HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 7 त्रिभुज

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 7 त्रिभुज Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 7 त्रिभुज

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न:

प्रश्न 1.
सिद्ध करें कि दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हो।
हल :
दिया है : दो त्रिभुज ABC और DEF में ∠B = ∠E, ∠C = ∠F तथा BC = EF.
सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆DEE.
प्रमाण : स्थिति (1) : जब AB = DE हो तो ∆ABC और ∆DEF में
AB = DE [माना]
∠B = ∠E [दिया है]
BC = EF [दिया है]
अतः ∆ABC ≅ ∆DEF [SAS नियम द्वारा]

स्थिति (ii) : जब AB > DE हो तो AB पर एक बिंदु P ऐसा ले कि PB = DE हो।

अब ∆PBC और ∆DEF में,
PB = DE [रचना से]
∠B = ∠E [दिया है]
BC = EF [दिया है]
अतः
∆PBC = ∆DEF [SAS सर्वांगसमता अभिगृहीत द्वारा]
चूँकि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए इनके संगत भाग बराबर होने चाहिएँ। अतः
अतः ∠PCB = ∠DFE
परंतु हमें दिया है कि
∠ACB = ∠DFE
अतः ∠ACB = ∠PCB
परंतु यह तभी संभव है, जब P बिंदु A के साथ संपाती हो।
BA = ED
अतः ∆ABC = ∆DEF [SAS अभिगृहीत द्वारा]

स्थिति (iii) :
जब AB < DE हो तो DE पर एक बिंदु M इस प्रकार ले सकते हैं कि ME = AB हो अब स्थिति (ii) को दोहराते हुए हम सिद्ध कर सकते हैं। AB = DE
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF [इति सिद्धम]

प्रश्न 2.
∆ABC में, ∠A का समद्विभाजक AD, भुजा BC पर लंब है, दर्शाइए कि AB = AC है और ∆ARC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:

दिया है : ∆ABC में ∠A का समद्विभाजक AD, भुजा BC पर लंब है
अर्थात् AD ⊥ BC.
सिद्ध करना है : ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रमाण : ∆ABD और ∆ACD में
∠BAD = ∠CAD [दिया है]
AD = AD [उभयनिष्ठ]
∠ADB = ∠ADC [प्रत्येक 90°]
∴ ∆ABD = ∆ACD [ASA नियम से]
AB = AC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
AB एक रेखाखंड है तथा बिंदु Pऔर Q इस रेखाखंड AB के विपरीत ओर इस प्रकार स्थित है कि इनमें से प्रत्येक A और B से समदूरस्थ है (आकृति अनुसार)। दर्शाइए कि रेखा PQ रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है।

हल :
दिया है : AB एक रेखाखंड है तथा बिंदु P और Q रेखाखंड AB के विपरीत ओर इस प्रकार हैं कि PA = PB तथा QA = QB.
सिद्ध करना है : PQ ⊥ AB तथा PQ रेखाखंड AB को समद्विभाजित करती है।
रचना : माना रेखा PQ रेखाखंड AB को C पर प्रतिच्छेद करती है।
प्रमाण : ∆PAQ और ∆PBQ में,
AP = BP [दिया है]
AQ = BQ [दिया है]
PQ = PQ [उभयनिष्ठ]
अतः ∆PAQ = ∆PBQ [SSS नियम से]
इसलिए ∠APQ = ∠BPQ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः ∆PAC और ∆PBC में, AP = BP [दिया है]
अतः ∠APC = ∠BPC [∠APQ = ∠BPQ प्रमाणित]
PC = PC [उभयनिष्का]
अतः ∆PAC ≅ ∆PBC [SAS नियम से]
इसलिए AC = BC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] ……………..(1)
और ∠ACP = ∠BCP (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠ACP + ∠BCP = 180° (रैखिक युग्म]
इसलिए 2 ∠ACP = 180° ∠ACP = 90° ……………..(2)
समीकरण (1) व (2) से रेखा PQ रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है।

प्रश्न 4.
आकृति में, AB तथा CD का मध्य बिंदू 0 है सिद्ध करें कि AC = BD तथा AC || BD.

हल :
∆OAC तथा ∆OBD में, OA = OB [दिया है]
∠AOC = ∠BOD [शीर्षाभिमुख कोण]
OC = OD [दिया है]
∴ ∆OAC ≅ ∆OBD [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से]
⇒ AC = BD तथा ∠OAC = ∠OBD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
परंतु ∠OAC और ∠OBD एकांतर कोण हैं।
∴ AC || BD
अतः AC = BD तथा AC || BD [इति सिद्धम|

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
हल :
दिया है : एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें AB = AC है।

सिद्ध करना है : ∠B = ∠C
रचना : ∠A का समद्विभाजक खींचे, जो BC से D पर मिलता है।
प्रमाण : ∆BAD और ∆CAD में, AB = AC (दिया है)
∠BAD = ∠CAD (रचना से) AD = AD (उभयनिष्ठ)
अतः ∆BAD = ∆CAD (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता नियम)
इसलिए ∠ABD = ∠ACD (CPCT)
अर्थात् ∠B = ∠C (इति सिद्धम)

प्रश्न 6.
∆ABC की भुजा BC पर D एक ऐसा बिंदु है कि AD = AC है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि AB >AD है।

हल :
∆DAC में,
AD = AC [दिया है]
इसलिए ∠ADC = ∠ACD ……………(1)
[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
क्योंकि, ∠ADC त्रिभुज ABD का एक बहिष्कोण है।
इसलिए
∠ADC > ∠ABD
या ∠ACD > ∠ABD [समीकरण (1) से]
या ∠ACB > ∠ABC
AB > AC [∆ABC में बड़े कोण की सम्मुख भुजा]
या AB > AD [AD = AC]

प्रश्न 7.
PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें PQ = PR तथा भुजा QP को बिंदु S तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि PQ = PS (आकृति अनुसार)। सिद्ध करें कि ∠QRS एक समकोण है।

हल :
यहाँ पर
PQ = PR [दिया है]
∴ ∠PRQ = ∠PQR …………..(1)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
इसी प्रकार
PQ = PS [दिया है]
∴ PR = PS [∵ PQ = PR]
अतः ∠PRS = ∠PSR …………….(2)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (1) व (2) से
∠PRQ + ∠PRS = ∠PQR + ∠PSR
∠QRS = ∠PQR + ∠PSR …………..(3)
परंतु ∠QRS + ∠PQR + ∠PSR = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग]
∠QRS + ∠QRS = 180° [समीकरण (3) से]
2 ∠QRS = 180°
∠QRS = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
अतः ∠QRS एक समकोण है।

Multiple Choice Questions with Answers:

प्रश्न 1.
आकृति में, OA = OB और OD = OC है, तो ∆AOD ≅ ∆BOC किस नियम पर आधारित है ? \

(A) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(B) कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता
(C) भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता
(D) समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
उत्तर-
(A) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता

प्रश्न 2.
क्या आकृति में, ∆ABC और ∆PQR सर्वांगसम है ?

(A) नहीं
(B) हाँ, कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता से
(C) हाँ, भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(D) हाँ, भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से
उत्तर-
(B) हाँ, कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता से

प्रश्न 3.
चतुर्भुज ∆CBD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है, तो ∆ABC = ∆ABD क्योंकि

(A) AC = AD है
(B) AB = AB है
(C) ∠BAC = ∠BAD है
(D) उपरोक्त सभी हैं
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी हैं

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से निर्मित त्रिभुज _____________ होता है।
(A) समकोण त्रिभुज
(B) समबाहु त्रिभुज
(C) अधिक कोण त्रिभुज
(D) समद्विबाहु त्रिभुज
उत्तर-
(A) समकोण त्रिभुज

प्रश्न 5.
एक चतुर्भुज की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिंदु को मिलाकर बनाई गई आकृति ___________ होती है।
(A) समचतुर्भुज
(B) वर्ग
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) आयत
उत्तर-
(C) समांतर चतुर्भुज

प्रश्न 6.
त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के ___________ तथा उसका ___________ होता है।
(A) असमांतर, दुगुना
(B) समांतर, आधा
(C) समांतर, दुगुना
(D) असमांतर, आधा
उत्तर-
(B) समांतर, आधा

प्रश्न 7.
समकोण त्रिभुज में अन्य दो कोणों में से प्रत्येक होता है-
(A) अधिक कोण
(B) न्यून कोण
(C) समकोण
(D) शून्य कोण
उत्तर-
(B) न्यून कोण

प्रश्न 8.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ समान ना हों, तो बड़ी भुजा का सम्मुख कोण ____________ होता है।
(A) बराबर
(B) छोटा
(C) बड़ा
(D) (A) और (B) दोनों
उत्तर-
(C) बड़ा

प्रश्न 9.
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा । पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?

(A) BP = BQ
(B) ∆APB = ∆AQB
(C) AB = AP
(D) ∠AQB = ∠APB
उत्तर-
(C) AB = AP

प्रश्न 10.
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है, तो BC = DE है क्योंकि-

(A) ∆BAC = ∆DAE
(B) ∆ABD = ∆AEC
(C) ∆BAC = ∆ABD
(D) ∆DAE = ∆AEC
उत्तर-
(A) ∆BAC = ∆DAE

प्रश्न 11.
किसी APQR में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?
(A) PQ + QR < RP
(B) QR + RP < PQ (C) RP + PQ > QR
(D) RP + PQ < QR उत्तर- (C) RP + PQ > QR

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है
(B) चतुर्भुज के चार कोणों का योग तीन समकोण होता है
(C) त्रिभुज में दो समकोण बन सकते हैं
(D) त्रिभुज में दो अधिक कोण हो सकते हैं
उत्तर-
(A) त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है

प्रश्न 13.
जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हों, उसे कहा जाता है-
(A) समबाहु त्रिभुज
(B) समद्विबाहु त्रिभुज
(C) विषमबाहु त्रिभुज
(D) समकोण त्रिभुज
उत्तर-
(B) समद्विबाहु त्रिभुज

प्रश्न 14.
जिस त्रिभुज का एक कोण 90° हो, उसे कहा जाता है-
(A) समकोण त्रिभुज
(B) समबाहु त्रिभुज
(C) समद्विबाहु त्रिभुज
(D) विषमबाहु त्रिभुज
उत्तर-
(A) समकोण त्रिभुज

प्रश्न 15.
निम्नलिखित में से कौन-से कोणों वाली त्रिभुज संभव नहीं है ?
(A) तीनों न्यून कोण हों
(B) एक समकोण व दो न्यून कोण हों
(C) तीनों अधिक कोण हों।
(D) तीनों समान कोण 60° के हों
उत्तर-
(C) तीनों अधिक कोण हों

प्रश्न 16.
त्रिभुज ABC में, AB = AC = 5cm है तथा ∠C = 50° हो, तो ∠A का मान होगा-

(A) 50°
(B) 80°
(C) 40°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 80°

प्रश्न 17.
∆PQR में, यदि ∠QPR = ∠PRQ = 50° हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) PQ = QR
(B) QR = RP
(C) PQ = RP
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(A) PQ = QR

प्रश्न 18.
∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° है और AB = AC है, तो ∠B = ∠C होगा-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
उत्तर-
(B) 45°

प्रश्न 19.
किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है-
(A) 60° का
(B) 45° का
(C) 30° का
(D) 90° का
उत्तर-
(A) 60° का

प्रश्न 20.
निम्नलिखित में से कौन-से कोणों वाली त्रिभुज संभव है ?
(A) 120°, 30°, 50°
(B) 120°, 30°, 30°
(C) 90°, 45°, 60°
(D) 60°, 65°, 70°
उत्तर-
(B) 120°, 30°, 30°

प्रश्न 21.
आकृति में, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है, तो ∠BCD का मान होगा-

(A) 45°
(B) 90°
(C) 135°
(D) 180°
उत्तर-
(B) 90°

प्रश्न 22.
आकृति में, ∆ABC और ∆PQR किस सर्वांगसमता के अंतर्गत सर्वांगसम है ?

(A) भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता
(B) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(C) कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता
(D) समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
उत्तर-
(D) समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता

प्रश्न 23.
∆ABC = ∆PQR है यदि ∆ABC में AB = 4 cm, ∠B = 60°, BC = 5 cm हो और ∆PQR में, PQ = 4 cm, ∠Q = 60° हो, तो QR का मान होगा-
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 1 cm
(D) 9 cm
उत्तर-
(B) 5 cm

प्रश्न 24.
यदि ∆ABC ≅ ∆PQR हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) AB = PQ
(B) BC = QR
(C) CA = RP
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 25.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है
(B) AD कोण A को समद्विभाजित करता है
(C) (A) व (B) दोनों सत्य हैं
(D) (A) व (B) दोनों असत्य हैं
उत्तर-
(D) (A) व (B) दोनों असत्य हैं

प्रश्न 26.
एक त्रिभुज ABC सर्वांगसम है ∆PQR के। यदि AABC में ∠A = 90°, कर्ण BC = 5 cm तथा भुजा AC = 4 cm तथा ∆ PQR में ∠P = 90° तथा भुजा PR = 4 cm हो, तो कर्ण QR का मान होगा-
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 3 cm
(D) 6 cm
उत्तर-
(B) 5 cm

प्रश्न 27.
आकृति में ∆ABC में, ∠ABC = 120° तथा ∠BCA = 30° है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) AC > AB
(B) AC < AB (C) AC = AB (D) AC > AB + BC
उत्तर-
(A) AC > AB

प्रश्न 28.
यदि ∆ABC में, AB = 8 cm, BC = 5 cm है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?

(A) ∠C > ∠A
(B) ∠C < ∠A (C)∠C = ∠A (D) उपरोक्त में से कोई भी नहीं उत्तर- (A) ∠C > ∠A

प्रश्न 29.
किसी त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) AB + BC > AC
(B) BC + AC > AB
(C) AC + AB > BC
(D) AC + AB < BC
उत्तर-
(D) AC + AB < BC

प्रश्न 30.
समकोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा होती है-
(A) लंब
(B) आधार
(C) कर्ण
(D) उपरोक्त में से कोई भी नहीं
उत्तर-
(C) कर्ण

प्रश्न 31.
किसी समकोण त्रिभुज के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) (कण)² = (आधार)² – (लंब)²
(B) (कण)² = (आधार)² + (लंब)²
(C) (कर्ण)² + (आधार)² = (लंब)²
(D) (कण)² + (लंब)² = (आधार)²
उत्तर-
(B) (कण²) = (आधार)² + (लंब²)

प्रश्न 32.
आकृति में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) ∠PSR < ∠PSQ
(B) ∠PSR = ∠PSQ
(C) ∠PSR > ∠PSO
(D) उपरोक्त में से कोई भी नहीं
उत्तर-
(C) ∠PSR > ∠PSQ

प्रश्न 33.
“दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।” यह निम्नलिखित में से सर्वांगसमता का कौन-सा नियम है ?
(A) AAS
(B) ASA
(C) SAS
(D) SSS
उत्तर-
(C) SAS

प्रश्न 34.
किसी वर्ग का विशेष गुण होता है-
(A) प्रत्येक भुजा समान
(B) प्रत्येक कोण समान 90° का
(C) प्रत्येक विकर्ण समान
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(C) प्रत्येक विकर्ण समान

प्रश्न 35.
यदि एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हों, तो सबसे बड़े कोण का मान होगा-
(A) 40°
(B) 60°
(C) 80°
(D) 100°
उत्तर-
(C) 80°

प्रश्न 36.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 110°, 40° एवं 50° हैं। चौथा कोण होगा-
(A) 160°
(B) 80°
(C) 260°
(D) 200°
उत्तर-
(A) 160°

प्रश्न 37.
एक षट्भुज के कोणों का योगफल होता है-
(A) 180°
(B) 360°
(C) 540°
(D) 720°
उत्तर-
(D) 720°

प्रश्न 38.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) त्रिभुज का एक बहिष्कोण अपने किसी एक अंतः अभिमुख कोण से छोटा होता है
(B) त्रिभुज के दो समकोण हो सकते हैं
(C) त्रिभुज का एक बहिष्कोण दो अंतः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है
(D) त्रिभुज के दो अधिक कोण हो सकते हैं
उत्तर-
(C) त्रिभुज का एक बहिष्कोण दो अंतः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है

प्रश्न 39.
“दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हो। निम्नलिखित में से यह सर्वांगसमता के किस नियम की पालना करता है?
(A) ASA
(B) SAS
(C) AAS
(D) RHS
उत्तर-
(A) ASA

प्रश्न 40.
आकृति में, ∆PQR की भुजा QR को S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠P : ∠Q : ∠R = 3 : 2 : 1 और RT ⊥ PR तो ∠TRS का मान होगा-

(A) 60°
(B) 30°
(C) 90°
(D) 120°
उत्तर-
(A) 60°

प्रश्न 41.
एक त्रिभुज का बहिष्कोण 115° का है और एक अंतः अभिमुख कोण 35° का है। अन्य दो कोण होंगे-
(A) 80°, 35°
(B) 80°, 65°
(C) 35°, 65°
(D) 80°, 100°
उत्तर-
(B) 80°, 65°