Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Exercise 9.3
प्रश्न 1.
आकृति में, ΔABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है। दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACE) है।
हल :
दिया है : AD, ΔABC की माध्यिका है तथा E, AD पर स्थित कोई बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (ΔABE) = ar (ΔACE)
प्रमाण : ΔABC में AD इसकी माध्यिका है।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔACD) ……(i)
इसी प्रकार, ΔEBC में ED इसकी माध्यिका है।
∴ ar (ΔBED) = ar (ΔCED) ……(ii)
समीकरण (i) व (ii) को घटाने पर
ar (ΔABD) – ar (ΔBED) = ar (ΔACD) – ar (ΔCED)
या ar (ΔABE) = ar (ΔACE) [इति सिद्धम]
प्रश्न 2.
ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = \(\frac{1}{4}\)ar (ABC) है।
हल :
दिया है : एक ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (BED) = \(\frac{1}{4}\)ar (ABC)
प्रमाण : ∵ AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है।
∴ ar (ABD) = ar (ADC)
⇒ ar (ABD) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABC) …..(1)
ΔABD में, BE माध्यिका है।
∴ ar (BED) = ar (BAE) ……(ii)
⇒ ar (BED) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABD)
या ar (BED) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)ar (ABC) [समीकरण (i) से]
या ar (BED) = \(\frac{1}{4}\)ar (ABC) [इति सिद्धम]
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल :
दिया है : एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिंदु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) = ar (COD) = ar (ΔAOD)
प्रमाण : हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अर्थात् OA = OC व OB= OD।
अब ΔACD में OD माध्यिका है।
∴ ar (ΔAOD) = ar (ΔCOD) ……(i)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
ar (ΔCOD) = ar (ΔBOC) …..(ii)
व ar (ΔBOC) = ar (ΔAOB) …..(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) की तुलना में,
ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) = ar (ΔCOD) = ar (ΔAOD) [इति सिद्धम]
प्रश्न 4.
आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु 0 पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
हल :
दिया है : ΔABC और ΔABD एक ही आधार AB पर बने हैं। रेखाखंड CD, रेखाखंड AB से बिंदु 0 पर समद्विभाजित होता है।
सिद्ध करना है : ar (ΔABC) = ar (ΔABD)
प्रमाण : ΔACD, AO माध्यिका है। (∵ OC = OD दिया है)
ar (ΔAOC) = ar (ΔAOD) …….(i)
इसी प्रकार, ΔBCD में OB माध्यिका है।
∴ ar (ΔBOC) = ar (ΔBOD) …….(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
ar (ΔAOC) + ar (ΔBOC) = ar (ΔAOD) + ar (ΔBOD)
⇒ ar (ΔABC) = ar (ΔABD) [इति सिद्धम]
प्रश्न 5.
D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABC)
हल :
दिया है : ΔABC की भुजाओं BC, CA व AB के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E व F हैं।
सिद्ध करना है : (i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (ΔDEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
(iii) ar (BDEF) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
प्रमाण : (i) ΔABC में F तथा E क्रमशः AB तथा AC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ EF || BC …….(i)
इसी प्रकार
DE || AB ……..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
BDEF एक समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि AFDE तथा CDFE भी समांतर चतुर्भुज हैं।
(ii) || चतुर्भुज BDEF में DF इसका विकर्ण हैं।
ar (ΔBDF) = ar (ΔDEF) …..(i)
इसी प्रकार ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF) …(ii)
तथा ar (ΔCDE) = ar (ΔDEF)…(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) की तुलना से,
ar (ΔBDF) = ar (ΔAFE) = ar (ΔCDE) = ar (ΔDEF)
ar (ΔABC) = ar (ΔAFE) + ar (ΔBDF) + ar (ΔCDE) + ar (ΔDEF)
= ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)
ar (ΔABC) = 4 ar (ΔDEF)
⇒ ar (ΔDEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC) …(iv) [इति सिद्धम]
(iii) अब
ar (|| चतुर्भुज BDEF) = ar (ΔBDF) + ar (ΔDEF)
= ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)
= 2ar (ADEF)
= 2[\(\frac{1}{4}\)ar(ΔABC)] [समीकरण (iv) से]
= \(\frac{1}{2}\)ar(ΔABC) [इति सिद्धम]
प्रश्न 6.
आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदू 0 पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB= OD है तथा भुजा AB = भुजा CD है।
सिद्ध करना है : (i) ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)
(ii) ar (ΔDCB) = ar (ΔACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
रचना : DN ⊥ AC तथा BM ⊥ AC खींचो।
प्रमाण : (i) ΔDON और ΔBOM में,
∵ ∠DNO = ∠BMO [प्रत्येक = 90°]
∠DON = ∠BOM [शीर्षाभिमुख कोण]
तथा OD = OB [दिया है]
∴ ΔDON ≅ ΔBOM [कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता]…(1)
DN = BM [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अब ΔDCN और ΔBAM में,
∵ ∠DNC = ∠BMA [प्रत्येक = 90°]
DC = AB [दिया है]
तथा DN = BM [प्रमाणित]
∴ ΔDCN ≅ ΔBAM [समकोण-कर्ण-भुजा-सर्वांगसमता]…(2)
क्योंकि हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
∴ समीकरण (1) से,
ar (ΔDON) = ar (ΔBOM) …..(3)
समीकरण (2) से,
ar (ΔDCN) = ar (ΔBAM) …..(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर,
ar (ΔDON) + ar (ΔDCN) = ar (ΔBOM) + ar (ΔBAM)
ar (DOC) = ar (ΔAOB)…..(5) [इति सिद्धम]
(ii) समीकरण (5) में दोनों तरफ त्रिभुज BOC का क्षेत्रफल जोड़ने पर,
ar (ΔDOC) + ar (ΔBOC) = ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC)
या ar (ΔDCB) = ar (ΔACB) [इति सिद्धम]
(iii) क्योंकि ADCB और ΔACB के क्षेत्रफल समान हैं तथा दोनों एक ही आधार BC पर है। अतः ये एक ही समांतर रेखाओं के बीच होगें।
अर्थात DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 7.
बिंदु D और E क्रमशः AABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।
हल :
दिया है : AABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि ar (ΔDBC) = ar (ΔEBC)
सिद्ध करना है : DE || BC
प्रमाण : क्योंकि ar (ΔDBC) = ar (ΔEBC) तथा दोनों, एक ही आधार BC पर स्थित हैं।
∴ दोनों एक ही समांतर रेखाओं BC और DE के बीच स्थित होगें।
अर्थात DE || BC [इति सिद्धम]
प्रश्न 8.
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमशः E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि :
ar (ABE) = ar (ACF)
हल :
दिया है : ΔABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा XY है। यदि BE || AC व CF || AB रेखा XY को क्रमशः E व F पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : ar (ΔABE) = ar (ΔACF)
प्रमाण : BE || CM [∵ BE || AC दिया है]
EM || BC [∵ XY || BC दिया है]
∴ BCME एक || चतुर्भुज है।
इसी प्रकार BCFL एक || चतुर्भुज है।
अब ΔAEB तथा || चतुर्भुज EBCM एक ही आधार EB व एक ही समांतर रेखाओं AC तथा EB के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔABE) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज EBCM) …(i)
इसी प्रकार ΔACF तथा || चतुर्भुज BCFL एक ही आधार CF व एक ही समांतर रेखाओं AB तथा CF के मध्य स्थित है।
∴ ar (ΔACF) = \(\frac{1}{2}\)ar (|| चतुर्भुज BCFL) …(ii)
परन्तु || चतुर्भुज EBCM तथा || चतुर्भुज BCFL एक ही आधार BC पर है तथा एक ही || रेखाओं EF तथा BC के मध्य में हैं।
∴ ar (समांतर चतुर्भुज EBCM) = ar (समांतर चतुर्भुज BCFL) …..(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) की तुलना से,
ar (ΔABE) = ar (ΔACF) [इति सिद्धम]
प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ar (ABCD) = ar (PBQR) है।
(संकेत : AC और PQ को मिलाइए। अब ar (ACQ) और ar (APQ) की तुलना कीजिए।)
हल :
दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है। इस प्रकार चतुर्भुज PBQR प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है : ar (चतुर्भुज ABCD) = ar (चतुर्भुज PBQR)
रचना : AC और PQ को मिलाओ।
प्रमाण : क्योंकि AC और PQ क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD और समांतर चतुर्भुज PBQR के विकर्ण हैं।
∴ ar (ΔABC) = \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD)….(i)
और ar (ΔPBQ) = \(\frac{1}{2}\)ar (PBRQ)….(ii)
परन्तु, ΔACQ और ΔAQP समान आधार AQ और समान समांतर रेखाओं AQ और CP के मध्य स्थित हैं।
ar (ΔACQ) = ar (AQP)
दोनों और ΔABQ का क्षेत्रफल घटाने पर,
ar (ΔACQ) – ar (ΔABQ) = ar (ΔAQP) – ar (ΔABQ)
⇒ ar (ΔABC) = ar (ΔBPQ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)ar (ABCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (PBRO) [समीकरण (i) एवं (ii) से]
⇒ ar (ABCD) = ar (PBRQ) [इति सिद्धम]
प्रश्न 10.
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।
हल :
दिया है : एक समलंब ABCD में AB || DC तथा विकर्ण AC व BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
प्रमाण : ΔABD व ΔABC एक ही आधार AB तथा समांतर रेखाओं AB तथा DC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
दोनों ओर से ar (ΔAOB) घटाने पर,
ar (ΔABD) – ar (ΔAOB) = ar (ΔABC) – ar (ΔAOB)
⇒ ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC) [इति सिद्धम]
प्रश्न 11.
आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
हल :
दिया है : एक पंचभुज ABCDE में B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है।
सिद्ध करना है : (i) ar (ΔACB) = ar (ΔACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
प्रमाण : (i) ΔACB व ΔACF एक ही आधार AC तथा एक ही समांतर रेखाओं AC तथा BF के मध्य में हैं।
∴ ar (ΔACB) = ar (ΔACF) [इति सिद्धम]
(ii) चतुर्भुज ACDE का क्षेत्रफल दोनों ओर जोड़ने पर,.
ar (ΔACB) + ar (चतुर्भुज ACDE) = ar (ΔACF) + ar (चतुर्भुज ACDE)
ar (ABCDE) = ar (AEDF) [इति सिद्धम]
प्रश्न 12.
गांव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गांव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहां एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबंध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल :
माना इतवारी के पास ABCD एक चतुर्भुजाकार मँखड है।
D से DE || CA खींचो जो BA को बढ़ाने पर E पर मिले।
∴ इस प्रकार, ΔEAC और ΔADC एक ही आधार CA तथा एक ही समांतर रेखाओं DE और CA के बीच स्थित हैं।
ar (AEAC) = ar (ΔADC) …(i)
अब ar (ABCD) = ar (ΔABC)+ ar (ΔACD)
= ar (ΔABC) + ar (ΔEAC) [समीकरण (1) से]
= ar (ΔEBC)
अर्थात चतुर्भुज ABCD = ΔEBC
प्रश्न 13.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेदित करती है।
सिद्ध करना है : ar (ΔADX) = ar (ACY)
रचना : DX व CX को मिलाओ। इसी प्रकार AY को मिलाओ।
प्रमाण : क्योंकि ΔADX व ΔAXC एक ही आधार AX तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और CD के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔAXD) = ar (ΔAXC) …(i)
अब ΔACX तथा ΔACY एक ही आधार AC तथा एक ही समांतर रेखाओं XY तथा AC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔACX) = ar (ΔACY)
समीकरण (i) व (ii) से,
ar (ΔAXD) = ar (ΔACY) [इति सिद्धम]
प्रश्न 14.
आकृति में, AP || BQ || CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
हल :
दिया है : समलंब APRC में AP || BQ || CR है।
सिद्ध करना है : ar (ΔAQC) = ar (ΔPBR)
प्रमाण : क्योंकि ΔABQ और ΔPBQ एक ही आधार BQ तथा एक ही समांतर रेखाओं BQ और AP के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔABQ) = ar (ΔPBQ) …(i)
इसी प्रकार ΔCBQ तथा ΔRBQ एक ही आधार BQ तथा एक ही समांतर रेखाओं BQ और CR के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔCBQ) = ar (ΔRBQ) …(ii)
समीकरण (i) व (ii) जोड़ने पर,
ar (ΔABQ) + ar (ΔCBQ) = ar (ΔPBQ) + (ΔRBQ)
⇒ ar (ΔAQC) = ar (ΔPBR) [इति सिद्धमा]
प्रश्न 15.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु 0 पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD)= ar (BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
हल :
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (ΔAOD)= ar (ΔBOC)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलंब है अर्थात् AB || CD
प्रमाण : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
दोनों और ΔAOB का क्षेत्रफल जोड़ने पर,
ar (ΔAOD) + ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) + ar (ΔAOB)
⇒ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
परन्तु ΔABD और ΔABC एक ही आधार AB पर है तथा क्षेत्रफल में समान हैं।
∴ AB || DC
अतः ABCD एक समलंब है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 16.
आकृति में, ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।
हल :
दिया है : आकृति ABPR में,
ar (ΔDRC) = ar (ΔDPC)
और ar (ΔBDP) = ar (ΔARC)
सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज ABCD एक समलंब है।
(ii) चतुर्भुज DCPR एक समलंब है।
प्रमाण : (i) क्योंकि ΔDRC तथा ΔDPC एक ही आधार DC पर हैं तथा क्षेत्रफल में समान हैं।
∴ ये समांतर रेखाओं के मध्य में हैं।
∴ DC || RP
अतः DCPR एक समलंब है। [इति सिद्धम]
(ii) अब ar (ΔBDP) = ar (ΔARC) …….(1)
ar (ΔDPC) = ar (ΔDRC) ……..(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
ar (ΔBDP) – ar (ΔDPC) = ar (ΔARC) – ar (ΔDRC)
∴ ar (ΔDCB) = ar (ADCA)
ΔDCB तथा ΔDCA एक ही आधार DC पर हैं तथा इनके क्षेत्रफल समान हैं। (प्रमाणित)
∴ DC || AB
अतः ABCD एक समलंब है। [इति सिद्धम]