HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल :
(i) (x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + 4 × 10
= x² + 14x + 40 उत्तर
(ii) (x + 8 ) (x – 10) = x² + (8 – 10)x + 8 × (-10)
= x² – 2x – 80 उत्तर
(iii) (3x + 4) (3x – 5) = (3x)² + (4 – 5) × 3x + 4 × (-5)
= 9x² + (-1) × 3x – 20
= 9x² – 3x – 20 उत्तर

(iv) (y² + \(\frac {3}{2}\)) (y² – \(\frac {3}{2}\))
= (y²)² – (\(\frac {3}{2}\))²
= y⁴ – \(\frac {9}{4}\) उत्तर

(v) (3 – 2x) (3 + 2x) = (3)² – (2x)²
= 9 – 4x² उत्तर

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए [March, 2020]
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल :
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
= (100)² + (3 + 7) × 100 + 3 × 7
= 10000 + 10 × 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021 उत्तर

(ii) 95 × 96 = (100 – 5)(100 – 4)
= (100)² + (-5 – 4) × 100 + (-5)(-4)
= 10000 – 900 + 20
= 10020 – 900 = 9120 उत्तर

(iii) 104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
= (100)² – (4)²
= 10000 – 16 = 9984 उत्तर

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए
(i) 9x² + 6xy + y²
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii) x² – \(\frac{y^2}{100}\) [B.S.E.H. 2019]
हल :
(i) 9x² + 6xy + y² = (3x)² +2 (3x) (y) + (y)²
= (3x + y)² = (3x + y) (3x + y) उत्तर
(ii) 4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2 (2y)(1) + (1)²
= (2y – 1)² = (2y – 1) (2y- 1) उत्तर
(iii) x² – \(\frac{y^2}{100}\) = (x)² – (\(\frac {y}{10}\))²
= (x – \(\frac {y}{10}\)) (x + \(\frac {y}{10}\)) उत्तर

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(iii) (-2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) (-2x + 5y – 3z)²
(vi) [\(\frac {1}{4}\)a – \(\frac {1}{2}\)b + 1]²
हल :
(i) (x + 2y + 4z)² = x² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2 (4z)(x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx उत्तर

(ii) (2x – y + z)² = [2x + (-y) + z]²
= (2x)² + (-y)² + z² + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx उत्तर

(iii) (-2x + 3y + 2z) = [(-2x) + 3y + 2z²]
= (-2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx उत्तर

(iv) (3a – 7b – c)² = [3a + (-7b) + (-c)]² = (3a)² + (-7b)² + (-c)² + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2 (-c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ac उत्तर

(v) (-2x + 5y -3z)² = [(-2x) + 5y + (-3z)]² = (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx उत्तर

प्रश्न 5.
गुणनखंडन कीजिए –
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
(ii) 2x² + y² + 8z² – 2\(\sqrt{2}\)xy + 4\(\sqrt{2}\)yz – 8xz
हल:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz = (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2(-4z)(2x)
= (2x + 3y – 4z)²
= (2x + 3y – 4z) (2x + 3y – 4z) उत्तर

(ii) 2x² + y² + 8z² – 2\(\sqrt{2}\)xy + 4\(\sqrt{2}\)yz – 8xz = (-\(\sqrt{2}\)x)² + (y)² + (2\(\sqrt{2}\)z)² + 2(\(\sqrt{2}\)z) (-\(\sqrt{2}\)x)
= (-\(\sqrt{2}\)x + y + 2\(\sqrt{2}\)z)\(\sqrt{2}\)
= (-\(\sqrt{2}\)x + y + 2\(\sqrt{2}\)z) (-\(\sqrt{2}\)x + y + 2\(\sqrt{2}\)z) उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए
(i) (2x + 1)³
(ii) (2a – 3b)³
(iii) [\(\frac {3}{2}\)x + 1]³
(iv) [x – \(\frac {2}{3}\)y]³ [B.S.E.H. March, 2018]
हल :
(i) (2x + 1)³ = (2x)³ + (1)³ + 3 × 2x × 1 (2x + 1)
[∵ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)]
= 8x³ + 1 + 6x (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 उत्तर

(ii) (2a – 3b)³ = (2a)³ – (3b)³ – 3 (2a) (3b)(2a – 3b)
[∵ (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)]
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab² उत्तर

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) (99)³ (ii) (102)³ (iii) (998)³
हल :
(i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – (1)³ – 3 × 100 × 1 (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 1000300 – 30001 = 970299 उत्तर

(ii) (102)³ = (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3 × 100 × 2(100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200 = 1061208 उत्तर

(iii) (998)³ = (1000 – 2)³
= (1000)³ – (2)³ – 3 × 1000 × 2(1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000 × (1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000008
= 994011992 उत्तर

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
(v) 27p³ – \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2}\)p² + \(\frac {1}{4}\)p [March 2020]
हल :
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= (2a)³ + (b)³ + 3 (2a) (b) (2a + b)
= (2a + b)³
= (2a + b)(2a + b)(2a + b) उत्तर

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – (b)³ – 3 (2a)(b)(2a – b)
= (2a – b)³
= (2a – b)(2a – b)(2a – b) उत्तर

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3(3)(5a) (3 – 5a)
= (3 – 5a)³ = (3 – 5a) (3 – 5a) (3 – 5a) उत्तर

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108aba²
= (4a)³ – (3b)³ – 3 (4a) (3b) (4a – 3b)
= (4a – 3b)³
= (4a – 3b) (4a – 3b) (4a – 3b) उत्तर

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हल:
(i) R.H.S. = (x + y) (x² – xy + y²)
= (x) (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.
अतः सत्यापित हुआ।

(ii) R.H.S. = (x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
= x³ – y³
= L.H.S.
अतः सत्यापित हुआ।

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए
(i) 27y³ + 125z³ [B.S.E.H. 2019]
(ii) 64m³ – 343n³
हल :
(i) 27y³ + 125z³ = (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – 3y × 5z + (5z)²]
= (3y + 5z) [9y² – 15yz + 25z²] उत्तर

(ii) 64m³ – 343n³ = (4m)³ – (7n)³
= (4m – 7n) [(4m)² + 4m × 7n + (7n)²]
= (4m – 7n) [16m² + 28mn + 49n²] उत्तर

प्रश्न 11.
गुणनखंडन कीजिए
27x³ + y³ + z³ – 9xyz [B.S.E.H. March, 2017, 2018]
हल :
हम जानते हैं कि a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
अब 27x³ + y³ +z³ – 9xyz
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ -3 (3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)² + (y)² + (z)² – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx) उत्तर

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए
x³ + y³ + z³ – 3xyz = \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हल :
यहाँ पर (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = (x² + y² – 2xy) + (y² + z² – 2yz) + (z² + x² – 2zx)
= 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx
= 2 (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
दोनों पक्षों को \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) से गुणा करने पर,
\(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) × 2 (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) (i)
हम जानते हैं कि
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) (ii)
समीकरण (i) व (ii) से
x³ + y³ + z³ – 3xyz = \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²] |इति सिद्धम]

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।
हल :
यहाँ पर
x + y + z = 0
⇒ x + y = – z
दोनों पक्षों को घन करने पर
(x + y)³ = (-z)³
या x³ + y³ + 3xy (x + y) = – z³
या x³ + y³ – 3xyz = – z³ [∵ x + y = – z]
या x³ + y³ + z³ = 3xyz [इति सिद्धम]

प्रश्न 14.
वास्तव में पनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए –
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³ [B.S.E.H. March, 2020]
हल:
(i) माना x = – 12, y = 7 और z = 5
यहाँ पर
x + y + z = – 12 + 7 + 5 = 0
यदि x + y + z = 0 हो तो
x³ + y³ + z³ = 3xyz
अतः
(-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 × (-12) × 7 × 5 उत्तर
= – 1260 उत्तर

(ii) माना x = 28, y = – 15 और z = – 13
यहाँ पर
x + y + z = 28 – 15 – 13 = 0
यदि x + y + z = 0 हो तो
x³ + y³ + z³ = 3xyz
(28)³ + (-15)³ + (-13)³ = 3 × (28) × (-15) × (-13)
= 16380 उत्तर

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a +12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल :
(i) 25a² – 35a + 12 = 25a² – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3)
हम जानते हैं कि
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
⇒ 25a² – 35a + 12 = (5a – 3) × (5a – 4)
अतः आयत की लंबाई 5a-3 तथा चौड़ाई 5a-4 उत्तर

(ii) 35y² + 13y – 12 = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
= (5y + 4)(7y – 3)
हम जानते हैं कि
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
⇒ 35y² + 13y – 12 = (7y – 3) × (5y + 4)
अतः आयत की लंबाई 7y – 3 तथा चौड़ाई 5y + 4 उत्तर

प्रश्न 16.
बनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x² – 12x
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल :
(i) 3x² – 12x = 3x(x – 4)
= 3 × x × (x – 4)
हम जानते हैं कि
घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
अतः दिए गए व्यंजक की लंबाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई क्रमशः 3, x तथा (x – 4) है। उत्तर

(ii) 12ky² + 8ky – 20k = 4k [3y² + 2y – 5]
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4k [y(3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5)(y – 1)
हम जानते हैं कि
घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
अतः दिए गए व्यंजक की लंबाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई क्रमशः 4k, (3y + 5) तया (y – 1) है। उत्तर