HBSE 12th Class Physics Solutions Chapter 13 नाभिक

Haryana State Board HBSE 12th Class Physics Solutions Chapter 13 नाभिक Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 12th Class Physics Solutions Chapter 13 नाभिक

प्रश्न 13.1.
(a) लीथियम के दो स्थायी समस्थानिकों ⁶₃Li एवं ²₂Li की बहुलता का प्रतिशत क्रमशः 7.5 एवं 92.5 हैं। इन समस्थानिकों के द्रव्यमान क्रमश: 6.01512 u एवं 7.01600 u हैं। लीथियम का परमाणु द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
(b) बोरॉन के दो स्थायी समस्थानिक ¹⁰₅B एवं ¹¹₅B हैं। उनके द्रव्यमान क्रमशः 10.01294 u एवं 11.00931 u एवं बोरॉन का परमाणु भार 10.811 u है। ¹⁰₅B एवं ¹¹₅B की बहुलता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है
Li का द्रव्यमान = 6.01512 u तथा बहुलता प्रतिशत = 7.5%
3Li का द्रव्यमान =7.01600 u तथा बहुलता प्रतिशत = 92.5%
(a) लीथियम का परमाणु द्रव्यमान
= \(\frac{7.5 \times 6.01512 \mathrm{u}+92.5 \times 7.016004 \mathrm{u}}{7.5+92.5}\)
= \(\left(\frac{45.1134+648.98}{100}\right) \mathrm{u}\)
= 6.941 u

(b) यहाँ पर दिया गया है – B का परमाणु भार = 10.811 u माना B और B समस्थानिकों की b% व (100 – b)% क्रमशः बहुलतायें हैं।
∴ 10.811 = \(\frac{\mathrm{b} \times 10.01294+(100-\mathrm{b}) \times 11.00931}{100}\)
या
10.811 x 100 = 10.01294b + 1100.931 – 11.00931b
(11.00931 – 10.01294)b = 1100.931 – 1081.1
या 0.99637b = 19.831
या b = 19.831/0.99637
या b = 19.831/0.99637 = 1983100/99637
b = 19.9%
100 – b = 80.1%
B¹⁰ की बहुलता = 19.9%
SB¹¹ की बहुलता = 80.1%

प्रश्न 13.2.
नियॉन के तीन स्थायी समस्थानिकों की बहुलता क्रमश: 90.51%, 0.27% एवं 9.22% है। इन समस्थानिकों के परमाणु द्रव्यमान क्रमश: 19.99 u, 20.99u एवं 21.99u हैं। नियॉन का औसत परमाणु द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना नियॉन का माध्य परमाणु द्रव्यमान m(Ne) है।
m(Ne) = \(\frac{90.51 \times 19.99+0.27 \times 20.99+9.22 \times 21.99}{90.51+0.27+9.27}\)
= \(\left(\frac{1809.29+5.67+202.75}{100}\right) \mathrm{u}\)
= 20.18u

प्रश्न 13.3.
नाइट्रोजन नाभिक (N) की बंधन-ऊर्जा Mev में ज्ञात कीजिए mN = 14.00307 u.
उत्तर:
दिया गया है:
Z = 7
तथा
A = 14
A – Z= 14 – 7 = 7
7 प्रोटॉनों का द्रव्यमान = 7 x 1.007825
= 7.054775 u
7 न्यूट्रॉनों का द्रव्यमान = 7 x 1.008665 u
= 7.060655 u
नाभिक का द्रव्यमान 7.054775 u + 7.060655
= 14.11543 u
बंधन ऊर्जा = (14.11543u – 14.00307u ) × 931.5 MeV
= (0.11236) × 931.5 Mev
= 104.66 Mev
= 104.7 MeV

प्रश्न 13.4.
निम्नलिखित आंकड़ों के आधार पर ⁵⁶₂₆Fe एवं ²⁰⁹₈₃Bi नाभिकों की बंधन-ऊर्जा Mev में ज्ञात कीजिए।
m(⁵⁶₂₆Fe) = 55.934939 u
m(²⁰⁹₈₃Bi) = 208.980388u
उत्तर:
(i) ⁵⁶₂₆Fe नाभिक में 26 प्रोटॉन तथा 56 – 26 = 30
न्यूट्रॉन होते हैं।
26 प्रोटॉन का द्रव्यमान = 26 × 1.007825
= 26.20345 a.m.u.
30 न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 30 x 1.008665
= 30.25995 a.m.u.
25 न्यूक्लिऑन का कुल द्रव्यमान = 26.20345 + 30.25995 = 56.46340 a.m.u.

⁵⁶₂₆Fe नाभिक का द्रव्यमान = 55.934939 a.m.u.
इसलिए द्रव्यमान क्षति ∆m = 56.46340 – 55.934939
= 0.528461 a.m.u.
∴ कुल बंधन ऊर्जा = 0.528461 × 931.5 Mev
= 492.26 Mev
प्रतिन्यूक्लिऑन माध्य बंधन ऊर्जा
B = ∆E/V = \(\frac{492.26}{56}\)
= 8.790Me V

(ii) ²⁰⁹₈₃Bi नाभिक में 83 प्रोटॉन तथा (209 – 83) = 126 न्यूट्रॉन होते हैं।
83 प्रोटॉन का द्रव्यमान = 83 x 1.007825
= 83.64975 a.m.u.
126 न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 126
1.008665
= 127.09190 a.m.u.
न्यूक्लिऑन का कुल द्रव्यमान = 210.741260 am.u
²⁰⁹₈₃Bi नाभिक का द्रव्यमान 208.980388 amu.
∴ द्रव्यमान क्षति ∆m = 210.741260 amu – 208.980388 a.m.u.
= 1.760872 a.m.u.
कुल बंधन ऊर्जा = 1.760872 x 9315 Mev
= 1640.26 Mev
प्रति न्यूक्लिऑन माध्य बंधन ऊर्जा
B = ∆E/V = \(\frac{1640.26}{209} \mathrm{MeV}\)
= 7.84 Mev
अतः ⁵⁶₂₆Fe की प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा ²⁰⁹₈₃Bi से अधिक है।

प्रश्न 13.5.
एक दिए गए सिक्के का द्रव्यमान 3.0g है। उस ऊर्जा की गणना कीजिए जो इस सिक्के के सभी न्यूट्रॉनों एवं प्रोटॉनों को एक-दूसरे से अलग करने के लिए आवश्यक हो सरलता के लिए मान लीजिए कि सिक्का पूर्णतः ⁶³₂₉CU परमाणुओं का बना है (⁶³₂₉Cu का द्रव्यमान = 62.92960u)।
उत्तर:
परमाणु का द्रव्यमान = 62.92960 u
29 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 29 x 0.000548 u
= 0.015892 u
नाभिक का द्रव्यमान = (62.92960 – 0.015892)u = 62.913708 u
29 प्रोटॉन का द्रव्यमान = 29 x 1.007825 u
= 29.226925 u
(63 – 29 = 34) न्यूट्रॉनों का द्रव्यमान
= 34 × 1.008665 u
= 34.29461 u
प्रोटॉन तथा न्यूट्रॉन का कुल द्रव्यमान
= (29.226925 +34.29461) u = 63.521535 u
बंधन ऊर्जा = (63.521535 – 62.913708) × 931.5 Mev
= 0.607827 × 931.5 Mev
1 कॉपर नाभिक के लिए बंधन ऊर्जा की मात्रा
= 0.607827 x 931.5 Mev
63g कॉपर में, कॉपर परमाणुओं की संख्या आवोगाद्रो संख्या
N = 6.023 x 10²³
1g कॉपर में 6.023 x 10²³/63
अतः
3g कॉपर में 6.023 x 10²³/23 x 3
अतः बंधन ऊर्जा की आवश्यकता होगी
= \(\frac{6.023 \times 10^{23}}{63}\)
x 0.607827 x 931.5 Mev
= 1.584 × 10²⁵ MeV
= 1.584 × 10²⁵ x 10 x 1.6 × 10^-19
= 2.535 x 10¹²J

प्रश्न 13.6.
निम्नलिखित के लिए नाभिकीय समीकरण लिखिए:
(1) ₂₂₆⁸⁸Ra का Q-क्षय
(ii) ₂₄₂ ⁹⁴Pu का C-क्षय
(iii) ₃₂¹⁵P का -क्षय
(iv) ₂₁₀⁸³Bi का B -क्षय
(v) ₁₁⁶C का B+ क्षय
(vi) ₉₇⁴³Te का B+ क्षय
(vii) ₁₂₀⁵⁴xe का इलेक्ट्रॉन अभिग्रहण।
उत्तर:

एक रेडियोएक्टिव समस्थानिक की अर्धायु T वर्ष है। कितने समय के
(a) 3.125% तथा
(b) 1% रह जाएगी?
उत्तर:
माना आरम्भिक सक्रियता = No
t समय के पश्चात् सक्रियता = N
रेडियो समस्थानिक का अर्ध जीवनकाल = T
विखण्डन नियतांक = λ
दिया गया है:
N = 3.125% (No का )
N = 3.125/100
No = 1/32 No
हम जानते हैं:
N = No e-^λt
∴ 1/32 No = No e-^λt
1/32 = e–^λt
e-^λt = 32 = 2⁵
loge^λt = loge 2^5
λt = 5 loge 2 …..(1)
हम जानते हैं:
λ = 0.693/T …..(2)
समीकरण (1) में λ का मान समीकरण (2) से रखने पर
या (0.693/T)t = 5 x 0.693
या t = 5 T वर्ष
(b) N = 1/100 No
N = No e^λt
100 = eλt
λt = loge 100
∵ loge = 1
λt = loge (10)² = 2loge 10
λt = 2 × 2.303 log₁₀ 10
= 4.606 × 1
या (0.693/T)t = 4.606
या t = 4.606T/0.693 = 6.65Tवर्ष

प्रश्न 13.8.
जीवित कार्बनयुक्त द्रव्य की सामान्य ऐक्टिवता प्रति ग्राम कार्बन के लिए 15 क्षय प्रति मिनट है। यह ऐक्टिवता, स्थायी समस्थानिक ¹⁴₆C के साथ-साथ अल्प मात्रा में विद्यमान रेडियोऐक्टिव ¹²₆C के कारण होती है। जीव की मृत्यु होने पर वायुमंडल के साथ इसकी अन्योन्य क्रिया (जो उपर्युक्त संतुलित ऐक्टिवता को बनाए रखती है) समाप्त हो जाती है, तथा इसकी ऐक्टिवता कम होनी शुरू हो जाती है। ¹⁴₆C की ज्ञात अर्धायु (5730 वर्ष) और नमूने की मापी गई ऐक्टिवता के आधार पर इसकी सन्निकट आयु की गणना की जा सकती है। यही पुरातत्व विज्ञान में प्रयुक्त होने वाली ¹⁴₆C कालनिर्धारण (dating) पद्धति का सिद्धांत है। यह मानकर कि मोहनजोदड़ो से प्राप्त किसी नमूने की ऐक्टिवता 9 क्षय प्रति मिनट प्रति ग्राम कार्बन है। सिंधु घाटी सभ्यता की सन्निकट आयु का आकलन कीजिए।
उत्तर:
माना t = 0 पर C¹⁴ के परमाणुओं की संख्या (प्रति ग्राम) No थी जबकि इसका क्षय 15 क्षय प्रति मिनट प्रति ग्राम की सक्रियता पर, t समय के बाद, आज C¹⁴ के शेष परमाणु प्रति ग्राम माना N है और यह एक क्षय प्रति मिनट प्रति ग्राम की सक्रियता दर्शाता है। हम यह जानते हैं कि उपस्थित रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या के सक्रियता अनुक्रमानुपाती होती है।
अतः N/N0 = 9/15
हम यह भी जानते हैं कि
N/N0 = e-^λt
या 9/15 = e-^λt
या 15/9 = e-^λt
या 5/3 = e^λt
या loge(5/3) = loge^λt = λtloge
या loge(5/3) = λt × 1
या t = 1/λloge(5/3) = 1/λ × 2/303 log₁₀(5/3)
= 1/λ × 2.303 log₁₀(1.6667)
या t = 1/λ × 2.303 × 0.2219
= 1/λ × 0.5109
या t = 0.5110/λ …………. (1)
हम यह भी जानते हैं कि
क्षय स्थिरांक λ = 0.693/T1/2
λ = 0.693/5730 ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) से
t = 0.5110/0.693/5730
= \(\frac{0.5110 \times 5730}{0.693}\)
= 4225.15 वर्ष
= 4225 वर्ष

प्रश्न 13.9.
8.0mCi सक्रियता का रेडियोऐक्टिव स्रोत प्राप्त करने के लिए ⁶⁰₂₇Co की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी? ⁶⁰₂₇Co की अर्धायु 5.3 वर्ष है।
उत्तर:
दिया गया है:
रेडियोधर्मी स्रोत की शक्ति
8.0mCi
= 8.0 × 10³ Ci
= 8 × 10³ × 3.7 x 10¹⁰ विखण्डन / सेकण्ड
= 29.6 × 10⁷ विखण्डन / सेकण्ड
1 Ci = 3.7 x 10¹⁰ विखण्डन / सेकण्ड
dN/dt =- 29.6 x 10⁷
किन्तु dN/dt = – λN
-λN = – 29.6 × 10⁷
N = 29.6 × 10⁷/λ
लेकिन
λ = 0.693/T
∴ N = 29.6 ×10⁷ x T/0.693
⁶⁰₂₇Co का अर्धजीवनकाल = T1/2 = 5.3 वर्ष
= 5.3 × 365 × 24 x 60 x 60
= 1.67 x 10⁸ सेकण्ड
अतः
N = \(\frac{29.6 \times 10^7 \times 1.67 \times 10^8}{0.693}\)
= 7.133 × 10^16
60₂₇Co की मात्रा = ?
हम जानते हैं कि कोबाल्ट के 60g में 6.023 x 10²³ के परमाणु या नाभिक होते हैं।
अर्थात् 6.023 x 10²³ Co के परमाणुओं का द्रव्यमान = 60g
∴ Co के 1 परमाणु का द्रव्यमान = \(\frac{60}{6.023 \times 10^{23}} \mathrm{~g}\)
7.133 x 10¹⁶ Co के परमाणुओं का द्रव्यमान
= \(\frac{60}{6.023 \times 10^{23}}\) x 7.133 x 10¹⁶
अर्थात् आवश्यक ⁶⁰₂₇CO की मात्रा = 7.11 g है
या = 7.11 x 10^-6 g

प्रश्न 13.10.
⁹⁰₃₈Sr की अर्धायु 28 वर्ष है। इस समस्थानिक के 15 mg की विघटन दर क्या है?
उत्तर:
दिया गया है:
⁹⁰₃₈Sr का अर्धकाल = T1/2 = 28.0 वर्ष
= 28 × 365 × 24 x 3600 Second
= 88.3 × 10⁷ S
⁹⁰₃₈Sr की मात्रा = 15 mg = 15 x 10²³ g
90g के Sr में परमाणुओं की
संख्या = 6.023 x 10²³
∴ Sr के 1g में परमाणुओं की संख्या = imm
∴ 15 mg में ⁹⁰Sr के परमाणुओं की संख्या

∵ 1 Ci = 3.7 x 10¹⁰ विखण्ड प्रति सेकण्ड
= 2.13 Ci
विखण्डन दर
= 2.13 Ci या 7.879 x 10¹⁰ (Bq)

प्रश्न 13.11.
स्वर्ण के समस्थानिक ¹⁹⁷₇₉Au एवं रजत के समस्थानिक ¹⁰⁷₄₇Ag की नाभिकीय त्रिज्या के अनुपात का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
हम जानते हैं, गोलीय नाभिक के लिए R = Ro A1/3 होता है।
जहाँ A = नाभिक की द्रव्यमान संख्या है R0 = प्रयोगाश्रित स्थिरांक है।
माना ¹⁹⁷₇₉Au की द्रव्यमान संख्या व उसकी त्रिज्या क्रमशः A1, R1 है।
और हमने यहाँ पर यह भी माना है कि 197Ag समस्थानिक की द्रव्यमान संख्या व त्रिज्या A2, R2 है, तब
R1 = A0 (197)^1/3 ……(1)
और इसी तरह से
R2 = Ag (107)^1/3 ……..(2)
समीकरण (1) तथा (2) से
\(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\) = \(\frac{A_0(197)^{1 / 3}}{A_0(107)^{13}}\)
या \(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\) = \(\left(\frac{197}{107}\right)^{1 / 3}\) = (1.841)^1/3
R1/R2 = 1.23

प्रश्न 13.12.
(a) ²²⁶₈₈Ra एवं (b) ²²⁰₈₆Rn नाभिकों के C-क्षय में उत्सर्जित Q कणों का Q-मान एवं गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
दिया है:
m (²²⁶₈₈Ra) = 226.02540 u
m (²²²₈₆Rn) = 222.01750 u,
m (²²⁰₈₆Rn) = 220.01137 u,
m (²¹⁶₈₄Po) =216.00189 u.
उत्तर:
(a) मूल नाभिक और क्षय नाभिक के द्रव्यमान में अन्तर
= 226.02540 u – (222.01750 u + 4.00260 u )
= 226.02540 u – 226.02010
= + 0.00530
तुल्य ऊर्जा का मान = 0.0053 x 931.5 Mev
= 4.93695 MeV = 4.94 Mev
उत्सर्जित α कण की K. E
= 222/222+4 x 4.94
= 222/226 x 4.94
= 4.85 Mev

(b) मूल नाभिक और क्षय नाभिक के द्रव्यमान में अन्तर
= 220.01137 u- (216.00189 u + 4.00260u )
= 220.01137 u – (220.00449)
= + 0.00688 u
तुल्य ऊर्जा का मान 0.00688 931.5 Mev
= 6.41 Mev
माना उत्सर्जित – कणों की गतिज ऊर्जा (K. E) = Eα
Eα = (216/216 + 4) × 6.14Mev
= 6.289
= 6.29 MeV

प्रश्न 13.13.
रेडियोन्यूक्लाइड “C का क्षय निम्नलिखित समीकरण के अनुसार होता है,
¹¹₆C → ¹¹₅B + e⁺ + v T_1/2 = 20.3 min
उत्सर्जित पॉजिट्रॉन की अधिकतम ऊर्जा 0.960 Mev है। द्रव्यमानों के निम्नलिखित मान दिए गए हैं-
m (¹¹₆C ) = 11.011434 u तथा m (¹¹₆B) = 11.009305u, Q-मान की गणना कीजिए एवं उत्सर्जित पॉजिट्रॉन की अधिकतम ऊर्जा के मान से इसकी तुलना कीजिए।
उत्तर:
क्षय प्रक्रम का समीकरण
¹¹₆C → ¹¹₅B + e⁺ + v + Q
जहाँ प्रक्रिया का Q मान या α कण की KE = a.m.u. में द्रव्यमान त्रुटि
= [m(¹¹₆C) – 6me] [m(¹¹₅B) – 5me + me
= m (¹¹₆C) – m(¹¹₅B) – 2me
= 11.011434 u – 11.009305 u – 2 x 0.000548 u
= 0.001033 u
Q = 0.001033 × 931.5 Mev
= 0.962 Mev …..(1)
उत्सर्जित पॉजिट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा
(K.E) = 0.960Mev …..(2)
समीकरण (1) तथा (2) से हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रक्रिया का Q मान क्षय प्रक्रम में निकली वास्तविक ऊर्जा के समकक्ष है।
∴ Q = E_d + E_e + E_v
e⁺ व v की तुलना में पुत्री नाभिक बहुत भारी है अतः यह नगण्य ऊर्जा वाहक (E_d = 0) यदि न्यूट्रॉनों (v) द्वारा ले जाई जाने वाली गतिज ऊर्जा (E_v) न्यूनतम है ( अर्थात् शून्य) पॉजिट्रॉन अधिकतम ऊर्जा ले जाता है और यही वास्तव में समस्त ऊर्जा Q है, अतः अधिकतम
E = Q = 0.962 Mev

प्रश्न 13.14.
²³₁₀Ne का नाभिक, B उत्सर्जन के साथ क्षयित होता है। इस B-क्षय के लिए समीकरण लिखिए और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए। m (²³₁₀Ne) = 22.994466 u; m (²⁵₁₁Na) = 22.089770 u.
उत्तर:
Q = [(²³₁₀Ne) – m(²⁵₁₁Na) – mc]c²
जब न्यूट्रॉन का विराम द्रव्यमान को अपेक्षित किया गया है।
∴ Q = [m(²³₁₀Ne) – 10m – m(²⁵₁₁Na) + 11m^c – m^c]c²
= [(²³₁₀Ne) – m(²⁵₁₁Na) – mc]c²
= (22.094466 uc²
= 0.004696 × 931.5 Mev
= 4.374 Mev
यह गतिज ऊर्जा e युग्म द्वारा मुख्यतः सहभाजित होती है। चूँकि 23 Na इस युग्म से कांफी अधिक भारी है और इसलिए इसकी प्रतिक्षेप ऊर्जा नगण्य है।
उत्सर्जन की अधिकतम ऊर्जा e^– – v^– युग्म की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर है। जब इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा होती है, न्यूट्रॉनों की कोई ऊर्जा नहीं होती है। इस प्रकार B उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा 4.374 MeV है।

प्रश्न 13.15.
किसी नाभिकीय अभिक्रिया A + b ⇒ C + d का Q-मान निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित होता है, Q = [m_A + m_b – m_C – m_d]C²
जहाँ दिए गए द्रव्यमान नाभिकीय विराम द्रव्यमान (rest mass) हैं। दिए गए आँकड़ों के आधार पर बताइए कि निम्नलिखित अभिक्रियाएँ ऊष्माक्षेपी हैं या ऊष्माशोषी-
(i) ¹₁H + ³₁H → ²₁H + ²₁H
(ii) ¹²₆C + ¹²₆C → ²⁰₁₀Ne + ⁴₂He
दिए गए परमाणु द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
m(²₁H) = 2.014102 u
m (³₁H) = 3.016049_u
m(¹²₆C) = 12.000000
m (²⁰₁₀Ne) = 19.992439 u
उत्तर:
(i) अभिक्रिया का Q मान
Q= [m(¹²₆C) + m(³₁H) – 2m (²₁H) ]c²
Q = (1.007825 + 3.016049 2 x 2.014102) uc²
(4.023874 – 4.028204)u c²
= (- 0.004330) uc²
= – 0.00433 x 931.5 Mev
= – 4.03 Mev
चूँकि Q ऋणात्मक है, अतः अभिक्रिया ऊष्माशोषी है।

(ii) Q= [2m(¹²₆C) – m (²⁰₁₀Ne) – m (⁴₂He) ] c²
= (2 x 12.000000 19.992439 – 4.002603)u c²
= (24.000000 – 23.995042)u c²
= (0.0049584) uc²
= 0.0049584 x 931.5 Mev
= 4.6175 MeV
= 4.62 Mev
चूँकि Q धनात्मक है अतः अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी है।

प्रश्न 13.16.
माना कि हम ⁵⁶₂₆Fe नाभिक के दो समान अवयवों ²⁸₁₃Al में विखंडन पर विचार करें क्या ऊर्जा की दृष्टि से यह विखंडन संभव है? इस प्रक्रम का Q-मान ज्ञात करके अपना तर्क प्रस्तुत करें।
उत्तर:
दिया है : m (⁵⁶₂₆Fe ) = 55.93494 u
एवं m (²⁸₁₃Al) = 27.98191 u
हल-Q = [m (⁵⁶₂₆Fe) – 2m (²⁸₁₃Al) ]C²
= (55.93494 u – 2 x 27.98191)uc²
= (55.93494 – 55.96382)u c²
= – 0.02888u × 931.5 Mev/u
= – 0.02888 x 931.5 Mev
= – 26.90 Mev
स्पष्टतः ⁵⁶Fe₂₆ के दो समान अवयव ¹³Al₂₈ में विखण्डन के लिए बाह्य रूप से 26.9 Mev ऊर्जा देनी होगी। अतः ⁵⁶Fe₂₆ का इस प्रकार विखण्डन सम्भव नहीं है।

प्रश्न 13.17.
²³⁹₉₄Pu के विखंडन गुण बहुत कुछ ²³⁵₉₂U से मिलते-जुलते हैं प्रति विखंडन विमुक्त औसत ऊर्जा 180 Mev है। यदि 1 kg शुद्ध ²³⁹₉₄Pu के सभी परमाणु विखंडित हों तो कितनी Mev ऊर्जा विमुक्त होगी?
उत्तर:
239g ²³⁹₉₄Pu में 6.023 x 10²³ नाभिक है।
∴ 1000 g ²³⁹₉₄Pu में होंगे = \(\frac{6.023 \times 10^{23} \times 1000}{239}\)
= 2.52 x 10²⁴ नाभिक
प्रत्येक नाभिक के प्रति विखण्डन द्वारा विमुक्त ऊर्जा
= 180 Mev
∴ कुल विमुक्त ऊर्जा = 180 x 2.52 x 10²⁴ Mev
= 4.54 x 10²⁶ Mev

प्रश्न 13.18.
किसी 1000 MW विखंडन रिएक्टर के आधे ईंधन का 5.00 वर्ष में व्यय हो जाता है। प्रारंभ में इसमें कितना ²³⁵₉₂U था? मान लीजिए कि रिएक्टर 80% समय कार्यरत रहता है, इसकी संपूर्ण ऊर्जा ²³⁵₉₂U के विखंडन से ही उत्पन्न हुई है तथा ²³⁵₉₂U न्यूक्लाइड केवल विखंडन प्रक्रिया में ही व्यय होता है।
उत्तर:
शक्ति = P = 1.000 MW
= 10³ × 10⁶ w = 10⁹ J s^-1
समय = T = 5 वर्ष 5 x 365 x 24 x 3600
= 1.577 x 10⁸ s
जब अणु भट्टी 80% समय तक कार्य करती है, यदि इसके द्वारा दी जाने वाली ऊर्जा E है तब
E = PT¹ लेकिन T¹ = 80/100T
= 10⁹ x 80/100T
= \(\frac{10^9 \times 80}{100}\) x 1.577 × 10⁸ J
= 1.2616 × 10¹⁷ J
²³⁵₉₂U के प्रति विखण्डन में उत्पन्न ऊर्जा जो अणु भट्टी से
= 200 Mev
= 200 × 10⁶ × 1.6 x 10^-19 J = 3.2 x 10^-11 J
माना 5 वर्ष में n विखण्डन होते हैं

= \(\frac{1.2616 \times 10^{17}}{3.2 \times 10^{-11}}\)
अब ²³⁵₉₂U के 235 g विखण्डन में 6.0 x 10²³ परमाणु उत्पन्न
पाँच वर्ष में ²³⁵₉₂U का उपयुक्त द्रव्यमान
m = \(\frac{235}{6.0 \times 10^{23}}\) × n
= \(\frac{235}{6.0 \times 10^{23}}\) × \(\frac{1.2616 \times 10^{17}}{3.2 \times 10^{-11}}\)
= 15.4415 × 10⁵ g
= 1544.15 x 10³ g = 1544.15 kg
या
m’ = 5g में आधा उपयुक्त ईंधन
²³⁵₉₂U का आरम्भिक द्रव्यमान M है, तब
M = 2m
= 2 × 1544.15
= 3088.3 kg

प्रश्न 13.19.
2.0 kg ड्यूटीरियम के संलयन से एक 100 वाट का विद्युत लैंप कितनी देर प्रकाशित रखा जा सकता है? संलयन अभिक्रिया निम्नवत् ली जा सकती है:
²₁H + ²₁H → ³₂He + n + 3.27 Mev
उत्तर:
ड्यूटीरियम के 2 नाभिकों के संलयन में विमुक्त ऊर्जा की मात्रा = 3.2 Mev
उपयोग में ड्यूटीरियम की मात्रा = 2 kg
²₁H ( ड्यूटीरियम) के 2kg में ड्यूटीरियम परमाणु या नाभिक की संख्या
= 6.023 x 10^23
2₁H के 2 kg या 2000 g में ड्यूटीरियम परमाणु या नाभिक की संख्या
= \(\frac{6.023 \times 10^{23}}{2}\) × 200
= 6.023 x 10²⁶
2 नाभिकों के संलयन में विमुक्त ऊर्जा = 3.2 Mev
6.023 x 10²⁶ नाभिकों के संलयन में विमुक्त ऊर्जा
= 32/2 × 6.023 x 10²⁶
= 9.6368 × 10²⁶ Mev
= 9.6368 × 10²⁶ x 1.6 x 10^-13 J
= 15.42 × 10¹³ J
= 15.42 × 10¹³ WS
शक्ति P = 100 W
माना इस ऊर्जा से t सेकण्ड तक प्रकाशित रखा जा सकता है।
अतः उपर्युक्त विद्युत शक्ति = 100 t
100 t = 15.42 x 10¹³
या
t = 15.42 x 10¹³/100
या
= 15.42 × 10¹¹ सेकण्ड
= \(\frac{15.42 \times 10^{11}}{365 \times 60 \times 60 \times 24}\)
t = 4.9 x 10⁴ वर्ष

प्रश्न 13.20
दो ड्यूट्रॉनों के आमने-सामने की टक्कर के लिए कूलॉम अवरोध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(संकेत- कूलॉम अवरोध की ऊँचाई का मान इन ड्यूट्रॉन के बीच लगने वाले उस कूलॉम प्रतिकर्षण बल के बराबर होता है जो एक-दूसरे को संपर्क में रखे जाने पर उनके बीच आरोपित होता है। यह मान सकते हैं कि ड्यूट्रॉन 2.0 fm प्रभावी त्रिज्या वाले दृढ़ गोले हैं।)
उत्तर:
आमने-सामने की टक्कर के लिए दो ड्यूट्रॉनों के केन्द्रों के बीच की दूरी = r = 2 x त्रिज्या
= 2 × (2 fm)
= 4 fm = 4 × 10^-15 m
प्रत्येक ड्यूट्रॉन का आवेश (e) = 1.6 x 10^-19 C
दो ड्यूट्रॉन को परस्पर सम्पर्क में रखने पर इनके मध्य प्रभावी
दूरी R = 2r = 4 x 10^-15 m
अतः स्थितिज ऊर्जा का मान = \(\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^2}{4 \times 10^{-15}}\) जूल
= 360 Kev
स्थितिज ऊर्जा (P.E) = 2 x प्रत्येक ड्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा = 360 Kev
इस प्रकार ड्यूट्रॉन के कूलॉम अवरोध की ऊँचाई = दो ड्यूट्रॉन परमाणुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा
= 360 Kev

प्रश्न 13.21.
समीकरण R = RoA^1/3 के आधार पर दर्शाइए कि नाभिकीय द्रव्य का घनत्व लगभग अचर है ( अर्थात् A पर निर्भर नहीं करता है) यहाँ Ro एक नियतांक है द्रव्यमान संख्या है। एवं A नाभिक की जाता है।
उत्तर:
नामिक की त्रिज्या का व्यंजक R = Ro A^1/3 से दिया …..(1)
यदि नामिक का आयतन V है, तब
V = 4/3πr^1/3
= 4/3π(R0A^1/3)^1/3
(समीकरण 1 से मान रखने पर)
= 4/3π(R^1/30A …………..(2)
यदि नाभिक का घनत्व p है, तब

इस प्रकार समीकरण (3) से हम देख सकते हैं कि p घनत्व A से स्वतंत्र है। अतएव हम यह निष्कर्ष ले सकते हैं कि P नाभिकों के लिए लगभग स्थिर है।

प्रश्न 13.22.
किसी नाभिक से B⁺ (पॉजिट्रॉन) उत्सर्जन की एक अन्य प्रतियोगी प्रक्रिया है जिसे इलेक्ट्रॉन परिग्रहण (Capture) कहते हैं (इसमें परमाणु की आंतरिक कक्षा, जैसे कि K-कक्षा, से
नाभिक एक इलेक्ट्रॉन परिगृहीत कर लेता है और एक न्यूट्रिनो, उत्सर्जित करता है) ।
e⁺ + Z^AX → _Z-1AY + v
दर्शाइए कि यदि B⁺ उत्सर्जन ऊर्जा विचार से अनुमत है तो इलेक्ट्रॉन परिग्रहण भी आवश्यक रूप से अनुमत है, परंतु इसका विलोम अनुमत नहीं है।
उत्तर:
प्रतियोगी प्रक्रमों पर विचार करने पर
^A_ZX → ^A_Z-1Y + e⁺ + V_e + Q₁ (पॉजिट्रॉन उत्सर्जन से )
e^– + ^A_Zx → ^A_Z-1Y + V_e + Q₂ (इलेक्ट्रॉन अभिग्रहण से)
Q₁ = [m_N(^A_ZX) – m_N(^A_Z-1Y) – m_e]C²
= [m_N(^A_ZX) – m_e – m(^A_Z-1Y) – (Z – 1) m_e – m_e]C²
= [m_N(^A_ZX) – m(^A_Z-1Y) – 2m_e]C²
यहाँ पर mN नाभिक का द्रव्यमान तथा m परमाणु का द्रव्यमान प्रदर्शित करते हैं।
Q₂ = [m_N(^A_ZX) + m_e – m_N(^A_Z-1Y)]C²
= [m_N(^A_ZX) – m_e – m(^A_Z-1Y) – (Z – 1) m_e – m_e]C²
= [m_N(^A_ZX) – m(^A_Z-1Y)]C² …………… (2)
यदि Q₁ > 0 तब Q₂ > 0
अर्थात् यदि ऊर्जीय रूप से पॉजिट्रॉन उत्सर्जन अनुमत है, इलेक्ट्रॉन अभिग्रहण (परिग्रहण) अनिवार्य रूप से अनुमत होगा। Q₂ > 0 का अनिवार्य अर्थ यह नहीं है कि Q₁ > 0 अतः विलोम असत्य है अर्थात् यह अनुमत नहीं है।

अतिरिक्त अभ्यास प्रश्न (NCERT):

प्रश्न 13.23
आवर्त सारणी में मैग्नीशियम का औसत परमाणु द्रव्यमान 24.312 u दिया गया है। यह औसत मान, पृथ्वी पर इसके समस्थानिकों की सापेक्ष बहुलता के आधार पर दिया गया है। मैग्नीशियम के तीनों समस्थानिक तथा उनके द्रव्यमान इस प्रकार हैं: ²⁴₁₂Mg (23.98504 u ), ²⁵₁₂Mg (24. 98584) एवं ²⁶₁₂Mg (25.98259 u)। प्रकृति में प्राप्त मैग्नीशियम में ²⁴₁₂Mg की (द्रव्यमान के अनुसार) बहुलता 78.99% है। अन्य दोनों समस्थानिकों की बहुलता का परिकलन कीजिए।
उत्तर:
दिया गया है:
मैग्नीशियम का औसत परमाण्विक द्रव्यमान = 24.312u
समस्थानिक
²⁴₁₂Mg
²⁵₁₂Mg
²⁶₁₂Mg
परमाणु द्रव्यमान (Z)
23.98504
24.98584
25.98259
बहुलता
7.899%
x%
100 – (7.899 + x)%
हम जानते हैं कि औसत परमाणु द्रव्यमान सम्बन्ध

240.312 x 100 = 1894.58 + 24.98584 x + 545.89 – 25.98259 x
2431.2 = 2440.47 – 0.99675 x
या
0.99675 x = 9.27
या
x = \(\frac{9.27}{0.99675}\) = 9.30
या
21.01 – x = 21.01 – 9.30 = 11.71
²⁴₁₂Mg की आपेक्षिक प्रबलता = 9.30%
²⁶₁₂Mg की आपेक्षिक प्रबलता = 11.71%

प्रश्न 13.24.
न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा (Separation energy), परिभाषा के अनुसार, वह ऊर्जा है जो किसी नाभिक से एक न्यूट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक होती है। नीचे दिए गए आँकड़ों का इस्तेमाल करके #Ca एवं HAI नाभिकों की न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
m(⁴⁰₂₀Ca) = 39.962591 u
m(⁴¹₂₀Ca) = 40.962278 u
m(²⁶₁₃Al) = 25.986895 u
m(²⁷₁₃Al) = 26.981541 u
उत्तर:
(i) ⁴¹₂₀Ca न्यूट्रॉन पृथक्करण की ऊर्जा जब ⁴⁰₂₀CaCa से एक न्यूट्रॉन पृथक हो जाता है तब हमारे पास⁴⁰₂₀Ca रह जाता है।
इस प्रकार नाभिकीय अभिक्रिया
⁴⁰₂₀Ca → ⁴⁰₂₀Ca + ¹₀n द्वारा दी जाती है।
∴ द्रव्यमान में त्रुटि ∆m = m (⁴⁰₂₀Ca) + m_n – m (⁴¹₂₀Ca)
द्वारा दी जाती है।
= 39.962591 + 1.008665 – 40.962278
= 40.971256 – 40.962278
= 0.008978a.m.u.
इस प्रकार न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा का मान
= 0.008978 × 931.5 Mev
= 8.363 MeV

(ii) ²⁷₁₃Al का न्यूट्रॉन पृथक्करण: जब ²⁷₁₃Al से एक न्यूट्रॉन पृथक् किया जाता है तो हमारे पास ²⁷₁₃AI शेष रह जाता है। इस प्रकार
नाभिकीय अभिक्रिया:
²⁷₁₃Al → ²⁶₁₃Al + ¹₀n से दी जाती है।
∴ द्रव्यमान त्रुटि ∆m = m (²⁶₁₃Al) + m_n – m) (²⁷₁₃Al) से दी जाती है।
= 25.986895 + 1.008665 – 26.981541
= 26.99556 – 26.981541
= 0.014019 a.m.u.
अतएव न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा
= ∆m x 931.5 Mev
= 0.014019 x 931.5 Mev
= 13.06 MeV

प्रश्न 13.25.
किसी स्रोत में फॉस्फोरस के दो रेडियो न्यूक्लाइड निहित हैं ³²₁₅P (T1/2 = 14.3 d) एवं ³³₁₅P (T 1/2 = 25.3 d)। प्रारंभ ³³₁₅P से 10% क्षय प्राप्त होता है। इससे 90% क्षय प्राप्त करने के लिए कितने समय प्रतीक्षा करनी होगी?
उत्तर:
माना ³³₁₅P व ³²₁₅P की आरम्भिक सक्रियता क्रमश: Ro1 व Ro2 है।
हमने यहाँ पर यह भी माना है कि किसी क्षण पर उनकी सक्रियता क्रमश: R¹ व R² है।
∴ कुल आरम्भिक सक्रियता = R⁰¹ + R⁰² …..(1)
t समय पर कुल सक्रियता = R¹ + R²
दिया गया है:
R⁰¹ = कुल सक्रियता का 10%
R⁰¹ = 10/100 × (R⁰¹ + R⁰²
या 10R⁰¹ = R⁰¹ + R⁰²
या 9R⁰¹ = R⁰² ……….. (3)
t समय पर
R1 =
R1 = 90% (R1 + R2) भी
R1 = 90/100 (R1 + R2)
R1 = 9/10 (R1+R2)
10 R1 = 9R + 9R2
R1 = 9R2
∴ R2 = 1/9R1 …………. (4)
समीकरण (3) तथा (4) से
\(\frac{\mathrm{R}_2}{\mathrm{R}_{02}}\) = \(\frac{\frac{1}{9} R_1}{9 R_{01}}\) = \(\frac{1}{81} \frac{R_1}{R_{01}}\)
\(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\) = \(81 \frac{R_{01}}{R_{02}}\) ………(5)
हम यह भी जानते हैं:
R = R⁰¹e^-λ1t
∴ R1 = R⁰¹e^-λ1t …………. (6)
और R2 = R⁰²e^-λ1t ………… (7)
समीकरण (6) में (7) का भाग देने पर
\(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\) = \(\frac{\mathrm{R}_{01}}{\mathrm{R}_{02}}\) × \(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{e^{-\lambda_2 t}}\)
या
\(81 \frac{R_{01}}{R_{02}}\) = \(\frac{R_{01}}{R_{02}}\) × \(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{e^{-\lambda_2 t}}\)
[समीकरण (5) का प्रयोग करने पर
\(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{e^{-\lambda_2 t}}\) = 81
या
e^{(λ1 – λ2)t} = 81
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर
loge^{(λ1 – λ2)t} = loge 81
या
(λ₂ – λ₁)t loge = 2.303 log ¹⁰81
(λ₂ – λ₁)t = 2.303 log 1081 ….. (8)
हम यह भी जानते हैं:
λ = 0.693/t_1/2
माना (t_1/2) 1 और (t_1/2)2. ³³₁₅P व ³²₁₅P को क्रमशः अर्धकाल है
(t_1/2) = 25.3 दिन
(t_1/2) = 14.3 दिन
λ₁ = 0.693/(t_1/2) = 0.693/25.3
इसी तरह से
λ₂ = 0.693/(t_1/2) = 0.693/14.3
समीकरण (8) में मान रखने पर
(0.693/14.3 – 0.693/25.3) t= 2.303 log₁₀81
या 0.693 \(\left(\frac{25.3-14.3}{14.3 \times 25.3}\right)\) t = 2.303 log₁₀81
या
t = \(\frac{2.303 \log _{10} 81 \times 14.3 \times 25.3}{0.693 \times 11}\)
= \(\frac{2.303 \times 1.9085 \times 14.3 \times 25.3}{0.693 \times 11}\)
= \(\frac{1590.167}{7.623}\)
= 208.601 दिन
= 209 दिन

प्रश्न 13.26.
कुछ विशिष्ट परिस्थितियों में, एक नाभिक, α-कण से अधिक द्रव्यमान वाला एक कण उत्सर्जित करके क्षयित होता है। निम्नलिखित क्षय प्रक्रियाओं पर विचार कीजिए:
²²³₈₈Ra → ²⁰⁹₈₂Pb + ¹⁴₆C
²²³₈₈Ra → ²¹⁹₈₆Rn + ⁴₂He
इन दोनों क्षय प्रक्रियाओं के लिए Q-मान की गणना कीजिए और दर्शाइए कि दोनों प्रक्रियाएँ ऊर्जा की दृष्टि से संभव हैं।
उत्तर:
²²³₈₈Ra के क्षय से ¹⁴₆C उत्सर्जन के लिए
जहाँ पर प्रक्रम में ²²³₈₈Ra → ²⁰⁹₈₂Pb + ¹⁴₆C + Q है।
Q = [m^N(²²³₈₈Ra) – m^N(²⁰⁹₈₂Pb) – m^N(¹⁴₆C)]C²
Q = [m(²²³₈₈Ra) – m(²⁰⁹₈₂Pb) – m(¹⁴₆C)]C²
= [223.01850 u – 222.984314 u]C²
= 0.034186uC²
= 0.034186 u x 931.5/u
= 0.034186 × 931.5 Mev
= 31.85 MeV
Ra के क्षय प्रक्रम He प्राप्त करने के लिए
Ra→ 3 Rn + / He + Q अभिक्रिया होती है। जहाँ अभिक्रिया का Q मान
Q = [m^N(²²³₈₈Ra) – m^N(²¹⁹₈₆Rn) – m^N(⁴₂He)]C²
= [m^N(²²³₈₈Ra) – m^N(²¹⁹₈₆Rn) – m^N(⁴₂He)]C²
= [223.01850 u – 219.00948 u – 4.00260 u]C2
= [223.01850 u – 219.01208 u]C2
= [4.00642 u] × 931.5 MeV
= 5.98 Mev
∵ दोनों ही क्षय प्रक्रियाओं के लिए Q धनात्मक है। अतः ये प्रक्रियायें ऊर्जा दृष्टि से सम्भव हैं।

प्रश्न 13.27.
तीव्र न्यूट्रॉनों द्वारा m²³⁸₉₂U के विखंडन पर विचार कीजिए। किसी विखंडन प्रक्रिया में प्राथमिक अंशों (Primary fragments) के बीटा क्षय के पश्चात् कोई न्यूट्रॉन उत्सर्जित नहीं होता तथा ¹⁴⁰₅₈Ce तथा ⁹⁹₄₄Ru अंतिम उत्पाद प्राप्त होते हैं। विखंडन प्रक्रिया के लिए Q के मान का परिकलन कीजिए आवश्यक आँकड़े इस प्रकार हैं:
m (²³⁸₉₂U) = 238.05079 u
m(¹⁴⁰₅₈Ce) = 139.90543 u
m(⁹⁹₄₄Ru) = 98.90594 u
उत्तर:
विखण्डन अभिक्रिया को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
²³⁸₉₂U + ¹₀n → ¹⁴⁰₅₈Ce + ⁹⁹₄₄Ru + Q
अभिक्रिया के Q का मान
Q= [m(²³⁸₉₂U) + m(¹₀n) – m(¹⁴⁰₅₈Ce) – m(⁹⁹₄₄Ru)]C²
= [238.05079 u + 1.00867u – 139.90543 u – 98.90594 u]C²
= [239.05946 u – 238.81137 u]C²
= [0.24809 u] × 931.5/U Mev
= 231.1 MeV

प्रश्न 13.28.
D-T अभिक्रिया ( ड्यूटीरियम-ट्रीटियम संलयन),
²₁H + ³₁H → ⁴₂He + n पर विचार कीजिए।
(a) नीचे दिए गए आँकड़ों के आधार पर अभिक्रिया में विमुक्त ऊर्जा का मान MeV में ज्ञात कीजिए।
m(²₁H) = 2.014102 u
m(³₁H) = 3.016049 u
(b) ड्यूटीरियम एवं ट्राइटियम दोनों की त्रिज्या लगभग 1.5 fm मान लीजिए। इस अभिक्रिया में, दोनों नाभिकों के मध्य कूलॉम प्रतिकर्षण से पार पाने के लिए कितनी गतिज ऊर्जा की आवश्यकता है ? अभिक्रिया प्रारंभ करने के लिए गैसों (D तथा T गैसें) को किस ताप तक ऊष्मित किया जाना चाहिए?
(संकेत- किसी संलयन क्रिया के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा = संलयन क्रिया में संलग्न कणों की औसत तापीय गतिज ऊर्जा = 2 (3kT/2); k : बोल्ट्जमान नियतांक तथा T = परम ताप)
उत्तर:
(a) DT संलयन अभिक्रिया
²₁H + ³₁H → ⁴₂He + ¹_nn + Q से दी जाती है। जहाँ अभिक्रिया
में Q का मान
Q= [m (H) + m (H) – m(He) – ml c2
= [2.014102 u + 3.016049u 4.002603 u – 1.008665u]c²
= [5.030151 u – 5.011268 u] c²
= [0.018883 u] c²
= (0.018883 u) x 931.5/uMev
= 17.59 MeV

(b) यहाँ ²₁H या ³₁H की त्रिज्या = r = 1.5 fm
r= 1.5 x 10^-15 m
∴ ²₁H या ³₁H के बीच जब दोनों नाभिक एक-दूसरे से छूने
तक के सम्पर्क में आते हैं

प्रत्येक पर आवेश अर्थात्
q₁ = 1.6 x 10^-19 c
q₂= 1.6 x 10^-19 c
D-T निकाय की P.E जब दोनों कण लगभग एक-दूसरे के
सम्पर्क में आ जाते हैं।
P.E = 1/4 πe0 q₁q₂/2r से दी जाती है।
= \(\frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.5 \times 10^{-15}}\)
= 7.68 × 10^-14 J
कूलॉम प्रतिकर्षण को पार पाने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा (KE) स्थितिज ऊर्जा (P.E) के तुल्य है।
आवश्यक (K.E) = 7.68 x 10^-14J
(किसी संलयन क्रिया के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा = संलयन क्रिया में संलग्न कणों की औसत तापीय गतिज ऊर्जा =
k: बोल्ट्जमान नियतांक तथा T = परम ताप )
3kT = 7.68 × 10^-14
यहाँ पर बोल्ट्ज़मान k का मान = 1.38 x 10^-23 JK^-1 होता है।
T = \(\frac{7.68 \times 10^{-14}}{3 \mathrm{k}}\) = \(\frac{7.68 \times 10^{-14}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}\)
T = 1.86 × 10⁹K

प्रश्न 13.29.
नीचे दी गई विकिरण आवृत्तियाँ एवं β कणों की कीजिए दिया है :
क्षय-योजना में, y-क्षयों की अधिकतम गतिज ऊर्जाएँ ज्ञात
m(198Au) = 197.968233 u
m(198Hg) =197.966760 u

उत्तर:
माना उत्सर्जित y-किरण फोटॉन की क्रमशः आवृत्तियाँ v2 तथा v3 हैं।
न्यूनतम अवस्था में ऊर्जा
E1 = 0
प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा
= E2 = 0.412 Mev
= 0.412X × 1.6 x 10^-13
द्वितीय उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा
= E3 = 1.088 Mev
E3 = 1.088 × 1.6 x 10^-13
∴ Y1 के लिए
v1 = E³ – E¹/h
= \(\frac{1.088 \times 1.6 \times 10^{-13}-0}{6.63 \times 10^{-34}}\)
= 2.626 × 10²⁰ Hz
Y2 के लिए
v2 = E² – E¹/h
= \(\frac{0.412 \times 1.6 \times 10^{-13}-0}{6.63 \times 10^{-34}}\)
= 0.994 × 10²⁰ Hz
Y3 के लिए
v3 = E³ – E²/h
= \(\frac{1.088 \times 1.6 \times 10^{-13}-0.412 \times 1.6 \times 10^{-13}}{6.63 \times 10^{-34}}\)
= 1.631 × 10²⁰ Hz
अब Q1 (β1-) = [m(¹⁹⁸₇₉Au) – m(¹⁹⁸₈₀Hg)]c² – 1.088 MeV
= [197.968233 u – 197.966760 u]c² – 1.088 MeV
= [0.001473 u] c² – 1.088 Mev
= [0.001473 u] x 931.5/u Mev – 1.088 Mev
= 1.372 Mev – 1.088 MeV
= 0.284 MeV ≈ Emax (B1)

Q (B2)= [m(¹⁹⁸₇₉Au) – m(¹⁹⁸₈₀Hg)]c² – 0.412 Mev
= [197.968233 u – 197.966760 u]c² – 0.412 Mev
= [0.001473 u]C² – 0.412 Mev
= [0.001473 u] x 931.5/u Mev – 0.412 MeV
= 1.372 Mev – 0.412 Mev
= 0.960 MeV = Emax(β2)

प्रश्न 13.30.
सूर्य के अभ्यंतर में (a) 1 kg हाइड्रोजन के संलयन के समय विमुक्त ऊर्जा का परिकलन कीजिए। (b) विखंडन रिएक्टर में 1.0 kg 235 के विखंडन में विमुक्त ऊर्जा का परिकलन कीजिए। (a) तथा (b) प्रश्नों में विमुक्त ऊर्जाओं की तुलना कीजिए।
उत्तर:
(a) सूर्य में होने वाली संलयन अभिक्रिया
⁴₁H → ₂⁴He + 2e² + 2 + 26 Mev
अर्थात् 4 हाइड्रोजन परमाणु प्रति घटना में मिलकर 26 Mev ऊर्जा उत्पन्न करते हैं।
हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान = 1 kg लिया
अब हाइड्रोजन के 1g में 6.023 x 10²³
= 1,000 g नाभिक है।
1,000 g हाइड्रोजन में 6.023 x 10²³ x 10³ नाभिक होंगे।
= 6.023 x 10²⁶ नाभिक यदि Q इन सभी नाभिकों के संलयन से मुक्त ऊर्जा
Q1 = \(\frac{26 \times 6.023 \times 10^{26}}{4}\)
= 39.15 × 10²⁶ Mev
(b) ²³⁵U के एकल नाभिक के विखण्डन में = 200 Mev ऊर्जा मुक्त होती है, जो BU की अभिक्रिया
²³⁵₉₂U + ⁰ ₁n → ⁹² ₃₆Kr + 3⁰ ₁n + Q2 = 200 Mev
यदि Q2 इन सभी नाभिकों के विखण्डन से मुक्त ऊर्जा हो तब
Q2 = \(\frac{1000 \times 6.023 \times 10^{23} \times 200}{235}\)
= 5.1 x 10²⁶ Mev
\(\frac{\mathrm{Q}_1}{\mathrm{Q}_2}\) = \(\frac{39.15 \times 10^{26}}{5.1 \times 10^{26}}\)
= 7.68≈ 8
Q1 = 8Q2
अर्थात् 1 kg हाइड्रोजन के संलयन में विमुक्त ऊर्जा, 1 kg, U²³⁵ के विखण्डन में विमुक्त ऊर्जा से लगभग 8 गुना अधिक है।

प्रश्न 13.31.
मान लीजिए कि भारत का लक्ष्य 2020 तक 200,000 MW विद्युत शक्ति जनन का है इसका 10% नाभिकीय शक्ति संयंत्रों से प्राप्त होना है। माना कि रिएक्टर की औसत उपयोग दक्षता (ऊष्मा को विद्युत में परिवर्तित करने की क्षमता) 25% है। 2020 के अंत तक हमारे देश को प्रति वर्ष कितने विखंडनीय यूरेनियम की आवश्यकता होगी? ²³⁵U प्रति विखंडन उत्सर्जित ऊर्जा 200 Mev है।
उत्तर:
कुल लक्ष्यित विद्युत शक्ति
P = 200,000 MW = 2 x 10¹¹ W
कुल नाभिकीय शक्ति लक्ष्य
= 2 × 10¹¹ W का 10%
= 10/100 x 2 x 10¹¹ = 2 x 10¹⁰ w

n = 25%
कुल उत्पादित शक्ति

= 8 × 10¹⁰ W = 8 × 10¹⁰ Js^-1
∴2020 तक प्रतिवर्ष वांछित ऊर्जा
E = P x t
E = 8 × 10¹⁰ × 365 x 24 x 60 x 60
= 2.523 x 10¹⁸J
²³⁵U के विखण्डन से उत्पन्न ऊर्जा
= 200 Mev
= 200 x 10⁶ x 1.6 x 10^-19 J
= 3.2 × 10^-11 J

= 7.884 x 10²⁸
अब ²³⁵₉₂U के 6.023 x 10²³ परमाणुओं का द्रव्यमान
= 235g = 235 x 10^-3 kg
∴ 7.884 x 10²⁸ उत्पन्न करने के लिए आवश्यक PU के द्रव्यमान में नामिक
=\(\frac{235 \times 10^{-3}}{6.023 \times 10^{23}}\) × 7.884 × 10²⁸ kg
= \(\frac{235 \times 7.884 \times 10^{25}}{6.023 \times 10^{23}}\)
= 307.61 × 10² kg
= 3.0761 x 10⁴ kg