Author name: Bhagya

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।
हल :
एक दी हुई लंबाई का एक रेखाखंड, मान लीजिए, AB दिया है [आकृति (i) अनुसार]

यूक्लिड की अभिधारणा (3) का प्रयोग करके, आप बिंदु A को केंद्र और AB त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींच सकते हैं [आकृति (ii) अनुसार] । इसी प्रकार, B को केंद्र मानकर और BA त्रिज्या लेकर एक अन्य वृत्त खींचा जा सकता है। ये दोनों वृत्त बिंदु C पर मिलते हैं। अब रेखाखंडों AC और BC खींचकर AABC बनाइए। [आकृति (iii) अनुसार]
अब सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है; अर्थात् AB = AC = BC है।
क्योंकि AB = AC है, क्योंकि ये एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। …………….(1)
इसी प्रकार, AB = BC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) …………….(2)
यूक्लिड के पहले अभिगृहीत अनुसार वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं एक-दूसरे के बराबर होती हैं। इससे निष्कर्ष निकलता है कि AB = BC = AC है।
अतः ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को परिभाषित करें-
(i) समांतर चतुर्भुज,
(ii) आयत।
हल :
(i) समांतर चतुर्भुज-समांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं तथा बराबर भी होती हैं।
(ii) आयत-आयत एक ऐसा समांतर चतुर्भुज होता है जिसका एक कोण समकोण होता है।

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
यदि A, B और C एक रेखा पर स्थित तीन बिंदु हों और B बिंदु A और C के मध्य स्थित हो तो कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) AB + BC = AC
(B) AB – BC = AC
(C) AB + AC = BC
(D) AB + BC = AB
उत्तर-
(A) AB + BC = AC

प्रश्न 2.
केवल एक दिए हुए रेखाखंड पर रचना की जा सकती है-
(A) समबाहु त्रिभुज की
(B) विषमबाहु त्रिभुज की
(C) समद्विबाहु त्रिभुज की
(D) समकोण त्रिभुज की
उत्तर-
(A) समबाहु त्रिभुज की

प्रश्न 3.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची
(B) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य जा सकती है रेखाएँ हैं
(C) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है
(D) यदि दो वृत्त बराबर हों, तो उनकी त्रिज्याएँ भिन्न-भिन्न होती हैं
उत्तर-
(C) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है

प्रश्न 4.
यदि दो रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर कहीं नहीं मिलती तो उन्हें क्या कहा जाता है ?
(A) प्रतिच्छेदी रेखाएँ
(B) असमांतर रेखाएँ
(C) समांतर रेखाएँ
(D) लंब रेखाएँ
उत्तर-
(C) समांतर रेखाएँ

प्रश्न 5.
यदि एक सरल रेखा दूसरी सरल रेखा पर इस प्रकार खड़ी हो कि उनके बीच का कोण समकोण हो तो उन्हें कहा जाता है-
(A) समांतर रेखाएँ
(B) असमांतर रेखाएँ
(C) लंब रेखाएँ
(D) प्रतिच्छेदी रेखाएँ
उत्तर-
(C) लंब रेखाएँ

प्रश्न 6.
दो निश्चित बिंदुओं के बीच स्थित रेखा को कहा जाता है-
(A) सरल रेखा
(B) किरण
(C) रेखाखंड
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(C) रेखाखंड

प्रश्न 7.
वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जो केंद्र से गुजरता है, क्या कहलाता है?
(A) अर्धव्यास
(B) व्यास
(C) चाप
(D) वृत्तखंड
उत्तर-
(B) व्यास

प्रश्न 8.
वृत्त के केंद्र को वृत्त की परिधि पर स्थित किसी बिंदु से मिलाने पर प्राप्त रेखाखंड कहलाता है(A) त्रिज्या
(B) व्यास
(C) चाप
(D) वृत्तखंड
उत्तर-
(A) त्रिज्या

प्रश्न 9.
एक बिंदु से होती हुई खींची जा सकती हैं-
(A) दो रेखाएँ
(B) तीन रेखाएँ
(C) परिमित रेखाएँ
(D) अपरिमित रेखाएँ
उत्तर-
(D) अपरिमित रेखाएँ

प्रश्न 10.
एक सांत रेखा को बढ़ाया जा सकता है-
(A) निश्चित रूप से
(B) अनिश्चित रूप से
(C) बढ़ाया नहीं जा सकता
(D) कुछ सीमा तक बढ़ाया जा सकता है
उत्तर-
(B) अनिश्चित रूप से

प्रश्न 11.
यदि a || b, b || c तो कौन-सा कथन सत्य है?
(A) a ⊥ c
(B) a ⊥ b
(C) a || c
(D) b ⊥ c
उत्तर-
(C) alc

प्रश्न 12.
चार भुजाओं से घिरी बंद आकृति को कहा जाता है-
(A) त्रिभुज
(B) चतुर्भुज
(C) पंचभुज
(D) षट्भुज
उत्तर-
(B) चतुर्भुज

प्रश्न 13.
चार भुजाओं से घिरी बंद आकृति. जिसकी सभी भुजाएँ समान हों और प्रत्येक कोण 90° का हो, उसे कहा जाता है-
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) त्रिभुज
उत्तर-
(A) वर्ग

प्रश्न 14.
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है-
(A) 30° का
(B) 45° का
(C) 60° का
(D) 90° का
उत्तर-
(C) 60° का

प्रश्न 15.
यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C इस प्रकार हो कि AC = BC तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) AC = \(\frac{1}{2}\) BC
(B) BC = \(\frac{1}{2}\) AC
(C) BC = \(\frac{1}{3}\) AB
(D) AC = \(\frac{1}{2}\) AB
उत्तर-
(D) AC = \(\frac{1}{2}\) AB

प्रश्न 16.
तीन भुजाओं से घिरी बंद आकृति को क्या कहा जाता है ?
(A) त्रिभुज
(B) चतुर्भुज
(C) पंचभुज
(D) षट्भुज
उत्तर-
(A) त्रिभुज

प्रश्न 17.
दो भिन्न बिंदुओं से होकर
(A) केवल एक रेखा खींची जा सकती है
(B) दो रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(C) कोई रेखा नहीं खींची जा सकती है
(D) अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं
उत्तर-
(A) केवल एक रेखा खींची जा सकती है

प्रश्न 18:
एक बिन्दु वह है जिसका :
(A) कोई भाग नहीं होता
(B) चौड़ाई रहित लम्बाई होती है
(C) किनारे होते हैं
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(D) कोई भाग नहीं होता

प्रश्न 19.
दो समांतर रेखाओं में उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या होती है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) अनंत
उत्तर-
(A) शून्य

प्रश्न 20.
आकृति में यदि AC = BD हो तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

(A) AB = BD
(B) BC = CD
(C) AB = CD
(D) AB = BC
उत्तर-
(C) AB = CD

प्रश्न 21.

आकृति में यदि AB = PQ और PQ = XY हो तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) AB ≠ XY
(B) AB = XY
(C) AB ⊥ XY
(D) (A), (B), (C) में से कोई नहीं
उत्तर-
(B) AB = XY

प्रश्न 22.
पूर्ण अपने भाग से _____________ होता है।
(A) छोटा
(B) बराबर
(C) बड़ा
(D) छोटा या बराबर
उत्तर-
(C) बड़ा

प्रश्न 23.
यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = 3BC तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) BC = \(\frac{3}{4}\) AB
(B) BC = \(\frac{1}{4}\) AB
(C) BC = \(\frac{1}{2}\) AB
(D) BC = \(\frac{1}{4}\) AC
उत्तर-
(B) BC = \(\frac{1}{4}\) AB

प्रश्न 24.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ नहीं हो सकते हैं
(B) दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं
(C) दो भिन्न रेखाओं में अनंत बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं
(D) दो समांतर रेखाओं में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है
उत्तर-
(A) दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ नहीं हो सकते हैं

प्रश्न 25.
किसी रेखाखंड में-
(A) दो मध्य-बिंदु होते हैं
(B) केवल एक मध्य-बिंदु होता है
(C) तीन मध्य-बिंदु होते हैं
(D) कोई मध्य-बिंदु नहीं होता
उत्तर-
(B) केवल एक मध्य-बिंदु होता है

प्रश्न 26.
किसी वर्ग की विशेषता होती है.
(A) प्रत्येक भुजा समान
(B) प्रत्येक समान कोण 90°
(C) प्रत्येक विकर्ण समान
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) एक वर्ष में 13 महीने होते हैं
(B) एक सप्ताह में 8 दिन होते हैं
(C) पृथ्वी का एक चंद्रमा है
(D) फरवरी में केवल 28 दिन होते हैं
उत्तर-
(C) पृथ्वी का एक चंद्रमा है

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) एक चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग 350° होता है
(B) समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है
(C) दो सम संख्याओं का योग सम होता है
(D) किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए x² ≥ 0 है
उत्तर-
(A) एक चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग 350° होता है

प्रश्न 29.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) 1 से बड़ी प्रत्येक विषम संख्या अभाज्य होती है
(B) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं
(C) एक त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है
(D) दो विषम पूर्णांकों का गुणनफल सम होता है
उत्तर-
(C) एक त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है

प्रश्न 30.
यदि दो बिंदुओं P और Q के बीच एक बिंदु R ऐसा स्थित हो कि PR = 5QR तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) PR = \(\frac{1}{6}\) PQ
(B) PR = \(\frac{5}{6}\) PQ
(C) PR = \(\frac{5}{6}\) QR
(D) PR = \(\frac{1}{6}\) QR
उत्तर-
(B) PR = \(\frac{5}{6}\) PQ

प्रश्न 31.
एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर __________ होते हैं।
(A) बराबर
(B) असमान
(C) बड़े
(D) छोटे
उत्तर-
(A) बराबर

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 12 Areas Related to Circles Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 12 Areas Related to Circles

Introduction
In previous classes, we have learnt about methods of finding perimeters and areas of simple plane figures such as parallelogram, square, rectangle, rhombus and circle, In this chapter, we shall discuss review of the measurement of area and perimeter (circumference) of a circle, and leam about the concept of sector and a segment of a circle and their areas. We shall also learn about problems on finding the areas of some combinations of plane figures involving circles or parts of circles.

1. Circle: A circle is the locus of points which moves in such a way that its distance from a fixed point is constant.
2. Radius: A line segment joining the centre and a point on the circle is called its radius. The plural of radius is radii.
3. Diameter: The chord, which passes through the centre of the circle, is called a diameter of the circle.
Diameter = 2 × radius
4. Circumference: The length of the complete circle is called its circumference
OR
The perimeter of a circle is called its circumference.
5. Chord: A chord of a circle is a line segment joining any two points on the circle.
6. Arc: A piece of a circle between two points is called an are.
7. Sector of a circle: The region between an arc and the two radii, joining the centre to the endpoints of the arc is called a sector of the circle
8. Segment of the circle: The region between a chord and either of its arc is called a segment of the circular region or simply a segment of the circle.
9. Circular region: The region consisting of all points which are either on the circle or lies inside the circle is called the circular region or circular disc.
10. Semi-circular region: When two arcs are equal, that is, each is a semi-circle, then both segments and both sector become the same and each is known as the semi-circular region.
11. Concentric Circles: The circles which have same centre and different radii are called concentric circles.

Perimeter and area of a circle – A Review
Let us recall that a circle is the set of all those points in a plane each of which is at constant distance from a fixed point in that plane.

The fixed point is called the centre and given constant distance is known as the radius of the circle. The distance covered by travelling once around a circle is its perimeter usually called its circumference.

We know that the ratio of circumference of a circle to its diameter is constant and this constant ratio is denoted by π (a Greek letter, read as pie).
\(\frac{\text { Circumference }}{\text { Diameter }}=\pi\)
⇒ π = \(\frac{\mathrm{C}}{2 r}\) ⇒ C = 2πr
Where C is circumference and r is radius of circle.
Here π is an irrational number. For practical purposes, we generally take the value of π as \(\frac{22}{7}\) or 3.14, approximately.

(i) Area of a circle
Area of a circle = πr²
where, r is the radius of the circle.
(ii) Perimeter and Area of Semi-circle
(a) Perimeter of semi-circle = \(\frac{1}{2}\) × 2πr + 2r
(b) Area of semi-circle = \(\frac{1}{2}\)πr²
where r is the radius of a circle.

(iii) Perimeter and area of the quadrant of a circle

If r is the radius of the circle
(a) Perimeter of the quadrant
= \(\frac{1}{4}\) × 2πr + 2r
= \(\frac{\pi r}{2}+2 r=r\left(\frac{\pi}{2}+2\right)\)
(b) Area of quadrant = \(\frac{1}{4}\)πr²

(iv) Area enclosed by two concentric circles
If R and r are radii of two concentric circles then
Area enclosed by them = πR² – πr² = π(R² – r²)
= π(R + r)(R – r)
1. The distance covered by a rotating wheel in one revolution is equal to the circumference of the wheel.
2. The number of revolutions completed by a rotating wheel in one minute
\(=\frac{\text { distance covered in one minute }}{\text { circumference of wheel }}\)
3. When two circle touch internally distance between their centres = difference of their radii
4. When two circle touch externally, distance between their centres = sum of their radii.

Areas of a sector and segement of a circle
(a) Sector of the circle

The portion of circular region enclosed by two radii And corresponding arc is called a sector of the circle.
Let APB be in arc of a circle whose centre is O. Then region bounded by radii OA, OB and arc APB is called the sector of the circle. The sector OAPB is Major segment called the minor sector and OAQB is called the major sector. The angle of major sector is 360° – ∠AOB.

(b) Segment of a circle

The circular region enclosed between a chord and corresponding arc is called a segment of a circle.
Let AB be a chord of the circle with centre O. Then shaded region APB is a minor segment of the circle and AQB is a major segment of the circle.

Length of an arc and area of a sector of a circle

1. Write the length of an arc of a sector of sector with radius and angle with degree measure θ.
Let OAPB be a sector of a circle with centre O and radius r such that ∠AOB = θ. If θ then AB is minor are of the circle.
If θ is increases then length of arc AB increases. When an are subtends an angle 180°, i.e., ∠AOB = 180°.
Then length of arc = Circumference of semicircle
= πr
If the arc subtends an angle of at the centre.
Then its arc length (l)
= \(\frac{\theta}{180}\) × πr ……(1)
(l) = \(\frac{\theta}{360}\) × 2πr
⇒ l = \(\frac{\theta}{360}\) (Circumference of the circle)
When an arc subtends an angle 180°, at the centre the corresponding sector is semi-circular region of area = \(\frac{\pi r^2}{2}\)
If the arc subtends an angle at the centre then area of corresponding sector (A),

Area of a segment of a circle
Let r be the radius of the circle with centre O. Let AB be a chord make a minor segment APB.
Let ∠AOB Draw OC ⊥ AB.
Area of minor segment APB = Area of sector OAPB – Area of ΔAOB
= \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^2\) – \(\frac{1}{2}\)AB × OC
= \(\frac{\theta \pi r^2}{360^{\circ}}-\frac{1}{2}\) × 2AC × OC …… (1)
In right ΔACO, we have
\(\sin \frac{\theta}{2}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}}\)

AC = OA \(\frac{\theta}{2}\)sin = r sin\(\frac{\theta}{2}\) and

Areas of combinations of plane figures
In this section we will learn to calculate the areas of some plane figures & designs which are combinations of more than one plane figures such that flowerbeds, drain covers, window design, designes on table covers etc. We illustrate the process of calculating areas of these figures through some examples.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज

→ त्रिभुज : तीन भुजाओं से घिरी बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं। इसके कोणों का योग 180°c होता है।

→ समरूप आकृतियाँ : समान आकार वाली आकृतियों को समरूप आकृतियाँ कहते हैं। यह आवश्यक नहीं है कि वे समान आमाप की भी हों।

→ सर्वांगसम त्रिभुज : समान आकार तथा समान आमाप वाले दो त्रिभुजों को सर्वांगसम त्रिभुज कहा जाता है।

→ सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, परंतु सभी समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।

→ समरूप बहुभुज : भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप कहे जाते हैं यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाओं की लंबाइयाँ समानुपाती हों।

→ समानकोणिक त्रिभुज : यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो उन्हें समानकोणिक त्रिभुज कहा जाता है।

→ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए तो ये अन्य दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है।

→ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम : यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

→ यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे कोण-कोण-कोण (AAA) समरूपता कहते हैं।

→ यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक अन्य त्रिभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे कोण-कोण (AA) समरूपता कहते हैं।

→ यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे भुजा-भुजा-भुजा (SSS) समरूपता कहते हैं।

→ यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे भुजा-कोण-भुजा (SAS) समरूपता कहते हैं।

→ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

→ यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।

→ पाइथागोरस प्रमेय : एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

→ पाइथागोरस प्रमेय का विलोम : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

→ यदि दो समकोण त्रिभुजों में एक त्रिभुज का कर्ण तथा एक भुजा दूसरे त्रिभुज के कर्ण तथा एक भुजा के समानुपाती हो तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे समकोण-कर्ण-भुजा (RHS) सर्वांगसमता कहते हैं।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ी Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ी

→ क्रम (Sequence)- संख्याओं की वह व्यवस्था जिसमें सभी पद प्राकृत संख्या (Natural Number) के रूप में
व्यवस्थित हों, क्रम कहलाती है।

→ समांतर श्रेढी (Arithmetic Progression)- सीमित या असीमित संख्याओं का वह क्रम समांतर श्रेढ़ी में कहलाता है, जिसके दो क्रमागत पदों का अंतर समान हो। इस अंतर को सार्व अंतर (Common Difference) कहा जाता है तथा ‘d’ से लिखा जाता है।

→ समांतर श्रेढ़ी का गवाँ पद-ऐसी समांतर श्रेढ़ी जिसका प्रथम पद a और सार्व अंतर d हो का nवाँ पद निम्नलिखित होगा-
a_n = a + (n – 1)d

→ समांतर श्रेढ़ी के परिमित पदों का योगफल- किसी समांतर श्रेढ़ी के n पदों के योगफल का सूत्र निम्नलिखित होता है-
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)(a + l) जहाँ l = a + (n – 1)d

→ प्रथम n धन पूर्णांकों का योग सूत्र S_n होता है-
S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)

→ यदि a, b, C, AP में हैं तब b = \(\frac{a+c}{2}\) और b, a तथा c का समांतर माध्य कहलाता है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 6 Triangles Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 6 Triangles

Introduction
In earlier classes, we have studied the triangles and their properties. We have also studied, the congruence of two geometric figures, and some basic theorems and results on the congruence of triangles. Recall that two figures are said to be congruent, if they have the same shape and same size.

It this chapter, we shall study about those figures which have same shape but not necessarily the same size. Two figures having the same shape but not necessarily of same size are known as similar figures.

Two congruent figures are always similar, but two similar figures may not be congruent.
All regular polygon of same number of sides such as squares, equilateral triangles, rectangles, etc. are similar. All circles are similar but a square and a triangle cannot be similar. In case of two triangles which may appear to be similar but actually, they may not be similar. So, we apply some criteria to determine the similarity of two polygons. In this chapter, we shall study the similarity of triangles.

• A simple closed curve made up of only line segments is called a polygon.
• A polygon of three sides is called a triangle.
• A median of a triangle is a line joining a vertex to the midpoint of the opposite side.
• If corresponding angles of two triangles are equal, then they are known as equiangular triangles.
• The same ratio of the corresponding sides of two polygons is known as the scale factor or the representative fraction for the polygons.
• The angle bisector of a triangle is a line segment that bisects one of the vertex angle of a triangle.
• The altitude of a triangle is a line that extends from one vertex of a triangle and perpendicular to the opposite side.
• The angle of elevation of the Sun is the angle between the direction of the geometric centre of the sun’s apparent disc and the horizontal level.
• A triangle having any three sides of different lengths is called scalene triangle.
• A triangle having any two sides of same lengths is called isosceles triangle.
• A triangle having all three sides of same lengths is called equilateral triangle.
• A triangle having all three angles acute (less than 90°) is called acute angled triangle.
• A triangle having an angle obtuse (greater than 90°) is called obtuse angled triangle.
• A triangle having an angle of measure 90° is called a right angled triangle or right triangle. The perimeter of a triangle is the sum of all its sides.

Similar Figures
Two polygons of the same number of sides are similar, if (i) their corresponding angles are equal and (ii) their corresponding sides are in the same ratio (or proportion).
For example : Quadrilateral ABCD and PQRS given below are similar.

We observe that ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R and ∠D = ∠S

Hence, quadrilateral ABCD and PQRS are similar.

Similarity of Triangles
Two triangles are similar, if their
(i) Corresponding angles are equal, and
(ii) Corresponding sides are in the same ratio (or proportion)

For Example: Two triangles ABC and PQR are similar, if
(i) ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R and
(ii) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}\)
If two trianges ABC and PQR are similar we write ΔABC ~ ΔPQR.
A famous Greek mathematician Thales gave an important truth relating to two equiangular triangles which is as follows:
The ratio of any two corresponding sides in two equiangular trianglen is always the same.

Theorem 6.1:
(Basic Proportionality Theorem OR Thales theorem)
If a line is drawn parallel to one side of a triangle to interveet the other two sides in distinct points, the other two sides are divided in the same ratio.
Given: A triangle ABC in which DE || BC and DE intersects AB and AC at D and E respectively.
To Prove: \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
Construction : Join BE and CD. Draw EN ⊥ AB and DM ⊥ AC.
Proof : Since EN ⊥ AB. Therefore EN is the height of triangles ADE and DBE.
Now area (ΔADE) = \(\frac{1}{2}\) base × height
= \(\frac{1}{2}\) AD × EN
and area (ΔDBE) = \(\frac{1}{2}\) base × height
= \(\frac{1}{2}\) BD × EN


But ΔDBE and ΔDEC are on the same base DE and between the same parallels BC and DE
So, Area (ΔDBE) = Area (ΔDEC) …….(3)
Therefore from (1), (2) and (3), we have
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) Proved.

Theorem 6.2:
[Converse of Thales Theorem]
If a line divides any two sides of a triangle in the same ratio then the line is parallel to the third side.
Or

Or
In the given figure ABC is atriangle. If \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) then prove that DE || BC.

Given: A ΔABC and a line l intersecting AB at D and AC at E, such that
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
To Prove: DE || BC
Proof: If possible, Let DE is not parallel te BC, then there must be another line through D which is parallel to BC. Let DF || BC.
∵ DF || BC. Therefore by Basic proportionality theorem, we have,3

This is possible only when E and F coinside.
Hence, DE || BC. Proved

Some Important Results Related to Basic Proportionality Theorem
(a) The internal bisector of an angle of a triangle divides the opposite wide internally in the ratio of the sides containing the angle.
Given: A triangle ABC in which AD is the internal bisector of ∠A
To Prove: \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
Construction: Draw CP || DA meets BA produced.
Proof: Since CP || DA and AC is a transversal
∠2 = ∠3 …….. (1)
[alternate Interior angles]

CP || DA and BP is a transversal
∠1 = ∠4 …….(2)
[corresponding angles]
But ∠1 = ∠2 …… (3)
[AD bisects the ∠A]
From (1), (2) and (3) we get,
∠3 = ∠4
⇒ AP = AC ……(4)
[sides opposite to equal angles are equal]
Now in ΔBCP, DA || CP
⇒ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}}\)
[By Basic Proportionality Theorem]
⇒ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) [Using (4)]
Hence \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) Proved.

(b) The external bisector of an angle of a triangle divides the opposite side externally in the ratio of the sides containing the angle.
Given : A ΔABC such that CE is the bisector of exterior ∠C and intersects AB produced at E.
To Prove: \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\)
Construction : Draw BD || EC Intersecting AC at D.
Proof: Since BD || EC and CB is a transversal
[alternate interior angles]
BD || EC and AC is transversal
∠1 = ∠4 ……(2)
[corresponding angles]
But ∠1 = ∵2 …….(3)
[∵ CE is the bisector of exterior ∠C]
From (1), (2) and (3), we get
∠3 = ∠4 …….(4)
⇒ DC = BC …….(4)
[sides opposite to equal angles are equal]

In ΔAEC, BD || EC
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}\)
[By Basic Proportionality Theorem]

Criteria for Similarity of Triangles
We know two triangles are similar, if (i) their corresponding angles are equal and (ii) their corresponding aides are in the same ratio (or proportion)
e.g., In ΔABC and ΔPQR
(i) ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R
(ii) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\)
Then two triangles are similar.

Now, we shall discuss some important results which show that if three property choosen out of the six conditions are satisfied, then the other three conditions satisfy automatically, and the two triangles are similar.

Theorem 6.3 (AAA Similarity Criterion)
If in two triangles, the corresponding angles are equal, then their corresponding sides are in the same proportional and hence the two triangles are similar.
Given: Two triangles ABC and DEF such that
∠A = ∠D, ∠B = ∠E And ∠C = ∠F

To prove : ΔABC ~ ΔDEF
Construction: Cut DP = AB and DQ = AC. Join PQ
Proof: In ΔABC And ΔDPQ, we have
AB = DP (By construction)
AC = DQ (By construction)
∠A = ∠D (given)
ΔABC ≅ ΔDPQ (by SAS congruence)
⇒ ∠B = ∠P (By CPCT)
⇒ ∠E = ∠B [∵ ∠B = ∠E (given)]
But ∠E and ∠P are corresponding angles.
Therefore, PQ || EP

and ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F (given)
Hence ΔABC ~ ΔDEF Hence Proved
Remark: It follows from the above theorem that two triangles are similar ⇔ They are equiangular.

Corollary [AA (angle-angle) similarity criterion]
If two angles of one triangle are respectively equal to two angles of another triangle then the two triangles are similar.
Proof: In triangle ABC and triangle DEF
Let ∠A = ∠D and ∠B = ∠E
We know that sums of 2s of ∠s of triangle is 180°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
and ∠D + ∠E + ∠F = 180°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠B + ∠F
⇒ ∠C = ∠F

Thus, the two triangles are equiangular and hence they are similar.
Remark : AA similarity is the same as AAA similarity.

Theorem 6.4:
[SSS (side-side-side) similarity criterion]
If the corresponding sides of one triangle are proportional to (i.e. in the same ratio) the sides of other triangle, then their corresponding angles are equal and hence the two triangles are similar.
Given: Two triangles ΔABC and ΔDEF such that
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)

To Prove: ΔABC ~ ΔDEF
Construction: Let is take ΔABC and ΔDEF such that
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) (<1)
cut DP = AB and DQ = AC. Join PQ
Proof: \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)
\(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}\)
[∵ AB = DP and AC = DQ]
PQ || EF [By converse of BPT]
∠P = ∠E [corresponding angles] …….(1)
and ∠Q = ∠F [corresponding angles] …….(2)
⇒ \(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{EF}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{EF}}\) ……(3) [∵ DP = AB]
But
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\) ……(4) (given)
From (3) and (4), we get
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\) BC ⇒ BC = PQ
AB = DP and AC = DQ (by construction)
Thus, AB = DP, AC = DQ, BC = PQ
∴ ΔABC ≅ ΔDPQ [By SSS Congruence]
∴ ∠A = ∠D, ∠B = ∠P, ∠C = ∠Q. [By CPCT]
But ∠P = ∠E
and ∠Q = ∠F [From (1) And (2)]
∠A = ∠D, ∠B = ∠E , ∠C = ∠F
Thus, ΔABC ~ ΔDEF
[by AAA Similarity criterion]
Hence Proved

Theorem 6.5:
[SAS (side angle side similarity)]
If one angle of a triangle is equal to one angle of the other triangle and the sides including these angles are proportional, then the two triangles are similar.
Given: Two triangles ΔABC and ΔDEF such that ∠A = ∠D and \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)
To Prove: ΔABC ~ ΔDEF
Construction: Cut DP = AB and DQ = AC. Join PQ.
Proof: In ΔABC and ΔDPQ, we have

AB = DP [by construction]
∠A = ∠D (given)
and AC = DQ [by construction]
∴ ΔABC ≅ ΔDPQ [By SAS congruence]
∠A = ∠D, ∠B = ∠P and ∠C = ∠Q [By CPCT] ……. (1)
Now \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) (given)
\(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}\)
[∵ AB = DP and AC = DQ]
PQ || EF [By converse of BPT]
∠P = ∠E [Corresponding ∠s] …(2)
and ∠Q = ∠F
From (1) and (2), we get
∠A = ∠D, ∠B = ∠E and ∠C = ∠F
Thus ΔABC ~ ΔDEF.
[by AAA Similarity criterion]
Hence Proved
Remark: If two triangles ΔABC and ΔDEF are similar, then
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{DE}+\mathrm{EF}+\mathrm{DF}}\)
[By ratio and proportion]
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}=\frac{\text { Perimeter of } \triangle \mathrm{ABC}}{\text { Perimeter of } \triangle \mathrm{DEF}}\)

Area of Similar Triangles
In this section, we shall discuss the relationship between the ratio of the areas of two similar triangles and the ratio of their corresponding sides. This is stated as follows.

Theorem 6.6:
The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.
Given: Two triangles ABC and DEF such that ΔABC ~ ΔDEF
To Prove :

Construction : Draw AL ⊥ BC and DM ⊥ EF.

Proof : Since ΔABC ~ ΔDEF, it follows that they are equiangular and their corresponding sides are proportional.
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.
and \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) …..(1)
Thus in ΔALC and ΔDMF.
∠ALC = ∠DMY (each = 90°)
∠C = ∠F (given)
∴ ΔALC ~ ΔDMF (By AA similarity criterion)
⇒ \(\frac{A L}{D M}=\frac{A C}{D F}\)
[Corresponding sides of two similar Δs proportional] …..(2)
From (1) and (2), we get

Therefore, from (4) and (5), we get

Hence Proved

Remark: According to theorem 6.6. we shall prove that areas of two similar triangles are in the ratio of the squares of the corresponding
(i) Altitudes (ii) Medians (iii) Angle bisectors.
(i) Given : ΔABC ~ ΔDEF
AM ⊥ BC and DN ⊥ EF.


Proof: In ΔAMC and ΔDNP
∠AMC = ∠DNF [each = 90°]
∠C = ∠F [∵ ΔABC ~ ΔDEF]
ΔAMC ~ ΔDNF [By AA similarity criterion]
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}\)
[Corresponding sides of similar Δs are proportional] …..(1)

Hence Proved

(ii) Given: AX and DY are the median a to side BC and EF respectively.
To Prove :

Proof : ΔABC ~ ΔDEF (given)
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)
(corresponding sides of similar Δs are proportional)

(iii) Given ΔABC ~ ΔDEF and AM is the bisector of ∠A and DN is the bisector of ∠D

To Prove:

Proof: ∵ ΔABC ~ ΔDEF
∴ ∠A = ∠D
[Corresponding ∠s of similar Δs are equal]
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠A = \(\frac{1}{2}\)∠D
⇒ ∠CAM = ∠FDN
[∵ AM is the bisector of ∠A and DN is the bisector of ∠D]
Now, in ΔAMC and ΔDNF
∠C = ∠F [∵ ΔABC ~ ΔDEF]
and ∠CAM = ∠FDN [Proved above]
∴ ΔAMC ~ ΔDNF
[By AA similarity criterion]
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}\) …..(1)

Hence Proved

Pythagoras Theorem
We have study about Pythagoras theorem in previous classes. We shall prove this theorem using the concept of similarity of triangles. We shall use an important result related to similarity of two triangles formed by the perpendicular to the hypotenuse drawn from the opposite vertex to the hypotenuse of a right triangle. This is stated as follows:

Theorem 6.7:
If perpendicular is drawn from the vertex of the right angle of a right triangle to the hypotenune then triangles on both sides of the perpendicular are similar to the whole triangle and to each other.
Given: Aright ΔABC right angled at ∠B and BD ⊥ AC.
To Prove: (i) ΔADB ~ ΔABC (ii) ΔBDC ~ ΔABC (III) ΔADB ~ ΔBDC
Proof: (i) In ΔADB and ΔABC,
∠ADB = ∠ABC (∵ ∠B = 90° and BD ⊥ AC)
∠A = ∠A (common)
ΔADB ~ ΔABC
[By AA similarity criterian] … (1)
Hence Proved

(ii) In ΔBDC and ΔABC
∠BDC = ∠ABC (each is 90°)
∠C = ∠C (common)
ΔBDC ~ ΔABC ……(2) [By AA similarity criterion]
Hence Proved

(iii) From (1) and (2), we get
ΔADB ~ ΔBDC. Hence Proved
A very important property of a right triangle was given by a Greek mathematician Phythagoras more than 2000 years ago, which is called the Pythagoras theorem. Thus is stated as follows:

Theorem 6.8:
In a right triangle the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.
Given: A right triangle ΔABC right angled at B.
To Prove (Hypotenuse)² = (Base)² + (Perpendicular)²
i.e., AC² = AB² + BC²
Construction : Draw BD ⊥ AC.
Proof: ΔADB ~ ΔABC [By theorem 6.7]
⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
[Corresponding sides of similar Δs are proportional]
⇒ AD × AC = AB² …….(1)
and ΔBDC ~ ΔABC [By theorem 6.7]

⇒ \(\frac{C D}{B C}=\frac{B C}{A C}\)
Corresponding sides of similar Δs are proportional]
⇒ CD × AC = BC² …..(2)
Adding equations (1) and (2), we get
AD × AC + CD × AC = AB² + BC²
⇒ AC(AD + CD) = AB² + BC²
⇒ AC × AC = AB² + BC²
⇒ AC² = AB² + BC²
Hence Proved
This theorem was given by an ancient Indian mathematician Baudhayan about (800 BC) in the following form:
The diagonal of a rectangle produces by itself the same area as produced by its both sides (i.e., length and breadth)
For this reason this theorem is sometimes also referred to as Baudhayan theorem.

Theorem 6.9:
[Converse of Pythagoras theorem]
In a triangle, if square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the angle opposite the first side is a right angle.
Given: A ΔABC such that AC² + AB² + BC²
To Prove: ∠B = 90°
Construction : Construct a ΔDEF such that DE = AB, EF = BC and ∠E = 90°
Proof: In ΔDEP, ∠E = 90°

So, by the Pythagoras theorem, we have
DF² = DE² + EF²
DF² = AB² + BC² ……(1)
[By construction, DE = AB, EF = BC]
But, AC² = AB² + BC² ……(2) (given)
From (1) and (2) we get
DF² = AC²
⇒ DF = AC ……(3)
Thus, in ΔABC and ΔDEF
AB = DE [By construction]
BC = EF [By construction]
AC = DF [From (3)]
ΔABC ≅ ΔDEF
[By SSS congruente criterian]
⇒ ∠B = ∠E [By CPCT]
⇒ ∠B = ∠E = 90° [∵ ∠E = 90°]
Hence Proved

Some Results related to Pythagoras Theorem
(1) If ΔABC is an abtuse Δ, obtuse angled at B and AD ⊥ CB (Produced), Prove that AC² = AB² + BC² + 2BC × BD.
Given: An obtuse ΔABC in which ∠ABC > 90° and AD ⊥ CB (Produced)
To Prove: AC² = AB² + EC² + 2BC × BD
Proof : In ΔADB, ∠ADB = 90°
∴ AB² = AD² + BD² …….(i)
[By Pythagoras theorem]

Again In ΔADC, ∠ADC = 90°
∴ AC² = AD² + CD²
[By Pythagoras theorem]
⇒ AC² = AD² + (BC + BD)²
⇒ AC² = AD² + BC² + BD² + 2BC ×BD
⇒ AC² = (AD² + BD²) + BC² + 2BC × BD
⇒ AC² = AB² + BC² + 2BC × BD [Using (i)]
Hence Proved

(2) In a ΔABC, ∠B is an acute angle and AD ⊥ BC, Prove that
AC² = AB² + BC² – 2BC × BD.
Given: A ΔABC in which ∠B < 90° and AD ⊥ BC
To Prove: AC² = AB² + BC² – 2BC × BD
Proof: In ΔADB, ∠ADB = 90
∴ AB² = AD² + BD²
[By Pythagoras theorem]
In ΔADC, ∠ADC = 90° …..(i)

∴ AC² = AD² + CD² …..(ii)
[By Pythagoras theorem]
⇒ AC² = AD² + [BC – BD]²
⇒ AC² = AD² + BC² + BD² – 2BC × BD
⇒ AC² = (AD² + BD²) + BC² – 2BC× BD
⇒ AC² = AB² + BC² – 2BC × BD [Using (1)]
Hence Proved

(3) Prove that in any triangle them of the squares of any two sides is equal to twice the square of half of the third side together with twice the square of the median which bisects the third side.
Glven: A triangle ABC in which AD is median
To Prove : AB² + AC² = 2AD² + 2(\(\frac{1}{2}\)BC)²

Or AB² + AC² = 2AD² + 2BD²
⇒ AB² + AC² = 2(AD² + BD²)
Construction : Draw AM ⊥ BC
Proof: In ΔAMD, ∠AMD – 90°
∴ ∠ADM < 90°
∴ ∠ADB > 90° and AM ⊥ BD produced
∴ AB² = AD² + BD² + 2BD × DM ……(i) [By Result (1)]
In ΔADC, ∠ADC < 90° and AM ⊥ CD
∴ AC² = AD² + CD² – 2CD × DM [By Result (2)]
AC² = AD² + BD² – 2BD × DM ……(ii) [CD = BD]
Addding (i) and (ii), we get
AB² + AC² = AD² + BD² + 2BD × DM + AD² + BD² – 2BD × DM.
⇒ AB² + AC² = 2AD² + 2BD²,
OR, AB² + AC² = 2AD² + 2(\(\frac{1}{2}\)BC)²
[∵ BD = \(\frac{1}{2}\)BC]
Hence Proved

(4) Prove that three times the sum of the squares of the sides of a triangle is equal to four times the sum of the squares of the medians of the triangle.
Given: A triangle ABC in which AD, BE and CF are three medi
To Prove: 3(AB²+ BC² + CA²) = 4(AD² + BE² + CF²)

Proof: In ΔABC, AD is the median
AB² + AC² = 2(AD² + BD²) [By Result (3)]
⇒ AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²
⇒ AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC
⇒ 2AB² + 2AC² = 4AD² + BC² ….(i)
Similarly in ΔABC, BE and CF are the mediana, we get
2AB² + 2BC² = 4BE² + AC² ……(ii)
and 2AC² + 2BC² = 4CF² + AB² ……(iii)
Adding (i), (ii) and (iii), we get
4AB² + 4BC² + 4AC² = 4AD² + 4BE² + 4CF² + BC² + AC² + AB²
3AB² + 3BC² + 3AC² = 4AD² + 4CF²
3(AB² + BC² + AC²) = 4(AD² + BE² + CF²)
Hence Proved.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

→ चर x में एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है।

→ एक वास्तविक संख्या a द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का एक मूल कहलाती है, यदि aα² + bα + c = 0 हो। द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक और द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल एक ही होते हैं।

→ यदि हम ax² + bx + c, a ≠ 0 के दो रैखिक गुणकों में गुणनखंड कर सकें, तो द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल, प्रत्येक गुणक को शून्य के बराबर करके प्राप्त कर सकते हैं।

→ पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से भी दिए गए द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है।

→ विविक्तकर (Discriminant) D = b² – 4ac

→ द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 [जहाँ a, b, c ∈ R a ≠ 0] में यदि-
(i) b² – 4ac > 0, तो मूल वास्तविक तथा असमान होते हैं, जिनके मान-
α = \(\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\), β = \(\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
(ii) b² – 4ac = 0, तो मूल वास्तविक तथा समान होते हैं, जिसका मान α = \(\frac{-b}{2 a}\), β = \(\frac{-b}{2 a}\)
(iii) b² – 4ac <0, तो मूल वास्तविक नहीं होते।

→ द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में,
(i) मूलों का योगफल = \(\frac{-b}{a}\)
(ii) मूलों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
→ यदि मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात हो तो द्विघात समीकरण होगी।
x² – (मूलों का योगफल) x + मूलों का गुणनफल = 0

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
हमीद ने अपने घर के लिए, ढक्कन वाली एक घनाकार (cubical) पानी की टंकी बनवाई है, जिसका प्रत्येक बाहरी किनारा 1.5 मी० लंबा है। वह इस टंकी के बाहरी पृष्ठ पर, तली को छोड़ते हुए, 25 सें०मी० भुजा वाली वर्गाकार टाइलें (tiles) लगवाता है (देखिए आकृति)। यदि टाइलों की लागत ₹ 360 प्रति दर्जन है, तो उसे टाइल लगवाने में कितना व्यय करना पड़ेगा?

हल :
यहां पर
घनाकार टंकी की भुजा (a) = 1.5 मी० = 150 सें०मी०
घनाकार टंकी के उस पृष्ठीय तल का क्षेत्रफल जिस पर टाइलें लगवानी हैं = 5 × (a)²
= 5 × 150 × 150 सें०मी०²
= 112500 सें०मी०²
1 वर्गाकार टाइल की भुजा = 25 सें०मी०
1 वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल = ( भुजा )²
= 25 × 25 = 625 सें०मी०²
वांछित टाइलों की संख्या = टंकी का पृष्ठीय क्षेत्रफल / एक टाइल का क्षेत्रफल
= \(\frac{112500}{625}\) = 180
12 टाइलों का व्यय = ₹ 360
1 टाइल का व्यय = ₹ \(\frac{360}{12}\)
180 टाइलों का व्यय = \(\frac{360}{12}\) × 180 = ₹ 5400.

प्रश्न 2.
एक संदूक के माप 48 सें०मी०, 36 सें०मी० व 28 सें०मी० है। संदूक का आयतन ज्ञात कीजिए। इस संदूक का कवर बनाने के लिए कितने कपड़े की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहां पर
l = 48 सें०मी०
b = 36 सेंव्मी०
h = 28 सें०मी०
(i) संदूक का आयतन (V) = l × b × h = 48 × 36 × 28 सें०मी०
= 48384 सें०मी०³

(ii) संदूक का कवर बनाने के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल = 2 [lb + bh + hl]
= 2 [48 × 36 + 36 × 28 + 28 × 48 ] सें०मी०²
= 2 × 48 × [ 1 × 36 + 3 × 7 +28 × 1] सें०मी०²
= 96 × 85 सें०मी०²
= 8160 सें०मी०²

प्रश्न 3.
सावित्री को अपने विज्ञान के प्रोजेक्ट के लिए एक बेलनाकार केलिडोस्कोप (kaleidoscope) का मॉडल बनाना था। वह इस केलिडोस्कोप की वक्र पृष्ठ बनाने के लिए चार्ट कागज (chart paper) का प्रयोग करना चाहती थी (देखिए आकृति)। यदि वह 25 सें०मी० लंबाई और 3.5 सें०मी० त्रिज्या का केलिडोस्कोप बनाना चाहती है, तो उसे चार्ट कागज के कितने क्षेत्रफल की आवश्यकता होगी ? (π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

हल :
यहां पर
बेलनाकार केलिडोस्कोप की त्रिज्या (r) = 3.5 सें०मी०
केलिडोस्कोप की ऊंचाई (लंबाई) (h) = 25 सें०मी०
अतः, आवश्यक चार्ट कागज का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 25 सें०मी०²
= 550 सें०मी०²

प्रश्न 4.
किसी भवन का ऊपरी भाग अर्धगोलाकार है और इस पर पेंट किया जाना है (देखिए आकृति)। यदि इस अर्धगोले के आधार की परिधि 17.6 मी० है, तो 5 रुपए प्रति 100 सें०मी० की दर से इसे पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

यहां पर,
आधार की परिधि = 17.6 मी०
2πr = 17.6
2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 17.6
r = \(\frac{17.6 \times 7}{2 \times 22}\) मी०
= 2.8 मी०
इसीलिए, भवन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.8 × 2.8 मी०²
= 49.28 मी०²
100 सें०मी०- पेंटिग की लागत = ₹ 5
1 मी०- पेंटिग की लागत = ₹ 500 [∵ 1 मी०² = 10000 सें०मी०²]
अतः, 49.28 मी०² पेंटिग की लागत = ₹ (500 × 49.28) = ₹ 24640

प्रश्न 5.
एक खुले मैदान में 10 मी० लंबी एक दीवार का निर्माण किया जाना था। दीवार की ऊंचाई 4 मी० है और उसकी मोटाई 24 सें०मी० है। यदि इस दीवार को 24 सें०मी० x 12 सें०मी० x 8 सें०मी० विमाओं वाली ईंटों से बनाया जाना है, तो इसके लिए कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहां पर,
दीवार की लंबाई (l) = 10 मी० = 1000 सें०मी०
दीवार की चौड़ाई (b) = 24 सें०मी०.
दीवार की ऊंचाई (h) = 4 मी० = 400 सें०मी०
दीवार का आयतन (V) = lbh
= 1000 × 24 × 400 सें०मी०³
= 9600000 सें०मी०
1 ईंट का आयतन = 24 × 12 × 8 सें०मी०³
= 2304 सें०मी०³
वांछित ईंटों की संख्या = दीवार का आयतन / 1 ईट का आयतन
= \(\frac{9600000}{2304}\)
= 4166.6 2304
= 4167.

प्रश्न 6.
रमजान के एक मेले में, भोज्य पदार्थों के एक स्टॉल पर दुकानदार के पास आधार त्रिज्या 15 सें०मी० वाला एक बर्तन था जो 32 सें०मी० की ऊंचाई तक संतरे के जूस से भरा हुआ था। जूस को 3 सें०मी० त्रिज्या वाले बेलनाकार गिलासों में 8 सें०मी० ऊंचाई तक भरकर 3 रुपए प्रति गिलास की दर से बेचा जाता है (देखिए आकृति)। जूस को पूरा बेचने पर दुकानदार को कुल कितनी राशि प्राप्त हुई ?
हल :

यहां पर,
बड़े बर्तन की त्रिज्या (R) = 15 सें०मी०
बड़े बर्तन की ऊंचाई (H) = 32 सें०मी०
बड़े बर्तन में जूस का आयतन = बेलनाकार बर्तन का आयतन
= πR²H
= π × 15 × 15 × 32 सें०मी०³
एक गिलास की त्रिज्या (r) = 3 सें०मी०
एक गिलास की ऊंचाई (h) = 8 सें०मी०
एक गिलास जूस का आयतन = πr²h
= π × 3 × 3 × 8 सें०मी०³
अतः जूस के बेचे गए गिलासों की संख्या = बर्तन का आयतन / एक गिलास का आयतन
= \(\frac{\pi \times 15 \times 15 \times 32}{\pi \times 3 \times 3 \times 8}\)
= 100
अतः, दुकानदार द्वारा प्राप्त की गई राशि = ₹ 3 × 100 = ₹ 300

प्रश्न 7.
सीसे के एक ठोस गोले, जिसकी त्रिज्या 8 सें०मी० है, से 1 सें०मी० त्रिज्या वाली कितनी गोलियां बनाई जा सकती हैं?
हल :
यहां पर,
ठोस गोले की त्रिज्या (R) = 8 सें०मी०
ठोस गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × π × 8 × 8 × 8 सें०मी०³
एक गोली की त्रिज्या (r) = 1 सें०मी०
एक गोली का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) π × 1 × 1 × 1 सें०मी०³
गोलियों की संख्या = ठोस गोले का आयतन / एक गोली का आयतन
= \(\frac{\frac{4}{3} \times \pi \times 8 \times 8 \times 8}{\frac{4}{3} \times \pi \times 1 \times 1 \times 1}\) = 512

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
लम्बाई 1, चौड़ाई b तथा ऊँचाई h वाले घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) lbh
(B) 2lbh
(C) 1b + bh + hl
(D) 2(lb + bh + hl)
उत्तर-
(D) 2(lb + bh + hl)

प्रश्न 2.
क्षेत्रफल का मात्रक होता है-
(A) वर्ग इकाई
(B) घन इकाई
(C) इकाई
(D) (इकाई)⁴
उत्तर-
(A) वर्ग इकाई

प्रश्न 3.
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा, यदि भुजा 6 सेमी है?
(A) 36 सेमी
(B) 144 सेमी
(C) 1296 सेमी²
(D) 216 सेमी²
उत्तर-
(D) 216 सेमी²

प्रश्न 4.
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है-
(A) 2 (l + b) × h
(B) 2 × (l + b + h) × h
(C) 2 × lbh
(D) 2 × (h + l) × b
उत्तर-
(A) 2 (l + b) × h

प्रश्न 5.
किनारे a वाले एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 6a²
(B) 5a²
(C) 3a²
(D) 4a²
उत्तर-
(D) 4a²

प्रश्न 6.
एक बॉक्स की लम्बाई 8 cm, चौड़ाई 4 cm तथा ऊँचाई 2 cm है; इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 112 cm²
(B) 56 cm²
(C) 64 cm²
(D) 112 cm³
उत्तर-
(A) 112 cm²

प्रश्न 7.
एक घनाकार टंकी को बनाने में 180 टाइलें लगनी हैं। यदि एक टाइल का मूल्य ₹ 30 हो तो टंकी बनाने पर कुल खर्च आएगा-
(A) ₹ 540
(B) ₹ 5400
(C) ₹ 54
(D) ₹ 54000
उत्तर-
(B) ₹ 5400

प्रश्न 8.
10 cm भुजा वाले धन के आकार के डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 600 cm²
(B) 600 cm³
(C) 400 cm²
(D) 400 cm²
उत्तर-
(D) 400 cm²

प्रश्न 9.
त्रिज्या तथा ॥ ऊँचाई वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) πrh
(B) 2πrh
(C) πr²h
(D) 2πr (r + h)
उत्तर-
(B) 2πrh

प्रश्न 10.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) πrh
(B) 2πrh
(C) πr²h
(D) 2πr (r + h)
उत्तर-
(D) 2πr (r + h)

प्रश्न 11.
3.5 cm त्रिज्या तथा 25 cm लम्बाई वाले बेलनाकार केलिडोस्कोप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 550 cm²
(B) 550 cm³
(C) 627 cm²
(D) 627 cm³
उत्तर-
(A) 550 cm²

प्रश्न 12.
14 cm ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm हो तो इसके आधार की त्रिज्या-
(A) 4 cm
(B) 2 cm
(C) 1 cm
(D) 3 cm
उत्तर-
(C) 1 cm

प्रश्न 13.
4 cm आन्तरिक व्यास वाले 77 cm लम्बे बेलनाकार धातु के पाइप का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 968 cm²
(B) 968 cm³
(C) 96.8 cm²
(D) 1936 cm²
उत्तर-
(A) 968 cm²

प्रश्न 14.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है यदि इसके आधार की त्रिज्या 0.7 m हो तो इसकी ऊँचाई होगी-
(A) 2 m
(B) 1 m
(C) 3 m
(D) 4 m
उत्तर-
(B) 1 m

प्रश्न 15.
3.5 m व्यास वाले तथा 10 m गहरे बेलनाकार कुएँ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 330 m²
(B) 220 m²
(C) 110 m²
(D) 55 m²
उत्तर-
(C) 110 m²

प्रश्न 16.
₹ 40 प्रति वर्ग मी० की दर से 110 वर्ग मी० क्षेत्रफल पर प्लास्टर कराने का व्यय होगा-
(A) ₹ 44000
(B) ₹ 44
(C) ₹ 440
(D) ₹ 4400
उत्तर-
(D) ₹ 4400

प्रश्न 17.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास 10 cm है और ऊँचाई 15 cm है। यदि π = 3.14 हो तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 628 cm²
(B) 628 cm³
(C) 471 cm²
(D) 471 cm³
उत्तर-
(A) 628 cm²

प्रश्न 18.
r त्रिज्या तथा l तिर्यक ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2πrl
(B) πrl
(C) πr(l + r)
(D) 2πr(l + r)
उत्तर-
(B) πrl

प्रश्न 19.
r त्रिज्या तथा l तिर्यक ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) πrl
(B) 2πrl
(C) πr(l + r)
(D) 2πr(l + r)
उत्तर-
(C) πr(l + r)

प्रश्न 20.
आधार की त्रिज्या 7 cm तथा तिर्यक ऊँचाई 10 cm वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 748 cm²
(B) 374 cm²
(C) 440 cm²
(D) 220 cm²
उत्तर-
(D) 220 cm²

प्रश्न 21.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm तथा आधार की त्रिज्या 12 cm है, इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) 28 cm
(B) 4 cm
(C) 20 cm
(D) 14 cm
उत्तर-
(C) 20 cm

प्रश्न 22.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) होगी-
(A) \(\sqrt{r^2+h^2}\)
(B) \(\sqrt{r^2-h^2}\)
(C) \(\sqrt{h^2-r^2}\)
(D) \(\sqrt[3]{r^2+h^2}\)
उत्तर-
(A) \(\sqrt{r^2+h^2}\)

प्रश्न 23.
एक शंकु के आधार की त्रिज्या \(\frac{21}{4}\) cm तथा तिर्यक ऊँचाई 10 cm है, इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 251.6 cm²
(B) 866.25 cm²
(C) 230 cm²
(D) 165 cm²
उत्तर-
(D) 165 cm²

प्रश्न 24.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm- तथा तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। इसके आधार की त्रिज्या होगी-
(A) 7 cm
(B) 3.5 cm
(C) 10.5 cm
(D) 14 cm
उत्तर-
(A) 7 cm

प्रश्न 25.
आधार की त्रिज्या 7 cm तथा तिर्यक ऊँचाई 14 cm वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 924 cm²
(B) 462 cm²
(C) 308 cm²
(D) 616 cm²
उत्तर-
(B) 462 cm²

प्रश्न 26.
26 m तिर्यक ऊँचाई तथा 10 m आधार की त्रिज्या वाले लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई होगी-
(A) 16 m
(B) 10 m
(C) 24 m
(D) 26 m
उत्तर-
(C) 24 m

प्रश्न 27.
आधार की त्रिज्या 6 m तथा ऊँचाई 8 m वाले शंकु के आकार के तम्बू की तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) 14 m
(B) 2 m
(C) 20 m
(D) 10 m
उत्तर-
(D) 10 m

प्रश्न 28.
आधार की त्रिज्या 7 m तथा तिर्यक ऊँचाई 25 m वाले शंकु के आकार के गुम्बद का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 550 m²
(B) 275 m²
(C) 1100 m²
(D) 704 m²
उत्तर-
(A) 550 m²

प्रश्न 29.
r त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2πr²
(B) 3πr²
(C) 4πr²
(D) πr²
उत्तर-
(C) 4πr²

प्रश्न 30.
r त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 3πr²
(B) 2πr²
(C) 4πr²
(D) πr²
उत्तर-
(B) 2πr²

प्रश्न 31.
त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) πr²
(B) 2πr²
(C) 4πr²
(D) 3πr²
उत्तर-
(D) 3πr²

प्रश्न 32.
7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 616 cm²
(B) 1232 cm²
(C) 308 cm²
(D) 924 cm²
उत्तर-
(A) 616 cm²

प्रश्न 33.
21 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 4158 cm²
(B) 2772 cm²
(C) 5544 cm²
(D) 1386 cm²
उत्तर-
(B) 2772 cm²

प्रश्न 34.
21 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2772 cm²
(B) 5544 cm²
(C) 1386 cm²
(D) 4158 cm²
उत्तर-
(D) 4158 cm²

प्रश्न 35.
14 cm व्यास वाले गोले का पृष्टीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 28 cm
(B) 28 cm²
(C) 42 cm²
(D) 616 cm²
उत्तर-
(D) 616 cm²

प्रश्न 36.
14 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 616 cm²
(B) 1232 cm²
(C) 1848 cm²
(D) 2464 cm²
उत्तर-
(C) 1848 cm²

प्रश्न 37.
यदि π = 3.14 हो तो 10 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 314 cm²
(B) 628 cm²
(C) 1256 cm²
(D) 942 cm²
उत्तर-
(D) 942 cm²

प्रश्न 38.
घनाभ का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है-
(A) l × b × h
(B) 2 × l × b × h
(C) 2 × (1+ b) × h
(D) 2 × (lb + bh + hl)
उत्तर-
(A) l × b × h

प्रश्न 39.
किसी ठोस वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की माप को कहा जाता है-
(A) परिमाप
(B) क्षेत्रफल
(C) आयतन
(D) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
उत्तर-
(C) आयतन

प्रश्न 40.
एक घन की भुजा 4 cm है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 16 cm²
(B) 96 cm²
(C) 64 cm²
(D) 12 cm²
उत्तर-
(B) 96 cm²

प्रश्न 41.
एक घन का किनारा 12 cm है, तो इसका आयतन होगा- .
(A) 1728 cm³
(B) 1728 cm²
(C) 36 cm³
(D) 36 cm²
उत्तर-
(A) 1728 cm³

प्रश्न 42.
एक ईंट की लम्बाई 24 cm, चौड़ाई 12 cm तथा ऊँचाई 8 cm है, इसका आयतन होगा-
(A) 2304 cm³
(B) 2304 cm²
(C) 4608 cm²
(D) 1152 cm³
उत्तर-
(A) 2304 cm³

प्रश्न 43.
माचिस की डिब्बी के माप 4 सें०मी० × 2.5 सें०मी० × 1.5 सें०मी० हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा ?
(A) 15 cm³
(B) 90 cm³
(C) 135 cm³
(D) 180 cm³
उत्तर-
(D) 180 cm³

प्रश्न 44.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मी० लंबी, 5 मी० चौड़ी और 4.5 मी० गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1 मी०³ = 10001)
(A) 135 लीटर
(B) 135000 लीटर
(C) 1350 लीटर
(D) 13500 लीटर
उत्तर-
(B) 135000 लीटर

प्रश्न 45.
एक घनाभाकार वर्तन 10 मी० लंबा और 8 मी० चौड़ा है। इसको कितना ऊंचा बनाया जाए कि इसमें 320 घन मीटर द्रव आ सके ?
(A) 4 m
(B) 5 m
(C) 6 m
(D) 4.5 m
उत्तर-
(A) 4 m

प्रश्न 46.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले वेलनाकार वर्तन का आयतन होगा-
(A) 2πrh
(B) πr²h
(C) 2πrh
(D) 2πr(h + r)
उत्तर-
(B) πr²h

प्रश्न 47.
आधार की त्रिज्या 21 cm तथा ऊँचाई 25 cm वाले वेलनाकार बर्तन का आयतन होगा-
(A) 34650 cm³
(B) 3465 cm³
(C) 346.50 cm³
(D) 34.650 cm³
उत्तर-
(A) 34650 cm³

प्रश्न 48.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास 7 cm तथा ऊँचाई 40 cm है, इसका आयतन होगा-
(A) 770 cm³
(B) 1155 cm³
(C) 1540 cm³
(D) 2310 cm³
उत्तर-
(C) 1540 cm³

प्रश्न 49.
7 cm त्रिज्या तथा 15 cm ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन होगा-
(A) 770 cm³
(B) 1155 cm³
(C) 1540 cm³
(D) 2310 cm³
उत्तर-
(D) 2310 cm³

प्रश्न 50.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले शंकु का आयतन होगा-
(A) πr²h
(B) \(\frac{1}{2}\) πr²h
(C) \(\frac{1}{3}\) πr²h
(D) 3πr²h
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{3}\) πr³h

प्रश्न 51.
6 cm त्रिज्या तथा 7 cm ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन होगा-
(A) 264 cm³
(B) 132 cm³
(C) 396 cm³
(D) 528 cm³
उत्तर-
(A) 264 cm³

प्रश्न 52.
9 cm ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, इसके आधार की त्रिज्या होगी-
(A) 8 cm
(B) 6 cm
(C) 4 cm
(D) 2 cm
उत्तर-
(C)4 cm

प्रश्न 53.
r त्रिज्या वाले गोले का आयतन होगा-
(A) 4πr²
(B) \(\frac{2}{3}\) πr³
(C) πr³
(D) \(\frac{4}{3}\) πr³
उत्तर-
(D) \(\frac{4}{3}\) πr³

प्रश्न 54.
r त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन होगा-
(A) \(\frac{2}{3}\) πr³
(B) \(\frac{4}{3}\) πr³
(C) \(\frac{1}{3}\) πr³
(D) πr³
उत्तर-
(A) \(\frac{2}{3}\) πr³

प्रश्न 55.
7 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन होगा-
(A) \(\frac{4312}{6}\) cm³
(B) \(\frac{4312}{5}\) cm³
(C) \(\frac{4312}{4}\) cm³
(D) \(\frac{4312}{3}\) cm³
उत्तर-
(D) \(\frac{4312}{3}\) cm³

प्रश्न 56.
एक अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या 3.5 cm है। इसका आयतन होगा-
(A) 89.6 cm³
(B) 89.8 cm³
(C) 89.5 cm³
(D) 89.2 cm³
उत्तर-
(B) 89.8 cm³

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 13 Surface Areas and Volumes Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 13 Surface Areas and Volumes

Introduction
In previous classes, we have learnt about surface areas and volumes of solids like cuboid, right circular cylinder, right circular cone and sphere. In this chapter we shall use our previous knowldege about these solids and learn about such solids which are combinations of two or more solids. For example a test tube which is combination of a cylinder and a hemisphere, an ice cream cone is a combination of a cone and a hemishpere, conical circus tent with cylindrical base is combination of a right circular cylinder and right circular cone etc. We shall find the surface area and volume of such solids.

In this chapter, we shall also discuss problems on surface area and volume of frustum of a cone for example bucket, glass tumbler, a friction clutch etc.

Some important terms are following:
1. Solids: Bodies which have three dimensions in space are called solids.
2. Volume: The amount of space occupied by a solid or bounded by a closed surface is known as the volume of solid.
3. Surface area: Surface area is the total sum of all the areas of all the shapes that cover the surface of solid.
4. Lateral surface area: Lateral surface in a solid is the sum of surface areas of all its faces excluding the bases of solid.
5. Cuboid: A cuboid is a solid bounded by six rectangular plane regions.
6. Cube: When all the edges of cuboid are equal in length, it is called a cube.
7. Right circular cylinder: If a rectangle is revolved about one of its sides, the solid thus formed is called right circular cylinder.
8. Right circular cone: If a right angled triangle is revolved about one of the sides containing a right angle, the solid then generated is called a right circular cone.
9. Sphere: The set of all points in space which are equidistant from a fixed point, is called a sphere.
10. Hemisphere: A plane through the centre of a sphere divides the sphere into equal parts, Each part is called a hemisphere.
11. Spherical shell: A spherical shell is the difference between the two solid concentric spheres.
12. Slant height: The slant height of a right circular cone is the distance measured along the lateral surfaces from any point on the circular base to top apex of the cone.
13. Frustum of a right circular cone: If a right circular cone is cut off by a plane parallel to its base. The portion of the cone between the plane and base of the cone is called a frustum of the cone. The shape of this part (Frustum of cone is like that of a bucket, funnels cans, etc.)

Surface area of a Combination of Solids Cuboid
If l, b and h denote respectively the length, breadth and height of a cuboid.

Then
(i) Volume of cuboid = l × b × h cubic units
= Area of the base × height
(ii) Total surface area of a cuboid = 2(lb + bh + hl) square units
(iii) Surface area of 4 walls of a room = 2(l + b) × h square units
(iv) Surface area of cuboid, in which top face is open = lb + 2(bh + hl) square units
(v) Diagonal of cuboid = \(\sqrt{l^2+b^2+h^2}\) units

Cube:
If all lengths of the edges of a cuboid are equal, then it is called a cube.
Let the length of each edge of cube be “a” units.

(i) Volume of cube = a³ cubic units
(ii) Total surface area of cube = 6a² square units
(iii) Diagonal of cube = \(\sqrt{3}\)a units
(iv) Edge of cube = \(\sqrt[3]{\text { Volume }}\)

Right circular cylinder:
If radius of base is r and height h, then

(i) Volume of cylinder = Area of base × Height
= πr²h cubic units
(ii) Curved surface area or lateral surface area of cylinder
= Perimeter of base × Height
= 2πrh square units
(iii) Total surface area of cylinder = Curved surface area + Area of two circular ends
= 2πrh + 2πr²
= 2πr (h + r) square units

Right circular hollow cylinder:
If R and rare external and internal radii of a right circular hollow cylinder of height h. Then

(i) Area of each end = π (R² – r²)
(ii) Volume of material = Exterior volume – Interior volume
= πR²h – πr²h
= πh (R² – r²) cubic unita
(iii) Curved surface area = External surface area + Internal surface area
= 2πRh + 2πrh
= 2πh (R + r) square units
(iv) Total surface area = curved surface area + Area of base rings
= 2πRh + 2πrh + 2π (R² – r²)
= 2πh(R + r) + 2π(R + r) (R – r)
= 2π (R + r) (h + R – r) square units

Right circular cone:
Consider a cone in which Radius of base = r, Height = h, and slant height (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\). Then,

(i) Volume of the cone = \(\frac{1}{3}\)πr²h cubic units
= \(\frac{1}{3}\)(Area of buse) × height
(ii) Curved surface area of cone = πrl sq. units
(iii) Total surface of the cone = Curved surface + Area of base
= πrl + πr²
= πr(l + r) sq. units

Sphere:
For a sphere of radius r. we have

(i) Volume of sphere = \(\frac{4}{3}\)πr³ cubic units
(ii) Surface area of sphere = 4πr² square units

Hemisphere:
For a hemishpere of radius r.
We have

(i) Volume of hemisphere = \(\frac{2}{3}\)πr³ cubic units
(ii) Curved surface area of hemisphere = 2πr² sq. unita
(iii) Total surface Area of hemisphere = 3πr² sq. units
In our daily life, we come across different solids which are combinations of different solids (cube, right circular cylinder, right circular cone, sphere, hemisphere, etc.).

For example: An ice-cream cone consisting a cone and a hemisphere, a circus tent which is combination of right circular cylinder and a right circular cone. A capsule is the form of a cylinder with hemispherical ends etc. Following examples will illustrate the method of finding surface areas and volumes of such combinations of solids.

Volume of a combination of solids
In the previous section, we have discussed how to find the surface area of solids made up of a combination of two basic solids. In this section, we shall explain the method of finding volumes of solids which are made by the combination of basic solids. The volume of the solid formed by joining two basic solids will actually be the sum of the volumes of the constituents, as we see in examples given below.

Conversion of solid from one shape to another
At times we may convert objects from one shape to another objects with different shapes or when a liquid which originally filled one container of a particular shape is poured into another container of a different shape or size.

For examples: A metallic sphere melted and recast into smaller cones. Spherical bullets made out of the solid cube. A sphere may be melted and recast into a wire, etc. For solving such types of problems the surface area will be change only and no change of volume takes place. Let us consider some examples to clear the method of conversion of solids from one shape to another.

Frustum of a right circular cone
If a right circular cone is cut off by a plane parallel to its base, the portion of the cone between the plane and base of the cone is called a frustum the cone. The shape of this part (Frustum of cone is like that of a bucket, funnels, flower pots, cans, jugs, lampshades etc.)

We consider a cone (VAB) which cuts by a plane CD parallel to the base AB through some point (0) on its axis and the portion containing the vertex (V) is removed. The left portion ACDB is usually called frustum of the cone.
A frustum of a right circular cone has two unequal flat circular bases and a curved surface.

The line segment OP joining the centres of two bases called the height of the frustum. Each of line segment AC and BD of frustum ACDB is called its slant height.

Volume and surface area of frustum
Let r₁ and r₂ be the radii of the circular end bases (r₁ > r₂) of the frustum ABCD of the cone (VAB). Let h and l be the vertical height and slant height respectively. Then OP = h and AC = BD = l. The frustum of right circular cone can be viewed as the difference of the two right circular cone VAB and VCD. Let the height of cone VAB be h₁ and its slant height be l₁, i.e, VP = h₁ and VA = VB = l₁
Height of the cone (VCD) = VP – OP = h₁ – h
Right ΔVOD ~ right ΔVPB (By AA similarity)




Volume of the frustum ACDB of the cone (VAB)
= Volume of cone (VAB) – Volume of the cone (VCD)

\(\frac{1}{3}\)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)
Hence, volume of the frustum of cone = \(\frac{1}{3}\)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²).
Again if A₁ and A₂ (A₁ > A₂) are the surface areas of the two circular bases. Then
A₁ = πr₁² and A₂ = πr²
Volume of the frustum of cone
= \(\frac{1}{3}\)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)
= \(\frac{h}{3}\) (πr₁² + πr₂² + \(\left.\sqrt{\pi r_1^2} \times \sqrt{\pi r_2^2}\right)\)}
Hence, volume of frustum of cone
= \(\frac{h}{3}\)(A₁ + A₂ + \(\sqrt{\mathrm{A}_1 \mathrm{~A}_2}\))
Now form right ΔDEB,
DB² = DE² + BE².
l² = h² + (r₁ – r₂)
[where BE = r₁ – r₂]
⇒ l = \(\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}\)
Again ΔVOD ~ ΔVPB (By AA similarity of criterion)

⇒ \(l_1-l=\frac{l r_1-l r_1+l r_2}{r_1-r_2}\)
⇒ \(l_1-l=\frac{l r_2}{r_1-r_2}\) ……..(4)
Curved surface of the furstum of cone

Hence, curved surface of the frustum of right circular cone
= πl(r₁ + r₂)
where l = \(\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}\)
Total surface area of frustum of right circular cone = curved surface area + area of base 1 + area of base 2
= πl(r₁ + r₂) + πr₁²+ πr₂²
= π[r₁² + r₂² + l (r₁ + r₁)]
Hence, total surface area of frustum of right circular cone = π[r₁² + r₂² + l(r₁ + r₂)].

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

→ रैखिक समीकरण अज्ञात राशियों (चर राशियों) तथा ज्ञात राशियों (अथर राशियों) के समला संबंध को समीकरण कहते हैं। यदि घर राशि की घात एक हो तो उसे रैखिक समीकरण कहते हैं।

→ एक चर वाला रैखिक समीकरण-एक चर बाले रैखिक समीकरण का रूप ax + b = 0 या ax = c जैसा होता है, जहाँ x एक चर है तथा a, b, c अचर राशियों अथवा वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है। समीकरण ax + b = 0 का हल x = \(-\frac{b}{a}\) होता है। इसे हम इस प्रकार भी कह सकते हैं कि \(-\frac{b}{a}\) समीकरण ax + b = 0 का मूल (Root) होता है।

→ दो घरों वाले रैखिक समीकरण- दो चरों वाले रैखिक समीकरण सामान्यतः ax + by + c = 0 अथवा ax + by = d के प्रकार के होते हैं, जहाँ x और y चर हैं तथा a, b, c और d अचर अथवा वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a ≠ 0, b ≠ 0 है।

→ दो घरों वाले रेखिक समीकरण का हल- x और y के उस मान युग्म को, जो समीकरण ax + by = c को संतुष्ट करता है, समीकरण का हल कहा जाता है। उदाहरणार्थ समीकरण x + 2y = 6 का एक हल x = 4, y = 1 है।

→ दो चरों x और y में रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप
a₁x + b₁y + c₁ = 0
और a₂x + b₂y + c₂ = 0 है
जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₁ सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और \(a_1^2+b_1^2 \neq 0\), \(a_2^2+b_2^2 \neq 0\) है।

→ एक रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय रूप में निरूपित किया जा सकता है और हल किया जा सकता है।

• ग्राफीय विधि द्वारा
• बीजगणितीय विधि द्वारा

→ ग्राफीय विधि द्वारा दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल-इन समीकरणों का आलेख एक सरल रेखा होता है। इस सरल रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देश अंक दिए हुए समीकरण को संतुष्ट करेंगे।

• प्रत्येक रैखिक समीकरण का ग्राफ खींचने के लिए दिए हए समीकरण के कोई दो या तीन हल ज्ञात करने की जरूरत होती है तथा ग्राफ खींचते समय x-अक्ष और y-अक्ष के साथ पैमाना लिखना जरूरी है।
• दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ क्रमशः l और m रेखाएँ होती हैं।
• यदि l तथा m प्रतिच्छेद करें तो समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।
• यदि l तथा m रेखाएँ संपाती हों तो निकाय के अनेक हल होंगे।
• यदि l तथा m रेखाएँ समांतर हों तो निकाय का कोई हल नहीं होगा।

→ समीकरण युग्मों a₁x + b₁y = c₁ तथा a₂x + b₂y = c₂ के हल के लिए-
(A) यदि \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) तो समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल होता है।
यह हल है- x/b₁c₂ – b₂c₁ = y/c₁a₂ – c₂a₁ = 1/a₁b₂ – a₂b₁
(B) यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) तो समीकरण-युग्म का कोई हल नहीं होता।
(C) यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) तो समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं।

→ रैखिक समीकरण के हल की बीजगणितीय विधियों-

• प्रतिस्थापन विधि
• विलोपन विधि
• वज्र गुणन विधि

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 11 Constructions Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 11 Constructions

Introduction
In class IX, we have learnt about some constructions namely drawing the perpendicular bisector of a line segment, bisecting an angle, some constructions of triangles also gave their justifications In this chapter we shall study some more constructions by using the knowledge of the earlier constructions e.q. division of a line segment drawing a triangle similar to a given triangle and drawing of tangents to a circle.

Division of a line Segment
First of all, we will know about some basic terms.
1. Construction: The process or art of constructing, OR the act of devising and forming.
2. Similar: Two geometrical figures are similar if they are of the same shape but not necessarily of the same size.
3. Bisect: To divide into two equal parts.
4. Arc: The part of a curve between two given points on the curve.
5. Altitude: A line through one vertex of a triangle and perpendicular to the opposite side.
6. Tangent: It is a straight line which touches the circle at one point only
7. Point of Contact: The point at which the tangent touches the circle is called the point of contact
8. Concentric circles: Two circles are known as concentric circles, if they have some centre and different radii.
9. Corresponding : (i) Similar in character, form or function.
(ii) Able to be matched, joined or interlocked.

Construction 1:
To divide a line segment in a given ratio
Given a line segment AB, we want to divide it in the ratio m : n here m and n are positive integers. We take m = 2, n = 3.
Steps of Construction:
1. Draw any ray AX, making an acute angle with AB.
2. Along AX mark (2 + 3) = 5 points A₁, A₂, A₃, A₄ and A₅ such that AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅.
3. Join A₅B.
4. From the point A₂ draw A₂C || A₅B, meeting AB at C. Then AC : BC = 2 : 3.

Justification: In ΔACA₂ and ΔABA₅ we have CA₂ || BA₅
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AA}_2}{\mathrm{~A}_2 \mathrm{~A}_5}\)
[By Basic proportionality theorem]
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3}\)
Hence, AC : BC = 2 : 3.

Alternative Method:
Steps of Construction:
1. Draw a line segment AB.
2. Draw a ray AX making an acute angle with AB.
3. Draw a ray BY (On opposite side of AX) parallel to AX making ∠ABY = ∠BAX.
4. Along AX mark the points A₁, A₂ and along By mark the points B₁, B₂, B₃ such that AA₁ = A₁A₂ = BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃.

5. Join A₂B₃ intersecting AB at point C. Then
AC : BC = 2 : 3.
Justification: Here, AX || BY
∠CAX = ∠ABY (Alternate interior ∠S)
∠ACA₂ = ∠BCB₃ (Vertically opposite ∠S)
ΔCAA₂ ~ ΔCBB₃ (By AA similarity criterian)
⇒ \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AA}_2}{\mathrm{BB}_3}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3}\)
Hence, AC : BC = 2 : 3.

Construction 2:
To construct a triangle similar to a given triangle as per given scale factor.
Scale factor means the ratio of the sides of the triangle to be constructed with the corresponding sides of the given triangle e.g.
1. Scale factor \(\frac{2}{3}\) means the sides of the constructed triangle is \(\frac{2}{3}\) of the sides of given triangle.
2. Scale factor \(\frac{5}{4}\) means the sides of the constructed triangle is \(\frac{5}{4}\) of sides of given triangle.
Let us take the following examples for understanding the construction involved.

Construction of Tangents to a Circle
We study in circles (Chapter-10) that tangent to circle is a line that intersects the circle at only one point. The point is called the point of contact. The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.
(a) Construction of Tangents to a Circle from a point outside the circle when its centre is known:
Steps of Construction:
1. Draw a Circle with centre O and given radius.
2. Mark a point P outside the circle.
3. Join OP and draw perpendicular bisector of PO meeting PO at M.
4. Draw a circle with M as centre and radius equal to PM = OM. intersecting the given circle at points Q and R.

5. Join PQ and PR.
Then PQ and PR are the required tangents.

(b) Construction of Tangents to a circle from a point outside the circle when the centre of circle is not known:
Steps of Construction:
1. Taking three points A, B, C on the circle and join AB and BC.
2. Draw perpendicular bisectors of AB and BC which intersect each other at point O.
3. Then O is the required centre of the given circle.

4. Mark a point P outside the circle.
5. Join PO and draw perpendicular bisector of PO meeting PO at M.
6. M as the centre, PM = MO as the radius draw another circle which intersects the previous circle at the points Q and R.
7. Join PQ and PR.
Then PQ and PR are the required tangents.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 2 बहुपद Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 2 बहुपद

→ बहुपद की पात- घर x के बहुपद p (x) में x को उच्चतम घात (power) यहुपद की घात कहलाती है; जैसे बहुपद 5x³ – 4x² + x – \(\sqrt{2}\) चर x में घात 3 का बहुपद है।

→ घातों एक, दो और तीन के बहुपद क्रमशः रखिक बहुपद, द्विघात बहुपद एवं त्रिवात बहुपद कहलाते हैं।

→ एक द्वियात बहुपद ax² + bx + c जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है के रूप का होता है।

→ यदि p (x), x में कोई बहुपद है और कोई वास्तधिक संख्या है, तो p(x) में x को k से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या p(x) का x = k पर मान कहलाती है और इसे P (k) से निरूपित करते हैं।

→ कोई वास्तविक संख्या k, बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है यदि p(k) = 0 हो।

→ किसी रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक \(\frac{-b}{a}\) होता है।

→ एक बहुपद p (x) के शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ y = p(x) का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

→ एक द्विघात बहुपद के अधिक-से-अधिक दो शून्यक और एक त्रिघात बहुपद के अधिक-से-अधिकं तीन शून्यक हो सकते हैं।

→ यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हो, तो उनका योगफल व गुणनफल निग्न होगा-
α + β = \(-\frac{b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)

→ यदि किसी द्विधात बहुपद के दो शून्यक दिए गए हों तो बहुपद होगा-
बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + शून्यकों का गुणनफल

→ यदि α, β, γ त्रिपात बहुपद ax³ + bx² + cx + d = 0 के शून्यक हों, तो उनका योगफल व गुणनफल निम्न होगा-
α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}\)
और αβγ = \(\frac{-d}{a}\)

→ यदि α, β व γ एक विधात बहुपद के शून्यक हों तो बहुपद = x³ – (α + β + γ) x² + (αβ + βγ + γα) x – αβγ

→ विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार दिए गए बहुपद p (x) और शून्येतर बहुपद g(x) के लिए दो ऐसे बहुपदों q(x) तथा r(x) का अस्तित्व है कि P(x) = g (x) q(x) + r(x),
जहाँ r(x) = 0 है या बात r(x) < घात g(x) है।