरण (1) को निरूपित करती है तथा बिंदु C(0, -2) व D(1,0) लेकर मिलाने से CD प्राप्त करें जो समीकरण (ii) को निरूपित करती है।
ग्राफ से पता चलता है कि दोनों रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए रैखिक युग्म के अभीष्ट हल x = 2 व y = 2 हैं।

(iv) यहाँ पर
2x -2y -2 = 0 ………(i)
4x -4y-5 = 0 …………(ii)
a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = -2
a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ =-5
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \text { व } \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}\)
क्योंकि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
माना आयताकार बाग की लंबाई = x m
तथा आयताकार बाग की चौड़ाई = y m
प्रश्नानुसार
x = y +4
x – 1 – 4 = 0 …………(i)
x + y = 36 [∵ अर्धपरिमाप = x +y]
x + y – 36 = 0 ……. (ii)
ग्राफीय विधि से हल करने के लिए,
x – y – 4 = 0
x = y + 4

x + y – 36 = 0
y = 36 – x

ग्राफ पेपर पर बिंदु A(4,0) तथा बिंदु B(0, -4) लेकर मिलाने से रेखा AB प्राप्त करें जो समीकरण (i) को निरूपित करती है तथा बिंदु C(18, 18) तथा बिंदु D(16, 20) लेकर मिलाने से CD प्राप्त करें जो समीकरण (ii) को निरूपित करती है।
ग्राफ से पता चलता है कि दोनों रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P(20, 16) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए रैखिक युग्म के अभीष्ट हल x = 20 व y = 16 हैं।
अतः
आयताकार बाग की लंबाई = 20m
आयताकार बाग की चौड़ाई = 16m

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x +3y-8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समांतर रेखाएँ हों।
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
हल :
यहाँ पर दी गई रैखिक समीकरण है, 2x + 3y- 8 = 0
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -8

(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ होने के लिए आवश्यक है कि,

अतः a₂ = 3 व b₂ = 2 हो सकता है।
इस प्रकार प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए द्वितीय रैखिक समीकरण हो सकती है,
3x + 2y-7 = 0

(ii) समांतर रेखाएँ होने के लिए आवश्यक है कि,

अतः a₂ = 2, b₂ = 3 व c₂ = -12 हो सकते हैं।
इस प्रकार समांतर रेखाएँ होने के लिए द्वितीय रैखिक समीकरण हो सकती है,
2x + 3y – 12 = 0

(iii) संपाती रेखाएँ होने के लिए आवश्यक है कि,

अतः a₂ = 4, b₂ = 6 व c₂ = -16 हो सकते हैं।
इस प्रकार संपाती रेखाएँ होने के लिए द्वितीय रैखिक समीकरण हो सकती है,
4x + 6y – 16 = 0
नोट-इस प्रश्न में अन्य कई संभावित हल हो सकते हैं।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। .x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल :
ग्राफीय विधि से हल करने के लिए, x – y + 1 = 0 …………..(i)
y = x +1

3x +2y- 12 = 0 ___… (ii)
y= \(\frac{12-3 x}{2}\)

ग्राफ पेपर पर बिंदु A (0, 1) तथा बिन्दु B (5, 6) लेकर मिलाने पर प्राप्त रेखा AB समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C (4, 0) तथा बिंदु D (0, 6) लेकर मिलाने पर प्राप्त रेखा CD जो समीकरण (ii) को निरूपित करती है।

क्योंकि रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P (2, 3) पर काटती हैं तथा AB, x-अक्ष को Q(-1, 0) पर तथा CD, x-अक्ष को C(4,0) पर प्रतिच्छेदित करती है। इसलिए त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) व (4,0) हैं।
त्रिभुज PQC का छायांकित भाग ग्राफ में दिखाया गया है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.1

प्रश्न 1.
आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल :
माना आफ़ताब की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा आफ़ताब की पुत्री की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार (a) 7 वर्ष पूर्व, आफ़ताब की आयु = 7 x आफ़ताब की पुत्री की आयु
⇒ (x – 7) = 7 (y – 7)
या x – 7 = 7y – 49
या x – 7y – 7 + 49 = 0
या x – 7y + 42 = 0 ………… (i)

(b) 3 वर्ष बाद,
आफ़ताब की आयु = 3 x आफ़ताब की पुत्री की आयु
⇒ x + 3 = 3 (1 + 3)
या x + 3 = 3y + 9
या x – 3y + 3 – 9 = 0
या x – 3y – 6 = 0 ……….. (ii)
अतः स्थिति का बीजगणितीय निरूपण होगा-
x – 7y + 42 = 0 और x – 3y – 6 = 0 जहाँ x और ‘ क्रमशः आफ़ताब और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु है।
अब स्थिति का ग्राफीय निरूपण-
x- 7y + 42 = 0
⇒ x = 7y – 42

x – 3y – 6 = 0
x = 3y + 6

अब हम ग्राफ पेपर पर बिंदु A(0, 6) तथा बिंदु B(-7, 5) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करेंगे जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C(6,0) तथा बिंदु D(0, -2) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करेंगे जो समीकरण (ii) को निरूपित करेगी।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रु० में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें 1300 रु० में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल :
माना क्रिकेट के 1 बल्ले का मूल्य = x रु०
तथा क्रिकेट की 1 गेंद का मूल्य = y रु०
प्रश्नानुसार,
3x + 6y = 3900
या x + 2y = 1300 ……………(i)
तथा x + 3y = 1300 ……………. (ii)
अतः दी गई स्थिति का बीजगणितीय निरूपण है-
x + 2y = 1300 व x+3y = 1300
अब स्थिति के ग्राफीय निरूपण के लिए,
x + 2y = 1300
⇒ x = 1300 – 2y

x + 3y = 1300
x = 1300 – 3y

अब हम ग्राफ पेपर पर बिंदु A(0, 650) तथा बिंदु B(1300, 0) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करेंगे जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C(100, 400) तथा बिंदु D(400, 300) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करेंगे जो समीकरण (ii) को निरूपित करेगी।

प्रश्न 3.
2 kg सेब और 1kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रु० था। एक महीने बाद 4 kg सेब और 2 kg अंगूर का मूल्य 300 रु० हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना 1kg सेब का मूल्य = x रु०
तथा 1kg अंगूर का मूल्य = y रु०
प्रश्नानुसार
2x + y = 160 …………… (i)
तथा
4x + 2y = 300 ……………. (ii)
अतः दी गई स्थिति का बीजगणितीय निरूपण है,
2x + y = 160 व 4x + 2y = 300
अब स्थिति के ग्राफीय निरूपण के लिए,
2x + y = 160
⇒ y = 160 – 2x

4x + 2y= 300
या 2x + y = 150
या y = 150 – 2x

अब हम ग्राफ पेपर पर बिंदु A(40, 80) तथा बिंदु B(60, 40) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करेंगे जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C(50, 50) तथा बिंदु D(100, -50) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करेंगे जो समीकरण (ii) को निरूपित करेगी।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल :
माना \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है जो कि दिए गए के विपरीत है।
अब \(\) जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b 0 है।
→ \(\sqrt{5}\) b = a
दोनों ओर का वर्ग करने पर, 5b² = a²
इससे पता चलता है कि a², 5 से विभाज्य है, इसलिए a भी 5 से विभाज्य होगी। ……………….. (ii)
= a = 5m जहाँ m एक पूर्णांक है।
a का मान समीकरण (i) में रखने पर
5b² = (5m)²
5b² = 25m²
b² = 5m²
इसका अर्थ यह है कि 5 से 62 विभाजित हो जाता है इसलिए b भी 5 से विभाजित होगा। ……………………(iii)
इसी प्रकार समीकरण (ii) व (iii) से a और 6 में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है। इससे हमारी कल्पना गलत होती है कि a और b सह-अभाज्य हैं। जिस कारण \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 +2\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल :
माना 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है जो कि दिए गए के विपरीत है।
अब 3 + 2\(\sqrt{5}\) = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0 है।

क्योंकि a और b पूर्णांक हैं जिस कारण \(\frac{a-3 b}{2 b}\) एक परिमेय संख्या होगी।
इसलिए \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या होगी जो कि असत्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना गलत है जिससे सिद्ध होता है कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7\(\sqrt{5}\)
(ii) 6 + \(\sqrt{5}\)
हल :
(i) यदि संभव हो तो माना \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक परिमेय संख्या है।
तो \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}\) जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0 है।
⇒\(\sqrt{2}\)a =b
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
2a² = b² …………………(i)
इससे पता चलता है कि b², 2 से विभाज्य है, इसलिए b भी 2 से विभाज्य होगी। …………………(ii)
⇒ b = 2m जहाँ m एक पूर्णांक है।
b का मान समीकरण (i) में रखने पर
2a² = (2m)²
2a² = 4m²
या a² = \(\) = 2m² इसका अर्थ यह है कि a², 2 से विभाजित होता है, इसलिए a भी 2 से विभाजित होगा। ………………………(iii)
इसी प्रकार समीकरण (ii) व (iii) से a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। इससे हमारी कल्पना गलत होती है कि a और b सह-अभाज्य हैं जिस कारण \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) यदि संभव हो तो माना 7\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
तो 7\(\sqrt{5}\) = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b + 0 है।
⇒ \(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{7 b}\)
क्योंकि a और 6 पूर्णांक हैं इसलिए , एक परिमेय संख्या होगी।
⇒ \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या होगी जो कि असत्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना गलत है। इससे सिद्ध होता है कि 7\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) यदि संभव हो तो माना 6 + \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या है।
तो 6 + \(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\) जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0 है।
⇒ \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6\)
या \(\sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}\)
क्योंकि a और b पूर्णांक हैं जिस कारण \(\frac{a-6 b}{b}\) एक परिमेय संख्या होगी।
⇒ \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या होगी जो कि असत्य है क्योंकि \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना गलत है। इससे सिद्ध होता है कि 6 + \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।