Class 7

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता Ex 7.1

प्रश्न 1.
निम्न कथनों को पूरा कीजिए :
(a) दो रेखाखण्ड सर्वांगसम होते हैं, यदि …………।
(b) दो सर्वांगसम कोणों में से एक की माप 70° है, तो दूसरे कोण की माप …………. है।
(c) जब हम ∠A = ∠B लिखते हैं, हमारा वास्तव में अर्थ होता है ………….।
हल :
(a) इनकी लम्बाई समान हो।
(b) 70°.
(c) m∠A = m∠B.

प्रश्न 2.
वास्तविक जीवन से सम्बन्धित सर्वांगसम आकारों के कोई दो उदाहरण दीजिए।
हल :
(i) एक ताले की दो चाबी।
(ii) 100 रु. के दो नोट।

प्रश्न 3.
यदि सुमेलन ABC ↔ FED के अंतर्गत ΔABC ≅ ΔFED, तो त्रिभुजों के सभी संगत सर्वांगसम भागों को लिखिए।
हल :
ΔABC ≅ ΔFED का मतलब है कि ΔABC, ΔFED को पूर्णतया ढक लेता है तथा ΔABC के शीर्ष क्रमशः ΔFED के शीर्षों पर स्थित होंगे।
A ↔ F, B ↔ E और C ↔ D
संगत भुजाएँ सर्वांगसम होंगी।
\(\overline{A B}\) ↔ \(\overline{F E}\), \(\overline{B C}\) ↔ \(\overline{E D}\), \(\overline{C A}\) ↔ \(\overline{D F}\)
संगत कोण सर्वांगसम होंगे :
∠A ↔ ∠F, ∠B ↔ ∠E , और ∠C ↔ ∠D.

प्रश्न 4.
यदि ΔDEF ≅ ΔBCA हो, तो ΔBCA के उन भागों को लिखिए, जो निम्न के संगत हों :
(i) ∠E
(ii) \(\overline{E F}\)
(iii) ∠F
(iv) \(\overline{D F}\)
हल :
यदि ΔDEF ≅ ΔBCA, तो
D ↔ B, E ↔ C और F ↔ A
अत: ΔBCA के भाग संगत होंगे।
(i) ∠E ↔ ∠C
(ii) \(\overline{E F}\) ↔ \(\overline{C A}\)
(iii) ∠F ↔ ∠A
(iv) \(\overline{D F}\) ↔ \(\overline{B A}\)

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण InText Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण InText Questions

पृष्ठ सं. 125-126 (प्रयास कीजिए)

प्रश्न 1.
ΔABC के छः अवयवों (तीन भुजाओं तथा तीन कोणों) के नाम लिखिए।
हल :
ΔABC की तीन भुजाएँ AB, BC और CA तथा तीन कोण ∠A, ∠B और ∠C हैं।

प्रश्न 2.
लिखिए :
(i) ΔPQR के शीर्ष Q की सम्मुख भुजा
(ii) ΔLMN की भुजा LM का सम्मुख कोण
(iii) ΔRST की भुजा RT का सम्मुख शीर्ष
हल :
(i) ΔPQR के शीर्ष Q की सम्मुख भुजा RP है।
(ii) ΔLMN की भुजा LM का सम्मुख कोण = ∠N है।
(iii) ΔRST की भुजा RT का सम्मुख शीर्ष s है।

प्रश्न 3.
आकृति देखिए तथा त्रिभुजों में प्रत्येक का वर्गीकरण कीजिए:
(a) भुजाओं के आधार पर
(b) कोणों के आधार पर

हल :
(a) भुजाओं के आधार पर वर्गीकरण
विषमबाहु त्रिभुज : (ii)
समद्विबाहु त्रिभुज : (i), (iii), (v) तथा (vi)
समबाहु त्रिभुज : (iv)

(b) कोणों के आधार पर वर्गीकरण :
न्यून कोण त्रिभुज : (i) और (iv)
समकोण त्रिभुज : (ii) और (vi)
अधिक कोण त्रिभुज : (iii) और (v)

पृष्ठ सं. 130

प्रश्न 1.
किसी त्रिभुज में एक बाह्य कोण की माप 70° है और उसके अंत: सम्मुख कोणों में से एक की माप 25° है। दूसरे अंत: सम्मुख कोण की माप ज्ञात कीजिए।
इल :

माना ΔABC की भुजा BC को आगे बढ़ाने पर बाह्य कोण ∠ACD इस प्रकार बना कि ∠ACD = 70°
माना ∠B = 25°
∴ ∠ACD = ∠B + ∠A (बाह्य कोण प्रमेय से)
70° = 25° + ∠A
∠A = 70° -25° = 45°
अत: दूसरा अन्तः सम्मुख कोण 45° का है।

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के दो अंतः सम्मुख कोणों की माप 60° तथा 80° है। उसके बाल कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ΔABC की भुजा \(\overline{B C}\) को आगे बढ़ने पर एक बाहा कोण ∠ACD प्राप्त होता है।
माना ∠A = 80° और ∠B = 60°
∠ACD = ∠A + ∠B (बाह्य कोण प्रमेय से)
∠ACD = 80° + 60°
∠ACD = 140°
अतः बाह्य कोण की माप = 140°

प्रश्न 3.
क्या इस आकृति में कोई त्रुटि है। टिप्पणी करें।
हल :

आकृति में बाह्य कोण अन्त: सम्मुख कोणों के योग के बराबर नहीं है।
50° ≠ 50° + 50°
अतः दिए गए कोण गलत हैं।

पृष्ठ सं. 134

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज के दो कोण 30° तथा 80 हैं। इस त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
माना ΔABC में ∠A = 30° और ∠B = 80° हो, तो
∠A + ∠B + ∠C = 180°
30° + 80° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 30° – 80°
= 180° – 110° = 70°
अत: तीसरा कोण 70° होगा।

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज का एक कोण 80° है तथा शेष दोनों कोण बराबर हैं। बराबर कोणों में प्रत्येक की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना त्रिभुज ABC में ∠A = 80° और ∠B = ∠C
∵ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 80° + ∠B + ∠B = 180°,
[∵ ∠A = 80° और ∠C = ∠B]
⇒ 80° + 2∠B = 180°
⇒ 2∠B = 180° – 80°
⇒ 2∠B = 100°
⇒ ∠B + = 50°
अत: शेष दो कोणों की माप 50° है।

प्रश्न 3.
किसी त्रिभुज के तीनों कोणों में 1 : 2 : 1 का अनुपात है। त्रिभुज के तीनों कोण जात कीजिए। त्रिभुज का दोनों प्रकार से वर्गीकरण भी कीजिए। हल :
माना त्रिभुज के कोण x, 2x और x है, तो
x + 2x + x = 180°
4x = 180°
x = \(\frac {180°}{4}\) = 45°
अत:त्रिभुज का पहला कोण (x) = 45°
दूसरा कोण (2x) = 2 × 45° = 90°
तीसरा कोण (x) = 45°
अत: समकोण त्रिभुज है और यह एक समद्विबाहु त्रिभुज भी है।

पृष्ठ सं. 135

प्रश्न 1.
प्रत्येक आकृति में कोण x का मान ज्ञात कीजिए


हल :
त्रिभुज (i) समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠B = ∠C
∴ x = 40°

त्रिभुज (ii) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AB = BC
∠A = ∠C = 45°
कोण योग गुण से :
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 45° + x + 45° = 180°
⇒ x = 180° – 45° – 45°
⇒ x = 90°

त्रिभुज (iii) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AC = AB
तथा ∠B = ∠C = 50°
∴ x = 50°

त्रिभुज (iv) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AC = AB
∠B = ∠C = x
कोण योग गुण से
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 100° + x + x = 180°
⇒ 2x = 180° – 100°
⇒ 2x = 80°
⇒ x = \(\frac {80°}{2}\) = 40°

त्रिभुज (v) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AC = BC
तथा ∠A = ∠B = x
कोण योग गुण से
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + x + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° – 90°
⇒ 2x = 90°
⇒ x = \(\frac {90°}{2}\) = 45°

त्रिभुज (vi) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AC = BC
तथा ∠A = ∠B = x
कोण योग गुण से,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + x + 40° = 180°
⇒ 2x = 180° – 40°
⇒ 2x = 140°
⇒ x = \(\frac {140°}{2}\) = 70°

त्रिभुज (vii) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AB = AC
∴ ∠B = ∠C
⇒ x = ∠C
क्योंकि बाह्य कोण और संलग्न अंत: कोण रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠C + 120° = 180°
⇒ x = 180° – 120° = 60°
त्रिभुज (viii) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AB = AC
∴ ∠B = ∠C ⇒ ∠B = x
क्योंकि बाह्य कोण और संलग्न अंत: कोण रैखिक युग्म बनाते हैं।
110° + ∠A = 180°
∠A = 180° – 110° = 70°
कोण योग गुण से,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 70° + x + x = 180°
⇒ 2x = 180° – 70°
⇒ 2x = 110°
⇒ x = 55°

त्रिभुज (ix) समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AB = AC
∠B + ∠C = x
∠B = 30°, (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ x = 30°

प्रश्न 2.
प्रत्येक आकृति में कोण x तथा y का मा ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) अन्त: कोण ∠C + 120° = 180°
∠C = 180° – 120°
∠C = 60°
∵ ΔABC समद्विबाहु Δहै, जिसमें
AB = AC
तथा ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠B = y = 60°
कोण योग गुण से,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
x + 60° + 60° = 180°
x = 180° – 120°
x = 60°
अत: x = 60° और y = 60°

(ii) त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु Δ है, जिसमें
BC = AC
∠A = ∠B = x
और ∠A + ∠B = 90°
x + x = 90°
2x = 90°
x = \(\frac {90°}{2}\)
x = 45°
लेकिन ∠B + y = 180°
x + y = 180°
45° + y = 180°
y = 180°- 45° = 135°
अतः x = 45° और y = 135°

(iii) त्रिभुज ABC समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AB = AC
∠B = ∠C अर्थात्
∠B = ∠C = x
और ∠A = 92°, [शीर्षाभिमुख कोण]
कोण योग गुण से,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 92°+ x + x = 180°
⇒ 2x = 180° – 92° = 88°
⇒ x = (\(\frac {88}{2}\))° = 44°
और ∠C + y = 180°, [रैखिक युग्म]
⇒ y = 180° – 44° = 136°, [∵ ∠C = x = 44°]
अतः x = 44° और y = 136°

पृष्ठ सं. 141

प्रश्न 1.
निम्न आकृति में अज्ञात लम्बाई x ज्ञात कीजिए :

हल :
(i) ΔABC में कोण B समकोण है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
⇒ x² = 3² + 4²
⇒ x² = 9 + 16
⇒ x² = 25
⇒ x = \(\sqrt{25}\) = 5

(ii) ΔABC में, ∠B समकोण है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
⇒ x² = 8² + 6²
⇒ x² = 64 + 36
⇒ x² = 100
⇒ x = \(\sqrt{100}\) = 10

(iii) ΔABC में, ∠B समकोण है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
⇒ x² = 8² + 15²
⇒ x² = 64 + 225
⇒ x²= 289
⇒ x = \(\sqrt{289}\) = 17

(iv) ΔABC का ∠B समकोण है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
⇒ x² = 24² + 7²
⇒ x² = 576 + 49
⇒ x² = 625
⇒ x = \(\sqrt{625}\) = 25

(v) समकोण ΔALB और ΔALC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
ΔALB में, BL² = AB² – AL² = 37² – 12²
= (37 + 12) (37 – 12)
= 49 × 25
BL = \(\sqrt{49 \times 25}\)
BL = 7 × 5 = 35
इसी प्रकार, CL = 35
∴ BC = BL + LC = 35 + 35 = 70
∴ x = 70

(vi) समकोण त्रिभुज ALB में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
BL² = AB² – AL²
= 12² – 3² = 144 – 9
BL² = 135
BL = \(\sqrt{135}\)
x = \(\sqrt{135}\) = 11.6 सेमी

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.3

प्रश्न 1.
यदि m = 2 है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) m – 2
(ii) 3m – 5
(iii) 9 – 5m
(iv) 3m² – 2m – 7
(v) \(\frac{5 m}{2}\) – 4
हल :
जब m = 2, तो
(i) m – 2
= 2 – 2
= 0

(ii) 3m – 5
= 3 × 2 – 5
= 6 – 5
= 1

(iii) 9 – 5m
= 9 – 5 × 2
= 9 – 10
= -1

(iv) 3m² – 2m – 7 = 3(2)² – 2 × 2 – 7
= 3(4) – 4 – 7
= 12 – 11 = 1

(v) \(\frac{5 m}{2}\) – 4
\(\frac{5 \times 2}{2}\) – 4
= 5 – 4
= 1

प्रश्न 2.
यदि p = – 2 है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 4p + 7
(ii) -3p² + 4p + 7
(iii) -2p³ – 3p² + 4p + 7
हल :
जब p = -2 हो तो
(i) 4p + 7 = 4(-2) + 7 = – 8 + 7 = -1
(ii) – 3p² + 4p +7 = – 3(-2)² + 4(-2) + 7
= -3(4) – 8 + 7
= 12 – 1 = – 13

(iii) – 2p³ – 3p + 4p + 7
= – 2(-2)³ – 3(-2)² + 4(-2) + 7
= -2(-8) – 3(4) – 8 + 7
= 16 – 12 – 8 + 7
= 23 – 20 = 3

प्रश्न 3.
निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए, जब x = -1 है:
(i) 2x – 7
(ii) – x + 2
(iii) x² + 2x + 1
(iv) 2x² – x – 2
हल :
जब x = -1 हो तो
(i) 2x – 7 = 2(-1) – 7
= – 2 – 7 = -9

(ii) – x + 2 = – (-1) + 2
1 + 2 = 3

(iii) x² + 2x + 1 = (-1)² + 2(-1) + 1
= 1 – 2 + 1
= 0

(iv) 2x² – x – 2 = 2(-1)² – (-1) – 2
= 2(1) + 1 – 2
= 2 + 1 – 2 = 1

प्रश्न 4.
यदि a = 2 और b = – 2 है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) a² + b²
(ii) a² + ab + b²
(iii) a² – b²
हल :
जब a = 2 और b = -2 हो तो
(i) a² + b² = (2)² + (-2)²
= 4 + 4
= 8

(ii) a² + ab + b²
= (2)² + (2) (-2) + (-2)²
= 4 – 4 + 4
= 4

(iii) a² – b² = (2)² – (-2)²
= 4 – 4 = 0.

प्रश्न 5.
जब a = 0 और b = – 1 है, तो दिए हुए व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 2a + 2b
(ii) 2a + b² + 1
(ii) 2a²b + 2ab² + ab
(iv) a² + ab + 2
हल :
जब a = 0 और b = -1 हो तो
(i) 2a + 2b = 2(0) + 2(-1)
= 0 – 2 = -2

(ii) 2a² + b² + 1
= 2(0)² + (-1)² + 1
= 0 + 1 + 1 = 2

(iii) 2a²b + 2ab² + ab
= 2(0)² (-1) + 2(0) (-1)² + (0) (-1)
= 0 + 0 + 0 = 0

(iv) a² + ab + 2 = (0)² + (0) (- 1) + 2
= 0 + 0 + 2 = 2

प्रश्न 6.
इन व्यंजकों को सरल कीजिए तथा इनके मान ज्ञात कीजिए, जब x का मान 2 है:
(i) x + 7 + 4(x – 5)
(ii) 3(x + 2) + 5x – 7
(iii) 6x + 5(x -2)
(iv) 4(2x – 1) + 3x + 11
हल :
(i) x + 7 + 4(x -5) = x + 7 + 4x – 20
= (x + 4x) + (7 – 20)
= 5x – 13
x = 2 रखने पर,
5x – 13 = 5(2) – 13
= 10 – 13
= -3

(ii) 3(x + 2) + 5x – 7 = 3x + 6 + 5x – 7
= (3x + 5x) + (6 – 7)
= 8x – 1
x = 2 रखने पर,
8x – 1 = 8(2) – 1 = 16 – 1 = 15

(iii) 6x + 5(x – 2) = 6x + 5x – 10
= 11x – 10
x = 2 रखने पर,
11x – 10 = 11 × 2 – 10
= 22 – 10 = 12

(iv) 4(2x – 1) + 3x + 11= 8x – 4 + 3x + 11
= (8x + 3x) + (-4 + 11)
= 11x + 7
x = 2 रखने पर,
11x + 7 = 11 × 2 + 7 = 22 + 7
= 29 उत्तर

प्रश्न 7.
इन व्यंजकों को सरल कीजिए तथा इनके मान ज्ञात कीजए, जब x = 3, a = -1 और b = -2 है:
(i) 3x – 5 – x + 9
(ii) 2 – 8x + 4x + 4
(iii) 3a + 5 – 8a + 1
(iv) 10 – 3b – 4 – 5b
(v) 2a – 2b – 4 – 5 + a
हल :
(i) 3x – 5 – x + 9 = 2x + 4
x = 3 रखने पर, 2x + 4 = 2(3) + 4
= 6 + 4 = 10

(ii) 2 – 8x + 4x + 4 = 6 – 4x
x = 3 रखने पर,
6 – 4x = 6 – 4(3)
= 6 – 12 = -6

(iii) 3a + 5 – 8a + 1 = -5a + 6
a = -1 रखने पर,
-5a + 6 = – 5(-1)+ 6
= 5 + 6 = 11

(iv) 10 – 3b – 4 – 5b = 6 – 8b
b = -2 रखने पर,
6 – 8b = 6 – 8(-2)
= 6 + 16 = 22

(v) 2a – 2b – 4 – 5 + a
= 3a – 2b – 9
a = – 1 और b = – 2 रखने पर,
3a – 2b – 9 = 3(-1) -2 (-2) – 9
= – 3 + 4 – 9
= -8

प्रश्न 8.
(i) यदि z = 10 है, तो z³ – 3(z – 10) का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि p = – 10 है, तो p² – 2p – 100 का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) जब z = 10 हो, तो
z³ – 3(z – 10) = (10)³ – 3(10 – 10)
= 1000 – 3(0)
= 1000 – 0 = 1000

(ii) जब p = – 10 हो, तो
p² – 2p – 100 = (-10)² – 2(- 10) – 100
= 100 + 20 – 100
= 20

प्रश्न 9.
यदि x = 0 पर 2x² + x – a का मान 5 के बराबर है, तो a का मान क्या होना चाहिए ?
हल:
x = 0 पर 2x² + x – a = 5 (दिया है)
2(0) + 0 – a = 5 ⇒ 0 + 0 – a = 5
-a = 5 ⇒ a = -5 उत्तर

प्रश्न 10.
व्यंजक 2(a² + ab) + 3 – ab को सरल कीजिए और इसका मान ज्ञात कीजिए, जब a = 5 और b = -3 है।
हल :
जब a = 5 और b = -3 हो, तो
2(a² + ab)+ 3 – ab = 2a² + 2ab+ 3 – ab
= 2a² + 2ab – ab + 3
= 2a² + ab + 3
जब a = 5 और b = -3 हो, तो
2a² + ab + 3 = 2(5)² + (5 × -3) + 3
= 2 × 25 + (-15) + 3
= 50 + 3 – 15
= 38

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.3

प्रश्न 1.
निम्नांकित आकृतियों में अज्ञात x का मान ज्ञात कीजिए:

हल :
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। अत:
(i) ΔABC में,
∠A + ∠B + ∠C= 180°
⇒ x + 50° + 60° = 180°
⇒ x = 180° – 50° – 60°
⇒ x = 180° – 110°
⇒ x = 70°

(ii) ΔPQR में,
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
90° + 30° + x = 180°
x = 180° – 90° – 30°
= 180° – 120°
= 60°

(iii) ΔXYZ में
∠X + ∠Y + ∠Z = 180°
30° + 110° + x = 180°
x = 180° – 30° – 110°
= 180° – 140°
=40°

(iv) x + x + 50° = 180°
⇒ 2x + 50° = 180°
⇒ 2x = 180° – 50°
⇒ 2x = 130°
⇒ x = \(\frac {130°}{2}\)
⇒ x = 65°

(v) x + x + x = 180°
⇒ 3x = 180°
⇒ x = \(\frac {180°}{3}\)
⇒ x = 60°

(vi) x + 2x + 90° = 180°
⇒ 3x + 90° = 180°
⇒ 3x = 180° – 90°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = \(\frac {90°}{3}\)
⇒ x = 30°

प्रश्न 2.
निम्नांकित आकृतियों में अज्ञात x और y का मान ज्ञात कीजिए:

हल :
(i) त्रिभुज में बाह्य कोण और संलग्न अंत: कोण रैखिक युग्म बनाते हैं। अतः
y + 120° = 180°
⇒ y = 180° – 120° = 60°
एक त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + 50° + y = 180°
⇒ x = 180° – 50° – y
⇒ x = 130° – 60° = 70°.
अतः x = 70° और y = 60°

(ii) यहाँ y = 80°, [शीर्षाभिमुख कोण]
त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + y + 50° = 180°
⇒ x + 80° + 50° = 180°, [∵ y = 80°]
⇒ x + 130° = 180°
⇒ x = 180°- 130°
⇒ x = 50°
अतः x = 50° और y = 80°

(iii) त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग 180° होता है।
∴ y + 60° + 50° = 180°
y = 180° – 60° – 50°
y = 180° – 110°
y = 70°
बाह्य कोण (x) = 50° + 60° = 110°
अत: x = 110° और y = 70°

(iv) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
∴ x + y + 30° = 180°
x = 60°, (शीर्षाभिमुख कोण)
60° + y + 30° = 180°
y = 180° – 60° – 30°
= 180° – 90°
= 90°
अत: x = 60° और y = 90°

(v) त्रिभुज के तीनों अन्त: कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + x + y = 180°
[(∵ y = 90°) शीर्षाभिमुख कोण]
2x + 90° = 180°
2x = 180° – 90°
2x = 90°
x = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
अत: x = 45° और y = 90°

(vi) त्रिभुज के तीनों अन्त: कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + x + y = 180°
x + x + x = 180°,
[(∵ y = x°) शीर्षाभिमुख कोण]
3x = 180°
x = \(\frac {180°}{2}\) = 60°
∴ y = 60°
अतः x = 60° और y = 60°

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.2

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों में अज्ञात बाह्य कोणx का मान ज्ञात कीजिए :

हल :
प्रत्येक त्रिभुज में बाह्य कोण दो अन्तः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। इसलिए
(i) x = 50° + 70° = 120°
(ii) x = 65° + 45° = 110°
(iii) x = 30° + 40° = 70°
(iv) x = 60° + 60° = 120°
(v) x = 50° + 50° = 100°
(vi) x = 30° + 60° = 90°

प्रश्न 2.
निम्न आकृतियों में अज्ञात अंत:कोण का मान ज्ञात कीजिए:

हल :
हम जानते हैं कि त्रिभुज में बाह्य कोण का मान दो अन्तः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। इसलिए
(i) x + 50° = 115°
⇒ x = 115° – 50° = 65°
(ii) x + 70° = 100°
⇒ x = 100° – 70° = 30°
(iii) x + 90° = 125°
⇒ x = 125° – 90° = 35°
(iv) x + 60° = 120°
⇒ x = 120° – 60° = 60°
(v) x + 30° = 80°
⇒ x = 80° – 30° = 50°
(vi) x + 35° = 75°
⇒ x = 75° – 35° = 40°

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.2

प्रश्न 1.
समान पदों का संयोजित (मिला) करके सरल कीजिए :
(i) 21b – 32 + 7b – 20b
(ii) -z² + 13z² – 5z + 7z³ – 15z
(iii) p – (p – q) – q – (q – p)
(iv) 3a – 2b – ab – (a – b + ab) + 3ab + b – a
(v) 5x²y – 5x² + 3yx² – 3y² + x² – y² + 8xy² – 3y²
(vi) (3y² + 5y – 4) – (8y -y² – 4)
हल :
(i) 21b – 32 + 7b – 20b
= 21b + 7b – 20b – 32 = 8b – 32

(ii) -z² + 13z² – 5z + 7z³ – 15z
= 7z³ – z² + 13z² – 5z – 15z
= 7z³ + (-1 + 13)z² + (- 5 – 15)z
= 7z³ + 12z² – 20z

(iii) p – (p – q) – q – (q – p)
= p – p + q – q – q + p
= (p – p + p) + (q – q – q)
= p – q

(iv) 3a – 2b – ab – (a – b + ab) + 3ab + b – a
= 3a – 2b – ab – a + b – ab + 3ab + b – a
= 3a – a – a – 2b + b + b – ab – ab + 3ab
= (3 – 1 – 1)a + (-2 + 1 + 1)b + (- 1 – 1 + 3)ab
= a + 0b + ab = a + ab

(v) 5x²y – 5x² + 3yx² – 3y² + x² – y² + 8xy² – 3y²
= 5x²y + 3yx² – 5x² + x² – 3y² – y² – 3y² + 8xy²
= (5 + 3)x²y + (-5 + 1)x² + (- 3 – 1 – 3)y² + 8xy²
= 8x²y – 4x² – 7y² + 8xy²

(vi) (3y² + 5y – 4) – (8y – y² – 4)
= 3y² + 5y – 4 – 8y + y² + 4
= 3y² + y² + 5y – 8y – 4 + 4
= (3 + 1)y² + (5 – 8)y + (- 4 + 4)
= 4y² – 3y

प्रश्न 2.
जोड़िए:
(i) 3mn, – 5mn, 8mn, – 4mn
(ii) t – 8tz, 3tz – z, z – t
(iii) – 7mn + 5, 12mn + 2, 9mn – 8, – 2mn – 3
(iv) a + b – 3, b – a + 3, a – b + 3
(v) 14x + 10y – 12xy – 13, 18 – 7x – 10y + 8xy, 4xy
(vi) 5m – 7n, 3n – 4m + 2, 2m – 3mn – 5
(vii) 4x²y, – 3xy², -5xy², 5x²y
(viii) 3p²q² – 4pq + 5, – 10p²q², 15 + 9pq + 7p²q²
(ix) ab – 4a, 4b – ab, 4a – 4b
(x) x² – y² – 1, y² – 1 – x², 1 – x² – y²
हल :
(i) वांछित योग
= 3mn + (-5mn) + 8mn + (-4mn)
= (3 – 5 + 8 – 4)mn
= (11 – 9)mn = 2mn

(ii) वांछित योग
= (t – 8tz) + (3tz – z) + (z – t)
= t – 8tz + 3tz – z + z – t
= t – t – 8tz + 3tz – z + z
= (1 – 1)t + (- 8 + 3)tz + (- 1 + 1)z
= (0)t + (-5)tz + (0)z
= 0 – 5tz + 0 = – 5tz

(iii) वांछित योग
= (-7mn + 5) + (12mm + 2) + (9mn – 8) + (- 2mn – 3)
= – 7mn + 5 + 12mn + 2 + 9mn + 8 – 2mn – 3
= -7mn + 12mn + 9mn -2mn + 5 + 2 – 8 – 3
= (-7 + 12 + 9 – 2)mn + (5 + 2 – 8 – 3)
= 12mn – 4

(iv) वांछित योग
= (a + b – 3) + (b – a + 3) + (a – b + 3)
= a + b – 3 + b – a + 3 + a – b + 3
= (a – a + a) + (b + b – b) + (-3 + 3 + 3)
= (1 – 1 + 1)a + (1 + 1 – 1)b + 3
= a + b + 3

(v) वांछित योग
= (14x + 10y – 12xy – 13) + (18 – 7x – 10y + 8xy) + 4xy
= 14x + 10y – 12xy – 13 + 18 – 7x – 10y + 8xy + 4xy
= 14x – 7x + 10y – 10y – 12xy + 8xy + 4xy – 13 + 18
= (14 – 7)x + (10 – 10)y + (- 12 + 8 + 4)xy + (- 13 + 18)
= 7x + 0y + 0xy + 5 = 7x + 5

(vi) वांछित योग
= (5m – 7n) + (3n – 4m + 2) + (2m – 3mn – 5)
= 5m – 7n + 3n -4m + 2 + 2m – 3mn – 5
= 5m – 4m + 2m – 7n + 3n – 3mn + 2 – 5
= (5 – 4 + 2)m + (- 7 + 3)n – 3mn + (2 – 5)
= 3m – 4n – 3mn – 3

(vii) वांछित योग
= 4x²y + (-3xy²) + (-5xy²) + 5x²y
= 4x²y -3xy² – 5xy²– + 5x²y
= 4x²y + 5x²y – 3xy² – 5xy²
= (4 + 5)x²y + (- 3 – 5)xy² = 9x²y – 8xy²

(viii) वांछित योग
= (3p²q² – 4pq + 5) + (-10p²q²) + (15 + 9pq + 7p²q²)
= 3p²q² – 4pg + 5 – 10p²q² + 15 + 9pq + 7p²q2
= 3p²q² – 10p²q² + 7p²q² – 4pq + 9pq + 5 + 15
= (3 – 10 + 7)p2²q² + (- 4 + 9)pq + (5 + 15)
= 0p²q² + 5pq+ 20
= 5pq + 20

(ix) वांछित योग
= (ab – 4a) + (4b – ab) + (4a – 4b)
= ab – 4a + 4b – ab + 4a – 4b
= ab – ab – 4a + 4a + 4b – 4b
= (1 – 1)ab + (- 4 + 4)a + (4 – 4)b
= (0)ab + (0)a + (0)b = 0 + 0 + 0 = 0

(x) वांछित योग
= (x² – y² – 1) + (y² – 1 – x²) + (1 – x² – y²)
= x² – y² – 1 + y² – 1 – x² + 1 – x² – y²
= x² – x² – x² – y² + y² – y² – 1 – 1 + 1
= (1 – 1 – 1)x² + (- 1 + 1 – 1)y² + (- 1 – 1 + 1)
= – x² – y² – 1

प्रश्न 3.
घटाइए :
(i) y² में से – 5y²
(ii) -12xy में से 6xy
(ii) (a + b) में से (a – b)
(iv) b(5 – a) में से a(b – 5)
(v) 4m² – 3mn + 8 में से – m² + 5mn
(vi) 5x – 10 में से – x² + 10x – 5
(vii) 3ab – 2a² – 2b² में से 5a² – 7ab + 5b²
(viii) 5p² + 3q² – pq में से 4pq – 5q² – 3p²
हल :
(i) वाछित अन्तर
y² – (-5y²) = y² + 5y²
= (1 + 5)y² = 6y²

(ii) वांछित अन्तर
(- 12xy) – 6xy = (- 12 – 6)xy
= – 18xy

(iii) वांछित अंतर
(a + b) – (a – b) = a + b – a + b
= (a – a) + (b + b)
= (1 – 1)a + (1 + 1)b
= 0a + 2b = 2b

(iv) वांछित अन्तर
b(5 – a)- a(b – 5) = 5b – ab – ab + 5a
= 5a + 5b + (- 1 – 1)ab
= 5a + 5b – 2ab

(v) वांछित अन्तर
(4m² – 3mn + 8) – (- m² + 5mn)
= 4m² – 3mn + 8 + m² – 5mn
= 4m² + m² – 3mn – 5mn + 8
= (4 + 1)m² + (- 3 – 5)mn + 8
= 5m² – 8mn +8

(vi) वांछित अन्तर
(5x – 10) – (- x² + 10x – 5)
= 5x – 10 + x² – 10x + 5
= x² + (5 – 10)x + (- 10 + 5)
=x² – 5x – 5

(vii) वांछित अन्तर
(3ab – 2a² – 2b²) – (5a² – 7ab + 5b²)
= 3ab – 2a² – 2b² – 5a² + 7ab – 5b²
=- 2a² – 5a² – 2b² – 5b² + 3ab + 7ab
= (- 2 – 5)a² + (- 2 – 5)b² + (3 + 7)ab
= -7a² – 7b² + 10ab

(viii) वांछित अन्तर
(5p² + 3q² – pg) – (4pq – 5q² – 3p²)
= 5p² + 3q² – pq – 4pq + 5q² + 3p²
= 5p² + 3p² + 3q² + 5q² – pq – 4pq
= (5 + 3)p² + (3 + 5)q² + (- 1 – 4)pq
= 8p² + 8q² – 5pq

प्रश्न 4.
(a) 2x² + 3xy प्राप्त करने के लिए, x² + xy +y में क्या जोड़ना चाहिए ?
(b) -3a + 7b + 16 प्राप्त करने के लिए, 2a + 8b + 10 में से क्या घटाना चाहिए ?
हल :
(a) 2x² + 3xy में से x² + xy + y2 को घटाने पर,
अतः वांछित व्यंजक = (2x² + 3xy) – (x² + xy +y²)
= 2x² + 3xy – x² – xy – y²
= 2x² – x² + 3xy – xy – y²
= (2 – 1)x² + (3 – 1)xy – y²
= x² + 2xy – y² उत्तर

(b) माना वांछित व्यंजकों को R से व्यक्त करें तो-
(2a + 8b + 10) – R = – 3a + 7b + 16
अत: वांछित व्यंजक R
= (2a + 8b + 10) – (- 3a + 7b + 16)
= 2a + 3a + 10 + 3a – 7b – 16
= 2a + 3a + 8b – 7b + 10 – 16
= (2 + 3)a + (8 – 7)b + (10 – 16)
= 5a + b – 6 उत्तर

प्रश्न 5.
– x² – y² + 6xy + 20 प्राप्त करने के लिए, 3x² – y² + 5xy + 20 में क्या निकाल लेना चाहिए ?
हल :
माना वांछित व्यंजक को R से व्यक्त करें तो
(3x² – 4y² + 5xy + 20) – R = – x² – y² + 6xy + 20
अत: वांछित व्यंजक R
= (3x² – 4y² + 5xy + 20) – (- x² – y² + 6xy + 20)
= 3x² – 4y² + 5xy + 20 + x² + y² – 6xy -20
= 3x² + x² – 4y² + y² + 5xy – 6xy + 20 – 20
= (3 + 1)x² + (- 4 + 1)y² + (5 – 6)xy + (20 – 20)
= 4x² – 3y² – xy उत्तर

प्रश्न 6.
(a) 3x – y + 11 और – y – 11 के योग में से 3x – y – 11 को घटाइए।
(b) 4 + 3x और 5 – 4x + 2x² के योग में से 3x² – 5x और – x² + 2x +5 के योग को घटाइए।
हल :
(a) 3x – y + 11 और – y – 11 का योग करने पर,
= (3x – y + 11) + (- y – 11)
= 3x – y + 11 – y – 11
= 3x – 2y
अब 3x – 2y में से 3x – y – 11 को घटाने पर,
= (3x – 2y) – (3x – y – 11)
= 3x – 2y – 3x + y + 11
= – y + 11 उत्तर

(b) 4 + 3x और 5 – 4x + 2x² का योग करने पर,
= (4 + 3x) + (5 – 4x + 2x²)
= 4 + 3x + 5 – 4x + 2x²
= 9 – x + 2x²
पुन: 3x² – 5x और – x² + 2x + 5 का योग करने पर,
= (3x² – 5x) + (-x² + 2x + 5)
= 3x² – 5x – x² + 2x + 5
= 2x² – 3x + 5
अब 9 – x + 2x² में से 2x² – 3x + 5 को घटाने पर
= (9 – x + 2x²) – (2x² – 3x + 5)
= 9 – x + 2x² – 2x² + 3x – 5
= 2x + 4

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.1

प्रश्न 1.
ΔPQR में भुजा \(\overline{Q R}\) का मध्य बिन्दु D है:
\(\overline{PM}\) …………. है।
PD ………….. है।
क्यो QM = MR ?

हल :
\(\overline{PM}\) शीर्ष लम्य है,
जो शीर्ष P से सम्मुख भुजा \(\overline{Q R}\) पर है।
PD, ΔPQR में शीर्ष Pसे सम्मुख भुजा \(\overline{Q R}\) की माध्यिका है। QM ≠ MR, क्योंकि \(\overline{Q R}\) का मध्य विन्दु M नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न के लिए अनुमान से आकृति खींचिए :
(a) ΔABC में, BE एक माध्यिका है।
(b) ΔPQR में, PQ तथा PR त्रिभुज के शीर्षलम्ब है।
(c) ΔXYZ में, YL एक शीर्षलंब उसके बहिर्भाग में है।
हल :
(a) ΔBC में BE एक माध्यिका की आकृति निम्न प्रकार है:

(b) ΔPQR में, PQ तथा PR त्रिभुज के शीर्ष लम्बों की आकृति निम्न प्रकार है :

(c) ΔXYZ में YL एक शीर्ष लम्ब उसके बहिर्भाग में आकति निम्न प्रकार हैं:

प्रश्न 3.
आकृति खींचकर पुष्टि कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब व माध्यिका एक ही रेखाखण्ड हो सकता है? .
हल :

एक रेखाखण्ड BC खींचते हैं। कागज के मोड़ने की विधि से \(\overline{BC}\) का लम्ब समद्विभाजक किया। मुड़ी हुई लाइन D बिन्दु पर मिलती है, जो कि BC’ का मध्य बिन्दु है।

इस लम्ब समद्विभाजक पर कोई बिन्दु लिया। AB और AC को मिलाया। इस प्रकार ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होगा, जिसमें AB = AC. स्पष्ट है कि \(\overline{BC}\) का मध्य बिन्दु D है। अत: AD माध्यिका है और BC का शीर्ष लम्ब AD है।

इससे सिद्ध होता है कि समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका और शीर्षलम्ब एक ही होते हैं।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण InText Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण InText Questions

प्रयास कीजिए (पृष्ठ सं. 107)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों के युग्मों में कौन-से पूरक है?

हल :
(i) इस जोड़े में दो कोणों का योग
= 70° + 20° = 90°
अतः कोणों का यह युग्म एक-दूसरे का पूरक है। उत्तर
(ii) इस जोड़े में दो कोणों का योग
= 75° + 25° = 100°
अत: कोणों का यह युग्म एक-दूसरे का पूरक नहीं है। उत्तर
(iii) इस जोड़े में दो कोणों का योग
= 48° + 52° = 100°
≠ 90°
अतः कोणों का यह युग्म एक-दूसरे का पूरक नहीं है। उत्तर
(iv) इस जोड़े में दो कोणों का योग
= 35° + 55° = 90°
अतः कोणों का यह युग्म एक-दूसरे का पूरक है। उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित कोणों में प्रत्येक के पूरक का माप क्या है?
(i) 45° (ii) 65° (iii) 41° (iv) 54°
हल :
हम जानते हैं कि किसी कोण और इसके पूरक कोण का योग 90° होता है। अतः
(i) 45° के कोण के पूरक कोण का माप
= (90° – 45°) = 45°
(ii) 65° के कोण के पूरक कोण का माप
= (90° – 65°) = 25°
(iii) 41° के कोण के पूरक कोण का माप
= (90° -41°) = 49°
(iv) 54° के कोण के पूरक कोण का माप
= (90° – 54°) = 36°

प्रश्न 3.
दो पूरक कोणों के मापों का अंतर 12° है। कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना एक कोण हैं, तो दूसरा कोण (x + 12)° होगा। अब x° और (x + 12)° पूरक कोण होंगे।
∴ x° + (x + 12)° = 90°
⇒ 2x° + 12° = 90°
⇒ 2x° = 90° – 12°
⇒ 2x° = 78°
⇒ x° = \(\frac {78°}{2}\) = 39°
अतः एक कोण = x° = 39°
औरदूसरा कोण = (x + 12)° = 39° + 12° = 51°.

पृष्ठसं 108-109

प्रश्न 1.
आकृति में सम्परक कोणों के युग्म ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति (i) के युग्म में,
कोणों का योग = 110° + 50° = 160° ≠ 180°
अतः ये सम्परक नहीं हैं।
आकृति (ii) के युग्म में,
कोणों का योग = 105° + 65° = 170° ≠ 180°
अतः ये सम्पूरक नहीं हैं।
आकृति (iii) के युग्म में,
कोणों का योग = 130° + 50° = 180°
अतः ये सम्पूरक हैं।
आकृति (iv) के युग्म में,
कोणों का योग = 45° + 45° = 90° ≠ 180°
अतः ये सम्पूरक नहीं हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित कोणों में प्रत्येक के सम्पूरक का माप क्या होगा?
(i) 100°
(ii) 90°
(iii) 55°
(iv) 125°
हल :
हम जानते हैं कि एक कोण और इसके सम्पुरक कोण का योग 180° होता है। इसलिए
(i) 100° के कोण का सम्पूरक कोण
= (180° – 100°) = 80°
(ii) 90° के कोण का सम्पूरक कोण
= (180° – 90°) = 90°
(iii) 550 के कोण का सम्पूरक कोण
= (180°- 55°) = 125°
(iv) 125° के कोण का सम्पूरक कोण
= (180° – 125°) = 55°

प्रश्न 3.
दो सम्पूरक कोणों में बड़े कोण का माप छोटे कोण के माप से 44° अधिक है। कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना छोटा कोण = x° हो, तो
बड़ा कोण = (x + 44°)
अब और (x + 44)° सम्पूरक कोण होंगे।
x° + (x + 44)° = 180°
x° + x° + 44° = 180°
2x° + 44° = 180°
2x° = 180° – 44° = 136°
2x = 136°
x = \(\frac {136°}{2}\) = 68°
अतः छोटा कोण = x° = 68°
और बड़ा कोण = x + 44° = (68° + 44)°
= 112°

पृष्ठ सं. 110

प्रश्न 1.
क्या 1 और 2 से अंकित कोण आसन्न हैं ? [आकृति (i)-(v)] यदि ये आसन्न नहीं हैं तो बताइए, ‘क्यों ?

हल :
(i) हाँ, कोण 1 और 2 आसन्न हैं।
(ii) हाँ, कोण 1 और 2 आसन्न हैं।
(iii) नहीं, कोण 1 और 2 आसन्न नहीं है, क्योंकि इनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं हैं।
(iv) नहीं, कोण 1 और 2 आसन्न नहीं हैं, क्योंकि कोणों की अन्य भुजाएँ, उभयनिष्ठ भुजा के एक ही ओर स्थित हैं।
(v) हाँ, कोण | और 2 आसन्न हैं।

प्रश्न 2.
आकृति में, क्या निम्नलिखित कोण आसन्न हैं?

(a) ∠ZAOB और ∠BOC
(b) ∠BOD और ∠BOC
अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
(a) आकृति में, ∠AOB और ∠BOC का उभयनिष्ठ शीर्ष तथा उभयनिष्ठ भुजा है। इनकी अन्य भुजा उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत है। अत: ∠AOB और ∠BOC आसन्न कोण हैं।
(b) ∠BOD और ∠BOC आसन्न कोण नहीं हैं, क्योंकि इनकी अन्य भुजाएँ उभयनिष्ठ OB के विपरीत नहीं हैं।

पृष्ठ सं. 111

प्रश्न 1.
बताइए कोणों के निम्नलिखित युग्मों में से कौन-सा रैखिक युग्म बनाता है?


हल :
आकृति (i) में,
कोणों का योग = 140° + 40° = 180°
अत: यह युग्म रैखिक युग्म बनाता है।
आकृति (ii) में,
कोणों का योग = 60° + 90° = 150°
अत: यह युग्म रैखिक युग्म नहीं बनाता है।
आकृति (iii) में,
कोणों का योग = 90° + 40° = 130°
अत: यह युग्म रैखिक युग्म नहीं बनाता है।
आकृति (iv) में,
कोणों का योग = 65° + 115° = 180°
अत: यह युग्म रैखिक युग्म बनाता है।

पृष्ठ सं. 113

प्रश्न 1.
दी हुई आकृति में, यदि ∠1 = 30°, तो ∠2 एवं ∠3 ज्ञात कीजिए।

हल :
दो रेखाएँ एक बिन्दु पर काटती हैं।
∴ ∠1 = ∠3, (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠1 = ∠3 = 30°
⇒ ∠3 = 30°
हम जानते हैं :
∠1 +∠2 = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
∠2 = 180° – ∠1
∠2 = 180° – 30°
∠2 = 150°
अतः ∠2 = 150° और ∠3 = 30°.

प्रश्न 2.
अपने आस पास से शीर्षाभिमुख कोणों का एक उदाहरण दीजिए।
हल :
कैंची को खोलने पर उसके दोनों ब्लेड़ों के मध्य बनने वाले कोण।

पृष्ठ सं. 116

प्रश्न 1.
अपने आस-पास के परिवेश से ऐसे उदाहरण ज्ञात कीजिए जहाँ रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हल :
अपने आसपास के परिवेश में समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के निम्न उदाहरण हैं:
(i) ब्लैक बोर्ड के किनारे
(ii) मेज की टाँगे ऊपर का तख्ता
(iii) कैरम बोर्ड के किनारे
(iv) पेपर शीट के किनारे।

प्रश्न 2.
एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसके हमें कोण ज्ञात करने हैं।
∵ समबाहु त्रिभुज के सभी कोण समान होते हैं।
∴ ∠A = ∠B = ∠C = x° (माना)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
x + x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

प्रश्न 3.
एक आयत खींचिए और प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित चार शीर्षों के कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ABCD एक आयत है। हमें इसके कोण ज्ञात करने हैं अर्थात् ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें ∠A = 90°.
हम जानते हैं कि
∠C = ∠A, [∵ समान्तर □ के प्रम्मुख कोण समान होते हैं]
= 90° [∵ ∠A = 90° (दिया है)]
पुन: ∠A + ∠B = 180°
[∵ ∠A और ∠B चतुर्भुज के आसन्न कोण हैं]
⇒ 90° + ∠B = 180°
⇒ ∠B = 180° – 90° = 90°
∴ ∠D = ∠B.
[∵ समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं।]
= 90°
अत: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

प्रश्न 4.
यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो क्या वे हमेशा एक-दूसरे को सम कोण पर प्रतिच्छेद करती है?
हल :
नहीं, दो रेखाएँ हमेशा एक-दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।

पृष्ठ सं. 117

प्रश्न 1.
मान लीजिए दो रेखाएँ दी हुई हैं। इन रेखाओं के लिए आप कितनी तिर्यक छेदी रेखाएँ खींच सकते हैं?
हल :
दी गई दो रेखाओं के लिए असंख्य तिर्यक रेखाएँ खींच सकते हैं।

प्रश्न 2.
यदि एक रेखा तीन रेखाओं का तिर्यक छेदी रेखा है, तो बताइए कितने प्रतिच्छेदन बिन्दु हैं।
हल :
यदि तीन रेखाओं की एक तिर्यक छेदी रेखा हैं तो इनके तीन अथवा तीन से अधिक प्रतिच्छेद बिन्दु हैं।

प्रश्न 3.
अपने आस-पास कुछ तिर्यक् छेदी रेखाएँ ढूंढने का प्रयास कीजिए।
हल :
अपने आस-पास कुछ तिर्यक् छेदी रेखाओं के उदाहरण निम्न हैं :

• लोहे की सीढ़ी
• खिड़की की ग्रिल
• तौलिया स्टैण्ड आदि।

पृष्ठ सं. 118

प्रश्न 1.
प्रत्येक आकृति में कोण युग्म को नाम दीजिए :


हल :
प्रथम आकृति में : ∠1 और ∠2 संगत कोण हैं।
दूसरी आकृति में : ∠3 और ∠4 एकान्तर कोण हैं।
तीसरी आकृति में : ∠5 और ∠6 अन्त:कोण हैं।
चौथी आकृति में : ∠7 और ∠8 संगत कोण हैं।
पाँचवीं आकृति में : ∠9 और ∠10 एकांतर कोण हैं।
छठी आकृति में : ∠11 और ∠12 रैखिक युग्म हैं।

पृष्ठ सं. 121

प्रश्न 1.
(i) l || m
t एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∠x = ?
(ii) a || b
c एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∠y = ?
(iii) l₁, l₂ दो रेखाएँ हैं।
t एक तिर्यक छेदी रेखा है। क्या ∠1 = ∠2 हैं ?
(iv) l || m,
t एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∠z = ?
(v) l || m,
t एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∠x = ?
(vi) l || m, P || q, a, b, c,d ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) आकृति में, l || m और t तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠x = 60°, (एकान्तर कोण)
(ii) आकृति में, a || b और c एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠y = 55°, (एकान्तर कोण)
(iii) आकृति में, l₁ और l₂ दो असमान्तर रेखाएँ हैं और t तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠1 ≠ ∠2
(iv) आकृति में, l || m और t एक तिर्यक छेदी रेखा है,।
∴ 60° + z = 180° [तिर्यक छेदी रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों का योग 180° होता है।
⇒ z = 180° – 60°
= 120°

(v) आकृति में, l || m और t एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠x = 120°, (संगत कोण)

(vi) आकृति में, p || q और l तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ a + 60° = 180°,
(अंत:कोणों का योग 180° होता है)
⇒ a = 180° – 60° = 120°
∠1 = 60°, (एकान्तर कोण)
आकृति में, l || m और q एक तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠c = ∠1, (एकान्तर कोण)
∠c = 60°, (∵ ∠1 = 60°)
स्पष्टतः ∠b = ∠c, (शीर्षभिमुख कोण)
∴ ∠b = 60°
अब
∠d = 180° – ∠b
= 180° – 60°
= 120°
अत: ∠a = 120°, ∠b = 60°, ∠c = 60°
और ∠d = 120.

पृष्ठ सं. 122

(i) क्या l || m है ? क्यों ?

(ii) क्या l || m है ? क्यों ?

(iii) यदि l ||m, तो x क्या है?

हल :
(i) आकृति में, एकान्तर कोण बराबर हैं।
इसलिए l || m है।
(ii) आकृति में, ∠1 = 180° – 130° = 50°
∴ हम देखते हैं कि संगत कोण समान है।
इसलिए l || m.
(iii) आकृति में, l ||m और t तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ x + 70° = 180°,
(तिर्यक रेखा के एक ओर बने अन्तः कोणों का योग 180° होता है।)
x = 180° – 70° = 110°.