Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Exercise 3.5
प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं ?
(a) यदि कोई सख्या 3 से विभाज्य है, तो वह १ से भी विभाज्य होती है।
(b) यदि एक संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी।
(c) एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह 3 और 6 दोनों से विभाज्य हो।
(d) यदि एक संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी।
(e) यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो इनमें से कम-से-कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी।
(f) से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।
(g) 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य होनी चाहिए।
(h) यदि कोई संख्या दो संख्याओं को अलग-अलग पूरा-पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा-पूरा विभाजित करेगी।
(i) यदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग-अलग भी विभाजित करेगी।
हल :
(a) असत्य,
(b) सत्य,
(c) असत्य,
(d) सत्य,
(e) असत्य,
(f) असत्य,
(g) सत्य,
(h) सत्य,
(i) असत्य।
प्रश्न 2.
यहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखण्ड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिखिए।
हल :
(a) ∵ 6 = 2 × 3 और 10 = 5 × 2
∴ अज्ञात संख्याएँ 3 और 2 हैं। उत्तर
(b) 60 = 30 × 2
30 = 10 × 3
10 = 2 = 5
∴ अज्ञात संख्याएँ 2, 3, 2 और 5 हैं।
प्रश्न 3.
एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड में किन गुणनखण्डों को सम्मिलित नहीं किया जाता है ?
हल :
एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड में, 1 और स्वयं वह संख्या को सम्मिलित नहीं किया जाता है। उत्तर
प्रश्न 4.
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
∴ 9999 के अभाज्य गुणनखण्ड = 3 × 3 × 11 × 101. उत्तर
प्रश्न 5.
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
∴ 10000 के अभाज्य गुणनखण्ड
= 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5. उत्तर
प्रश्न 6.
1729 के सभी अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों में यदि कोई सम्बन्ध है, तो लिखिए।
हल :
अभाज्य गुणन करने पर,
1729 के अभाज्य गुणनखण्डों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर
∴ 1729 के अभाज्य गुणनखण्ड = 7 × 13 × 19
दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों के बीच सम्बन्ध बताता है कि दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों के बीच अन्तर 6 है। उत्तर
प्रश्न 7.
तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।
हल :
तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल निम्न प्रकार है:
1 × 2 × 3 = 6
11 × 12 × 13 = 1716
2 × 3 × 4 = 24
17 × 18 × 19 = 5814
3 × 4 × 5 = 60
20 × 21 × 22 = 9240
∵ प्रत्येक गुणनफल में इकाई के अंक 6.4 तथा 0 हैं।
∴ प्रत्येक 2 से विभाज्य है।
और इन गुणनफलों के अंकों का योग 6, 9, 12, 15 तथा 18 है जो कि 3 से विभाज्य है।
∴ प्रत्येक गुणनफल 6 से विभाज्य है।
अत: तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। उत्तर
प्रश्न 8.
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।
हल :
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग करने पर,
3 + 5 = 8
5 + 7 = 12
7 + 9 = 16
53 + 55 = 108
55 + 57 = 112
57 + 59 = 116
प्रत्येक योग में इकाई व दहाई के स्थान के अंकों से बनी संख्याएँ 8, 12, 16 हैं, जो कि 4 से विभाज्य हैं।
∴ प्रत्येक दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है।
प्रश्न 9.
निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्ड किए गए हैं:
(a) 24 = 2 × 3 × 4
(b) 56 = 1 × 7 × 2 × 2 × 2
(c) 70 = 2 × 5 × 7
(d) 54 = 2 × 3 × 9
हल :
(a) में 4 के और गुणनखण्ड हो सकते हैं। अत: ये अभाज्य गुणनखण्ड नहीं हैं।
(b) में अन्य और गुणनखण्ड नहीं हो सकते हैं। अत: ये अभाज्य गुणनखण्ड हैं।
(c) में अन्य और गुणनखण्ड नहीं हो सकते हैं। अत: ये अभाज्य गुणनखण्ड हैं।
(d) में 9 के और गुणनखण्ड हो सकते हैं। अतः ये अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
अत: (b) और (c) में अभाज्य गुणनखण्ड किए गए हैं। उत्तर
प्रश्न 10.
बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है ?
हल :
संख्या 45 = 5 × 9, जहाँ 5 और 9 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।
∴ 25110 की भाजकता की जाँच 5 और 9 से करने पर,
25110 में इकाई का अंक = 0
∴ यह संख्या 5 से विभाज्य है।
संख्या के अंकों का योग = 2 + 5 + 1 + 1 + 0 = 9, जो कि 9 से विभाज्य है।
∴ यह संख्या भी 9 से विभाज्य है।
अत: 25110 संख्या 45 से विभाज्य है।
प्रश्न 11.
संख्या 18, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। यह 2 × 3 = 6 से भी विभाज्य है। इसी प्रकार, एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि यह संख्या 4 × 6 = 24 से भी विभाज्य होगी? यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।
हल :
यह जरूरी नहीं है, क्योंकि 12, 36, 60 इत्यादि संख्याएँ 4 और 6 दोनों से विभाज्य हैं। परन्तु ये संख्याएँ 4 × 6 = 24 से विभाज्य नहीं हैं।
प्रश्न 12.
मैं चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनखण्डों वाली सबसे छोटी संख्खा हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते हैं?
हल :
चार भिन्न-भिन्न अभाज्य छोटी संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं।
∴ अभीष्ट संख्या = 2 × 3 × 5 × 7 = 210. उत्तर